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考點規(guī)范練40 空間向量及其運算
基礎(chǔ)鞏固組
1.在下列命題中:
①若向量a,b共線,則向量a,b所在的直線平行;
②若向量a,b所在的直線為異面直線,則向量a,b一定不共面;
③若三個向量a,b,c兩兩共面,則向量a,b,c共面;
④已知空間的三個向量a,b,c,則對于空間的任意一個向量p總存在實數(shù)x,y,z,使得p=xa+yb+zc.
其中正確命題的個數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案A
解析a與b共線,a,b所在直線也可能重合,故①不正確;根據(jù)自由向量的意義知,空間任意兩向量a,b都共面,故②錯誤;三個向量a,b,c中的任兩個一定共面,但它們?nèi)齻€卻不一定共面,故③不正確;只有當(dāng)a,b,c不共面時,空間任意一向量p才能表示為p=xa+yb+zc,故④不正確.綜上可知四個命題中正確的個數(shù)為0,故選A.
2.(2017浙江臺州統(tǒng)考)已知向量a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且a∥b,則實數(shù)m的值等于( )
A.32 B.-2 C.0 D.32或-2
答案B
解析∵a∥b,∴2m+12=3m=m-1-m,解得m=-2.
3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱AA1和BB1的中點,則sin
的值為( )
A.19 B.459
C.259 D.23
答案B
解析如圖,設(shè)正方體棱長為2,則易得CM=(2,-2,1),D1N=(2,2,-1),
∴cos=CMD1N|CM||D1N| =-19,∴sin=1--192
=459.
4.已知在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17),則這四個點( )
A.共線 B.共面
C.不共面 D.不能確定
答案B
解析易知AB=(3,4,5),AC=(1,2,2),AD=(9,14,16),設(shè)AD=xAB+yAC,則(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y),
即9=3x+y,14=4x+2y,16=5x+2y,解得x=2,y=3,
即AD=2AB+3AC,從而A,B,C,D四點共面.
5.在四面體O-ABC中,點M在OA上,且OM=2MA,N為BC的中點,若OG=13OA+x4OB+x4OC,則使點G與點M,N共線的x的值為( )
A.1 B.2 C.23 D.43
答案A
解析ON=12(OB+OC),OM=23OA.
假設(shè)點G與點M,N共線,則存在實數(shù)λ使得OG=λON+(1-λ)OM=λ2(OB+OC)+2(1-λ)3OA,
與OG=13OA+x4OB+x4OC比較可得2(1-λ)3=13,λ2=x4,解得x=1.故選A.
6.
如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,O為AC的中點.
化簡A1O-12AB-12AD= .
答案A1A
解析A1O-12AB-12AD=A1O-12(AB+AD)=A1O-AO=A1O+OA=A1A.
7.已知向量a=(2,4,x),b=(2,y,2),|a|=6,且a⊥b,則x+y= .
答案1或-3
解析∵a⊥b,∴ab=4+4y+2x=0.
又|a|=6=4+16+x2,
∴x=4,y=-3,或x=-4,y=1.
故x+y=1或x+y=-3.
8.已知點O為空間直角坐標(biāo)系的原點,向量OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),且點Q在直線OP上運動,當(dāng)QAQB取得最小值時,OQ的坐標(biāo)是 .
答案43,43,83
解析∵點Q在直線OP上,∴設(shè)點Q(λ,λ,2λ),
則QA=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=(2-λ,1-λ,2-2λ),
QAQB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6λ-432-23.即當(dāng)λ=43時,QAQB取得最小值-23.此時OQ=43,43,83.
能力提升組
9.已知向量a=(1-t,2t-1,0),b=(2,t,t),則|b-a|的最小值為 ( )
A.5 B.6 C.2 D.3
答案C
解析∵a=(1-t,2t-1,0),b=(2,t,t),
∴|b-a|=(-1-t)2+(t-1)2+t2=3t2+2,
當(dāng)t=0時,|b-a|取得最小值2.故選C.
10.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a,點E,F分別是BC,AD的中點,則AEAF的值為( )
A.a2 B.12a2 C.14a2 D.34a2
答案
C
解析設(shè)AB=a,AC=b,AD=c,
則|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量兩兩夾角為60.
AE=12(a+b),AF=12c,
∴AEAF=12(a+b)12c
=14(ac+bc)=14(a2cos60+a2cos60)=14a2.
11.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,O是底面ABCD的中心,E,F分別是CC1,AD的中點,則異面直線OE與FD1所成角的余弦值為( )
A.105 B.155 C.45 D.23
答案B
解析∵OE=12AC1=12(AB+AD+AA1),FD1=12AD+AA1,∴OEFD1=12(AB+AD+AA1)12AD+AA1
=1212ABAD+ABAA1+12AD2+ADAA1+12AA1AD+AA12=12(2+4)=3.
而|OE|=1222+22+22=3,|FD1|=5,
∴cos=315=155.故選B.
