2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 算法復(fù)數(shù)推理與證明 第3講 合情推理與演繹推理講義 理（含解析）.doc

第3講合情推理與演繹推理考綱解讀1.了解合情推理和演繹推理的含義，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納推理和類比推理(重點(diǎn))2.掌握演繹推理的三段論，并能運(yùn)用三段論進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的推理3.弄清推理的一般步驟：實(shí)驗(yàn)、觀察、比較；概括、聯(lián)想、類推、推廣；猜想新結(jié)論考向預(yù)測(cè)從近三年高考情況來(lái)看，演繹推理貫穿于整個(gè)高考試卷的始末，而合情推理時(shí)有考查. 預(yù)測(cè)2020年將會(huì)考查歸納猜想及類比推理的應(yīng)用. 題型為客觀題，試題具有一定的綜合性，屬中等難度試題.1推理(1)定義：根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來(lái)確定一個(gè)新的判斷的思維過(guò)程就是推理(2)分類：推理一般分為合情推理和演繹推理2合情推理(1)定義：根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納類比，然后提出猜想的推理叫做合情推理(2)分類：數(shù)學(xué)中常用的合情推理有歸納推理和類比推理(3)歸納和類比推理的定義、特征3演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理，簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷1概念辨析(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確()(2)由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理()(3)axyaxay與sin()類比，則有sin()sinsin.()(4)演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時(shí)，得到的結(jié)論一定正確()答案(1)(2)(3)(4)2小題熱身(1)已知a是三角形一邊的長(zhǎng)，h是該邊上的高，則三角形的面積是ah，如果把扇形的弧長(zhǎng)l，半徑r分別看成三角形的底邊長(zhǎng)和高，可得到扇形的面積為lr；由112,1322,13532，可得到135(2n1)n2，則兩個(gè)推理過(guò)程分別屬于()A類比推理、歸納推理 B類比推理、演繹推理C歸納推理、類比推理 D歸納推理、演繹推理答案A解析由三角形的面積公式得到扇形的面積公式有相似之處，此種推理為類比推理；由特殊到一般，此種推理為歸納推理(2)正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)sin(x21)是正弦函數(shù)，因此f(x)sin(x21)是奇函數(shù)，以上推理()A結(jié)論正確 B大前提不正確C小前提不正確 D全不正確答案C解析f(x)sin(x21)不是正弦函數(shù)(3)已知數(shù)列an中，a11，n2時(shí)，anan12n1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是()Aan3n1 Ban4n3Cann2 Dan3n1答案C解析a11，a24，a39，a416，猜想ann2.(4)對(duì)于平面幾何中的命題：“夾在兩條平行線之間的平行線段相等”，在立體幾何中，類比上述命題，可以得到命題：“_”，這個(gè)類比命題的真假性是_答案夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等真命題解析由類比推理可知題型 類比推理1等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)的和為Sn，則數(shù)列為等差數(shù)列，公差為.類似地，若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列bn的公比為q，前n項(xiàng)的積為Tn，則等比數(shù)列的公比為()A. Bq2 C. D.答案C解析在等差數(shù)列an中前n項(xiàng)的和為Sn的通項(xiàng)，且可寫成a1(n1).所以在等比數(shù)列bn中應(yīng)研究前n項(xiàng)的積為Tn的開n次方的形式類比可得b1()n1，其公比為.2在平面幾何中，ABC的C的平分線CE分AB所成線段的比為.把這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐ABCD中(如圖)，平面DEC平分二面角ACDB且與AB相交于E，則得到類比的結(jié)論是_答案解析由平面中線段的比轉(zhuǎn)化為空間中面積的比可得.1類比推理的四個(gè)角度和四個(gè)原則(1)四個(gè)角度類比推理是由特殊到特殊的推理，可以從以下幾個(gè)方面考慮類比：類比的定義：如等差、等比數(shù)列的定義；類比的性質(zhì)：如橢圓、雙曲線的性質(zhì)；類比的方法：如基本不等式與柯西不等式；類比的結(jié)構(gòu)：如三角形的內(nèi)切圓與三棱錐的內(nèi)切球(2)四個(gè)原則長(zhǎng)度類比面積；面積類比體積；平面類比空間；和類比積，差類比商見舉例說(shuō)明2類比推理的一般步驟(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性(2)用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想)3常見的類比推理題型的求解策略在進(jìn)行類比推理時(shí)，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點(diǎn)：(1)找兩類對(duì)象的對(duì)應(yīng)元素，如三角形對(duì)應(yīng)三棱錐，圓對(duì)應(yīng)球，面積對(duì)應(yīng)體積等等；(2)找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如兩條邊(直線)垂直對(duì)應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對(duì)應(yīng)面積相等 (2018廈門模擬)已知圓：x2y2r2上任意一點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程為x0xy0yr2.