（通用版）2019高考數(shù)學二輪復習 第二篇 第20練 圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)精準提分練習 文.docx
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第20練 圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì) [明晰考情] 1.命題角度：圓錐曲線的定義、方程與幾何性質(zhì)是高考考查的熱點.2.題目難度：中等偏難. 考點一 圓錐曲線的定義及標準方程 方法技巧 (1)應用圓錐曲線的定義解題時，一定不要忽視定義中的隱含條件. (2)凡涉及橢圓或雙曲線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到焦點距離，一般可以利用定義進行轉(zhuǎn)化. (3)求解圓錐曲線的標準方程的方法是“先定型，后計算”. 1.已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C為一個焦點作過A，B的橢圓，則橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是( ) A.y2－＝1 B.x2－＝1 C.y2－＝1(y≤－1) D.x2－＝1(x≥1) 答案 C 解析 由兩點間距離公式，可得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，因為A，B都在橢圓上，所以|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2<14，故F的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的下支.由c＝7，a＝1，得b2＝48，所以F的軌跡方程是y2－＝1(y≤－1)，故選C. 2.已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線的方程為( ) A.－y2＝1 B.x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案 A 解析 依題意得＝，① 又a2＋b2＝c2＝5，② 聯(lián)立①②得a＝2，b＝1. ∴所求雙曲線的方程為－y2＝1. 3.已知橢圓＋＝1的兩個焦點是F1，F(xiàn)2，點P在該橢圓上，若|PF1|－|PF2|＝2，則△PF1F2的面積是________. 答案 解析 由橢圓的方程可知a＝2，c＝，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2， 所以|PF1|＝3，|PF2|＝1. 又|F1F2|＝2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2為直角三角形，且∠PF2F1為直角， 所以＝|F1F2||PF2|＝21＝. 4.已知P是拋物線y2＝4x上的一個動點，Q是圓(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一個動點，N(1,0)是一個定點，則|PQ|＋|PN|的最小值為________. 答案 3 解析 由拋物線方程y2＝4x，可得拋物線的焦點F(1,0)，又N(1,0)，所以N與F重合.過圓(x－3)2＋(y－1)2＝1的圓心M作拋物線準線的垂線MH，交圓于Q，交拋物線于P，則|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3. 考點二 圓錐曲線的幾何性質(zhì) 方法技巧 (1)確定橢圓和雙曲線的離心率的值及范圍，就是確立一個關于a，b，c的方程(組)或不等式(組)，再根據(jù)a，b，c的關系消掉b得到a，c的關系式. (2)要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等. 5.(2018全國Ⅱ)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則其漸近線方程為( ) A.y＝x B.y＝x C.y＝x D.y＝x 答案 A 解析 雙曲線－＝1的漸近線方程為bxay＝0. 又∵離心率＝＝， ∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a(a＞0，b＞0). ∴漸近線方程為axay＝0，即y＝x. 故選A. 6.(2018全國Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點.若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60，則C的離心率為( ) A.1－ B.2－ C. D.－1 答案 D 解析 在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60，設橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)， 且焦距|F1F2|＝2， 則|PF2|＝1，|PF1|＝， 由橢圓的定義可知，2a＝1＋，2c＝2， 得a＝，c＝1， 所以離心率e＝＝＝－1. 7.(2017山東)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右支與焦點為F的拋物線x2＝2py(p＞0)交于A，B兩點，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為________. 答案 y＝x 解析 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， ∴y1＋y2＝. 又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|， ∴y1＋＋y2＋＝4， 即y1＋y2＝p， ∴＝p，即＝，∴＝， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝x. 8.已知A是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左頂點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，P為雙曲線上一點，G是△PF1F2的重心，若＝λPF1，則雙曲線的離心率為________. 答案 3 解析 因為＝λPF1，所以∥PF1， 所以＝＝(O為坐標原點)，即＝， 所以e＝＝3. 考點三 圓錐曲線的綜合問題 方法技巧 (1)圓錐曲線范圍、最值問題的常用方法 定義性質(zhì)轉(zhuǎn)化法；目標函數(shù)法；條件不等式法. (2)圓錐曲線中的定值、定點問題可以利用特例法尋求突破，然后對一般情況進行證明. 9.已知方程－＝1表示橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是( ) A.(－∞，－1) B.(－2，＋∞) C.∪(－1，＋∞) D.∪ 答案 D 解析 由－＝1轉(zhuǎn)化成標準方程為＋＝1， 假設焦點在x軸上，則2＋m＞－(m＋1)＞0， 解得－＜m＜－1； 假設焦點在y軸上，則－(m＋1)＞2＋m＞0， 解得－2＜m＜－. 綜上可知，m的取值范圍為∪. 10.(2016四川)設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|＝2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為( ) A.B.C.D.1 答案 C 解析 如圖，由題意可知F，設P點坐標為，顯然， 當y0<0時，kOM<0；當y0>0時，kOM>0.要求kOM的最大值，不妨設y0>0，則＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，kOM＝＝≤＝，當且僅當y＝2p2時等號成立.故選C. 11.過拋物線y＝ax2 (a>0)的焦點F作一條直線交拋物線于A，B兩點，若線段AF，BF的長分別為m，n，則＝________. 答案 解析 顯然直線AB的斜率存在，故設直線方程為y＝kx＋，與y＝ax2聯(lián)立，消去y得ax2－kx－＝0， 設A(x1，ax)，B(x2，ax)，則x1＋x2＝，x1x2＝－， x＋x＝＋，m＝ax＋，n＝ax＋， ∴mn＝，m＋n＝，∴＝. 12.(2018齊齊哈爾模擬)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的短軸長為2，上頂點為A，左頂點為B，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，且△F1AB的面積為，點P為橢圓上的任意一點，則＋的取值范圍為________. 答案 解析 由已知得2b＝2，故b＝1， ∵△F1AB的面積為， ∴(a－c)b＝， ∴a－c＝2－， 又a2－c2＝(a－c)(a＋c)＝b2＝1， ∴a＝2，c＝， ∴＋＝ ＝＝， 又2－≤|PF1|≤2＋， ∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4， ∴1≤＋≤4， 即＋的取值范圍為. 1.若點O和點F(－2,0)分別為雙曲線－y2＝1(a＞0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則的取值范圍為( ) A.[3－2，＋∞) B.[3＋2，＋∞) C. D. 答案 B 解析 由題意，得22＝a2＋1，即a＝，設P(x，y)，x≥，＝(x＋2，y)，則＝(x＋2)x＋y2＝x2＋2x＋－1＝2－，因為x≥，所以的取值范圍為[3＋2，＋∞). 2.若橢圓的對稱軸是坐標軸，且短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，焦點到同側(cè)頂點的距離為，則橢圓的方程為________________. 答案 ＋＝1或＋＝1 解析 由題意，得 所以 所以b2＝a2－c2＝9. 所以當橢圓焦點在x軸上時，橢圓的方程為＋＝1；當橢圓焦點在y軸上時，橢圓的方程為＋＝1. 故橢圓的方程為＋＝1或＋＝1. 3.已知A(1,2)，B(－1,2)，動點P滿足⊥.若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線與動點P的軌跡沒有公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是________. 答案 (1,2) 解析 設P(x，y)，由題設條件， 得動點P的軌跡方程為(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0， 即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)為圓心，1為半徑的圓. 又雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝x，即bxay＝0， 由題意，可得>1，即>1，所以e＝<2， 又e>1，故1
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