3、2＝－2，所以|AB|＝|x1－x2|＝4，所以|AB|＝4≥4，即當m＝0時，|AB|有最小值4.
答案 C
4．(20xx·西安模擬)已知雙曲線x2－＝1的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則·的最小值為 ( )．
A．－2 B．－
C．1 D．0
解析 設點P(x，y)，其中x≥1.依題意得A1(－1,0)，F(xiàn)2(2,0)，則有＝x2－1，y2＝3(x2－1)，·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝42－，其中x≥1.因此，當x＝1時，·取得最小值－2，選A.
答案 A
5
4、．(20xx·寧波十校聯(lián)考)設雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則e2＝ ( )．
A．1＋2 B．4－2
C．5－2 D．3＋2
解析
如圖，設|AF1|＝m，則|BF1|＝m，|AF2|＝m－2a，|BF2|＝m－2a，∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m－2a＋m－2a＝m，得m＝2a，又由|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，可得m2＋(m－2a) 2＝4c2，
即得(20－8)a2＝4c2，∴e2＝＝5－2，故應選C.
答案 C
5、
二、填空題
6．(20xx·東北三省聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，F(xiàn)(，0)為其右焦點，過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2，則橢圓C的方程為________．
解析 由題意，得
解得∴橢圓C的方程為＋＝1.
答案?。?
7．已知雙曲線方程是x2－＝1，過定點P(2,1)作直線交雙曲線于P1，P2兩點，并使P(2,1)為P1P2的中點，則此直線方程是________．
解析 設點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則由x－＝1，x－＝1，得k＝＝＝＝4，從而所求方程為4x－y－7＝0.將此直線方程與雙曲線方程聯(lián)立得14x2－56x＋51＝0，Δ＞0，故此
6、直線滿足條件．
答案 4x－y－7＝0
8．(20xx·延安模擬)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F且傾斜角為60°的直線l與拋物線分別交于A，B兩點，則的值是________．
解析 設A(x1，y1)，B (x2，y2)，且x1>x2，易知直線AB的方程為y＝x－ p，代入拋物線方程y2＝2px，可得3x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝p，x1x2＝，可得x1＝p，x2＝，可得＝＝＝3.
答案 3
三、解答題
9．橢圓＋＝1(a＞b＞0)與直線x＋y－1＝0相交于P，Q兩點，且OP⊥OQ(O為原點)．
(1)求證：＋等于定值；
(2)若橢圓的離心率e∈，求橢圓長
7、軸長的取值范圍．
(1)證明 由消去y，
得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，①
∵直線與橢圓有兩個交點，∴Δ＞0，
即4a4－4(a2＋b2)a2(1－b2)＞0?a2b2(a2＋b2－1)＞0，
∵a＞b＞0，∴a2＋b2＞1.
設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1 、x2是方程①的兩實根．
∴x1＋x2＝，x1x2＝.②
由OP⊥OQ得x1x2＋y1y2＝0，
又y1＝1－x1，y2＝1－x2，
得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.③
式②代入式③化簡得a2＋b2＝2a2b2.④
∴＋＝2.
(2)解 利用(1)的結(jié)論，將a表示為e的
8、函數(shù)
由e＝?b2＝a2－a2e2，
代入式④，得2－e2－2a2(1－e2)＝0.
∴a2＝＝＋.
∵≤e≤，∴≤a2≤.
∵a＞0，∴≤a≤.
∴長軸長的取值范圍是[，]．
10．(20xx·臨川模擬)已知橢圓＋＝1(a＞0，b＞0)的左焦點F為圓x2＋y2＋2x＝0的圓心，且橢圓上的點到點F的距離最小值為－1.
(1)求橢圓方程；
(2)已知經(jīng)過點F的動直線l與橢圓交于不同的兩點A，B，點M，證明：·為定值．
解 (1)化圓的標準方程為(x＋1)2＋y2＝1，
則圓心為(－1,0)，半徑r＝1，所以橢圓的半焦距c＝1.
又橢圓上的點到點F的距離最小值為－1，所以
9、a－c＝－1，即a＝.
故所求橢圓的方程為＋y2＝1.
(2)①當直線l與x軸垂直時，l的方程為x＝－1.
可求得A，B.
此時，·＝·＝－.
②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝k(x＋1)，由得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝.因為·＝·＝＋y1y2
＝x1x2＋(x1＋x2)＋2＋k(x1＋1)·k(x2＋1)
＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋k2＋
＝(1＋k2)·＋＋k2＋
＝＋＝－2＋＝－.
所以，·為定值，且定值為－.
能力提升題組
(建議用時：25分鐘)
10、
一、選擇題
1．(20xx·石家莊模擬)若AB是過橢圓＋＝1(a＞b＞0)中心的一條弦，M是橢圓上任意一點，且AM、BM與兩坐標軸均不平行，kAM，kBM分別表示直線AM，BM的斜率，則kAM·kBM＝ ( )．
A．－ B．－
C．－ D．－
解析 法一 (直接法)：設A(x1，y1)，M(x0，y0)，
則B(－x1，－y1)，
kAM·kBM＝·＝
＝＝－.
法二 (特殊值法)：因為四個選項為定值，取A(a,0)，B(－a,0)，M(0，b)，可得kAM·kBM＝－.
答案 B
2．(20xx·蘭州診斷)若直線mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4沒有交點
11、，則過點(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點個數(shù)為 ( )．
A．至多一個 B．2
C．1 D．0
解析 ∵直線mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4沒有交點，
∴>2，∴m2＋n2<4，∴＋<＋<1，
∴點(m，n)在橢圓＋＝1的內(nèi)部，∴過點(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點有2個，故選B.
答案 B
二、填空題
3．(20xx·長安一中模擬)若C(－，0)，D(，0)，M是橢圓＋y2＝1上的動點，則＋的最小值為________．
解析 由橢圓＋y2＝1知c2＝4－1＝3，∴c＝，
∴C、D是該橢圓的兩焦點，令|MC|＝r1，|MD|＝r2，
則r1＋r2＝2a＝4，
12、
∴＋＝＋＝＝，
又∵r1r2≤2＝＝4，
∴＋＝≥1.
當且僅當r1＝r2時，上式等號成立．
故＋的最小值為1.
答案 1
三、解答題
4．(20xx·合肥一模)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1和F2，由四個點M(－a，b)、N(a，b)、F2和F1組成了一個高為，面積為3的等腰梯形．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點F1的直線和橢圓交于兩點A，B，求△F2AB面積的最大值．
解 (1)由條件，得b＝，且×＝3，
所以a＋c＝3.又a2－c2＝3，解得a＝2，c＝1.
所以橢圓的方程＋＝1.
(2)顯然，直線的斜率不能為0，
設直線方程為x＝my－1，
直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．
聯(lián)立方程消去x，
得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
因為直線過橢圓內(nèi)的點，無論m為何值，直線和橢圓總相交．
∴y1＋y2＝，y1y2＝－.
S△F2AB＝|F1F2||y1－y2|＝|y1－y2|
＝＝12
＝4＝4，
令t＝m2＋1≥1，設y＝t＋，易知t∈時，函數(shù)單調(diào)遞減，t∈函數(shù)單調(diào)遞增，所以當t＝m2＋1＝1，即m＝0時，ymin＝.
S△F2AB取最大值3.
新編【創(chuàng)新設計】高考數(shù)學北師大版一輪訓練：第8篇 第8講 圓錐曲線的熱點問題