類比以上結(jié)論，有雙曲線1上任意一點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程為_答案1解析設(shè)圓上任一點(diǎn)為(x0，y0)，把圓的方程中的x2，y2替換為x0x，y0y，則得到圓的切線方程；類比這種方式，設(shè)雙曲線1上任一點(diǎn)為(x0，y0)，則切線方程為1(這個(gè)結(jié)論是正確的，證明略)題型 歸納推理角度1與數(shù)字有關(guān)的歸納推理1從1開始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列，現(xiàn)有一個(gè)三角形框架在圖中上下或左右移動(dòng)，使每次恰有九個(gè)數(shù)在此三角形內(nèi)，則這九個(gè)數(shù)的和可以為()A2018 B2019 C2020 D2021答案D解析根據(jù)題干圖所示的規(guī)則排列，設(shè)最上層的一個(gè)數(shù)為a，則第二層的三個(gè)數(shù)為a7，a8，a9，第三層的五個(gè)數(shù)為a14，a15，a16，a17，a18，這九個(gè)數(shù)之和為a3a245a809a104.由9a1042021，得a213，是自然數(shù)，故選D.角度2與式子有關(guān)的歸納推理2(2016山東高考)觀察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此規(guī)律，2222_.答案解析觀察前4個(gè)等式，由歸納推理可知222n(n1).角度3與圖形有關(guān)的歸納推理3分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦曼德爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路按照如圖(1)所示的分形規(guī)律可得如圖(2)所示的一個(gè)樹形圖若記圖(2)中第n行黑圈的個(gè)數(shù)為an，則a2019_.答案解析根據(jù)題圖(1)所示的分形規(guī)律，可知1個(gè)白圈分形為2個(gè)白圈1個(gè)黑圈，1個(gè)黑圈分形為1個(gè)白圈2個(gè)黑圈，把題圖(2)中的樹形圖的第1行記為(1,0)，第2行記為(2,1)，第3行記為(5,4)，第4行的白圈數(shù)為25414，黑圈數(shù)為52413，所以第4行的“坐標(biāo)”為(14,13)，同理可得第5行的“坐標(biāo)”為(41,40)，第6行的“坐標(biāo)”為(122,121)，.各行黑圈數(shù)乘2，分別是0,2,8,26,80，即11，31，91,271,811，所以可以歸納出第n行的黑圈數(shù)an(nN*)，所以a2019.歸納推理問(wèn)題的常見類型及解題策略(1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理觀察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號(hào)可解見舉例說(shuō)明1.(2)與式子有關(guān)的歸納推理與不等式有關(guān)的推理觀察每個(gè)不等式的特點(diǎn)，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解與數(shù)列有關(guān)的推理通常是先求出幾個(gè)特殊項(xiàng)，采用不完全歸納法，找出數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，列出即可(3)與圖形變化有關(guān)的推理合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡砸娕e例說(shuō)明3.1觀察下列各式：553125,5615625,5778125,58390625,591953125，則52019的末四位數(shù)字為()A3125 B5625 C0625 D8125答案D解析553125,5615625,5778125,58390625,591953125，可以看出這些冪的最后4位是以4為周期變化的，20194504余3，52019的末四位數(shù)字與57的后四位數(shù)相同，是8125.2觀察下列不等式：133<2，132322<4，133332<6，照此規(guī)律，第n1(n2，nN*)個(gè)不等式是_答案13(n1)3(n1)2<2n2解析根據(jù)所給不等式易歸納推理出第n(nN*)個(gè)不等式是13n3n2<2n，所以可以歸納推測(cè)出第n1(n2，nN*)個(gè)不等式是13(n1)3(n1)2<2n2.3地震后需搭建簡(jiǎn)易帳篷，搭建如圖的單頂帳篷需要17根鋼管，這樣的帳篷按圖、圖的方式串起來(lái)搭建，則串7頂這樣的帳篷需要_根鋼管答案83解析由題意可知，圖的單頂帳篷需要(17011)根鋼管，圖的帳篷需要(17111)根鋼管，圖的帳篷需要(17211)根鋼管，所以串7頂這樣的帳篷需要1761183(根)鋼管題型 演繹推理數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a11，an1Sn(nN*)證明：(1)數(shù)列是等比數(shù)列；(2)Sn14an.證明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2，又10，(小前提)故是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列(結(jié)論)(大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了)(2)由(1)可知4(n2)，Sn14(n1)4Sn14an(n2)，(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)對(duì)于任意正整數(shù)n，都有Sn14an.(結(jié)論)(第(2)問(wèn)的大前提是第(1)問(wèn)的結(jié)論以及題中的已知條件)三段論的應(yīng)用(1)三段論推理的依據(jù)是：如果集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P.(2)應(yīng)用三段論的注意點(diǎn)：解決問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)該明確什么是大前提，小前提，然后再找結(jié)論提醒：合情推理的結(jié)論是猜想，不一定正確；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時(shí)，得到的結(jié)論一定正確.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有ff成立證明yf(x)是周期函數(shù)，并指出其周期證明由ff，且f(x)f(x)，知f(3x)fff(x)f(x)，所以yf(x)是周期函數(shù)，且T3是其一個(gè)周期