12.若{a,b,c}是空間的一個基底,且向量p=xa+yb+zc,則(x,y,z)叫向量p在基底{a,b,c}下的坐標(biāo).已知{a,b,c}是空間的一個基底,{a+b,a-b,c}是空間的另一個基底,一向量p在基底{a,b,c}下的坐標(biāo)為(4,2,3),則向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標(biāo)是( )
A.(4,0,3) B.(3,1,3)
C.(1,2,3) D.(2,1,3)
答案B
解析設(shè)p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標(biāo)為x,y,z,則
p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc, ①
∵p在{a,b,c}下的坐標(biāo)為(4,2,3),
∴p=4a+2b+3c, ②
由①②得x+y=4,x-y=2,z=3,∴x=3,y=1,z=3,
即p在{a+b,a-b,c}下的坐標(biāo)為(3,1,3).
13.已知e1,e2是空間單位向量,e1e2=12.若空間向量b滿足be1=2,be2=52,且對于任意x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),則|b|為( )
A.2 B.8 C.2 D.22
答案D
解析設(shè)e3為空間單位向量,且滿足e3⊥e2,e3⊥e1,
∵|b-(x0e1+y0e2)|=1,故設(shè)b=x0e1+y0e2+e3,
∵be1=2,即(x0e1+y0e2+e3)e1=2,
得x0+12y0=2.又∵be2=52,即(x0e1+y0e2+e3)e2=52,得12x0+y0=52,解2x0+y0=4,x0+2y0=5得x0=1,y0=2,此時,b=e1+2e2+e3,|b|=e12+4e22+e32+4e1e2+2e2e3+4e2e3=
1+4+1+412+0+0=8=22.
14.如圖,在平行六面體ABCD-EFGH中,棱AB,AD,AE的長分別為3,4,5,且∠EAD=∠EAB=∠DAB=120,設(shè)AB=a,AD=b,AE=c,則用a,b,c表示AG= ;BH的長為 .
答案a+b+c 57
解析因為AG=AB+AD+AE=a+b+c,
BH=AH-AB=AD+AE-AB=b+c-a,
所以|BH|=(b+c-a)2=57.
15.已知OA,OB,OC是空間兩兩垂直的單位向量,OP=xOA+yOB+zOC,且x+2y+4z=1,則|OP-OA-OB|的最小值為 .
答案22121
解析根據(jù)題意可得
|OP-OA-OB|=(x-1)2+(y-1)2+z2=(2y+4z)2+(y-1)2+z2=5y2+17z2+16yz-2y+1
=17z+817y2+2117y-17212+1-1721
≥421=22121.
16.
如圖,四棱錐O-ABCD中,AC垂直平分BD,|OB|=2,|OD|=1,則(OA+OC)(OB-OD)的值是 .
答案3
解析如圖所示,四棱錐O-ABCD中,設(shè)AC,BD交于點E,
由題意AC⊥BD,DE=BE,
所以O(shè)B+OD=2OE,EADB=ECDB.
又|OB|=2,|OD|=1,
所以(OA+OC)(OB-OD)=(OE+EA+OE+EC)(OB-OD)
=(2OE+EA+EC)(OB-OD)
=2OE(OB-OD)+(EA+EC)DB
=(OB+OD)(OB-OD)
=OB2-OD2=22-12=3.
17.已知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以AB,AC為邊的平行四邊形的面積;
(2)若|a|=3,且a分別與AB,AC垂直,求向量a的坐標(biāo).
解(1)由題意可得AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),所以cos=ABAC|AB||AC|=-2+3+61414=714=12.
所以sin=32,
所以以AB,AC為邊的平行四邊形的面積為
S=212|AB||AC|sin=1432=73.
(2)設(shè)a=(x,y,z),由題意得x2+y2+z2=3,-2x-y+3z=0,x-3y+2z=0,
解得x=1,y=1,z=1或x=-1,y=-1,z=-1.
所以向量a的坐標(biāo)為(1,1,1)或(-1,-1,-1).
18.(2018浙江嘉興)已知∠BOD=120,OC是∠BOD的平分線,沿OC將∠DOC翻折到∠AOC的位置,使得∠AOB=60(如圖),設(shè)OA=OB=OC=1,記OA=a,OB=b,OC=c,BC的中點為M,
(1)試用a,b,c表示AC和OM;
(2)求異面直線AC與OM所成角的余弦值.
解(1)由題意知AC=OC-OA=c-a,
∵BM=12BC=12(OC-OB)=c-b2,
∴OM=OB+BM=b+c-b2=b+c2.
(2)∵|a|=|b|=|c|=1,ab=ac=bc=12,
∴|AC|=|c-a|=c2-2ca+a2=1,|OM|=b+c2=12b2+2bc+c2=32,ACOM=(c-a)b+c2=12(c2+bc-ab-ac)=14.
設(shè)AC,OM的夾角為θ,則cosθ=ACOM|AC||OM|=36.
故異面直線AC與OM所成角的余弦值為36.
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