新編高考數(shù)學(xué)三輪講練測核心熱點總動員新課標(biāo)版 專題06 三角化簡求值 Word版含解析

20xx年高考三輪復(fù)習(xí)系列：講練測之核心熱點 【全國通用版】 熱點六 三角化簡求值【名師精講指南篇】【高考真題再現(xiàn)】1.【20xx新課標(biāo)全國】設(shè)當(dāng)時,函數(shù)取得最大值,則_【答案】；2.【20xx新課標(biāo)全國】已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為,則（ ）（A） （B） （C）（D）【答案】D；【解析】因為,且銳角ABC,故,故,解得.3.【20xx高考全國1文】若,則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：由,可得：同正或同負(fù),即可排除A和B,又由,故.4.【20xx全國1高考理】設(shè)且則（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】C5.【20xx全國1理】（ ）.A. B C DB. 原式.故選D【熱點深度剖析】三角函數(shù)的化簡、求值及最值問題,主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式,和、差、倍、半、和積互化公式在求三角函數(shù)值時的應(yīng)用,考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能,以及基本運(yùn)算的能力,特別突出算理方法的考查 20xx年試題主要考查三角恒等變換,及倍角公式的靈活運(yùn)用、同角的三角函數(shù)關(guān)系等知識以及相應(yīng)的運(yùn)算能力. 20xx年的試題文主要考查三角函數(shù)的同角的三角函數(shù)關(guān)系,理科考查三角函數(shù)的同角的三角函數(shù)關(guān)系,三角恒等變換.20xx主要考查兩角和與差的三角函數(shù)公式.通過三年試題來看,二倍角公式,同角的三角函數(shù)關(guān)系是考試的重點從近幾年的高考試題來看,利用同角三角函數(shù)的關(guān)系改變?nèi)呛瘮?shù)的名稱,利用誘導(dǎo)公式、和差角公式及二倍角公式改變角的恒等變換是高考的熱點,常與三角函數(shù)式的求值、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角形中三角恒等變化,向量等知識綜合考查,既有選擇題、填空題,又有解答題,屬中低檔題預(yù)測20xx年會加大對三角客觀題考查的力度,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式及三角恒等變換是考查重點【重點知識整合】一三角函數(shù)誘導(dǎo)公式1.對于形如即滿足中取偶數(shù)時：等于角的同名三角函數(shù),前面加上一個把看成是銳角時,該角所在象限的符號；2.對于形如即滿足中取奇數(shù)時：等于角的余名三角函數(shù),前面加上一個把看成是銳角時,該角所在象限的符號.3.口訣：奇變偶不變,符號看象限（看原函數(shù),同時可把看成是銳角）.4.運(yùn)用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化角的一般步驟：(1)負(fù)化正：當(dāng)已知角為負(fù)角時,先利用負(fù)角的誘導(dǎo)公式把這個角的三角函數(shù)化為正角的三角函數(shù)值；(2)正化負(fù)：當(dāng)已知角是大于的角時,可用的誘導(dǎo)公式把這個角的三角函數(shù)值化為主區(qū)間內(nèi)的三角函數(shù)值；(3)主化銳：當(dāng)已知角是到內(nèi)的角時,可利用的誘導(dǎo)公式把這個角的三角函數(shù)值化為到內(nèi)的角.二 兩角和與差的三角函數(shù)公式1. 兩角和與差的正弦公式：.變形式：；2.兩角和與差的余弦公式：變形式：；3兩角和與差的正切公式：.變形式：.注意：運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式的關(guān)鍵是熟記公式,我們不僅要記住公式,更重要的是抓住公式的特征,如角的關(guān)系,次數(shù)關(guān)系,三角函數(shù)名等抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對提高記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用,而且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特征,有利于在解題時觀察分析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)想到相應(yīng)的公式,從而找到解題的切入點.三二倍角公式的正弦、余弦、正切1.二倍角的正弦公式:；二倍角的余弦公式:；二倍角的正切公式: .2. 降冪公式：；.3.升冪公式：;.注意：在二倍角公式中,兩個角的倍數(shù)關(guān)系,不僅限于2是的二倍,要熟悉多種形式的兩個角的倍數(shù)關(guān)系,同時還要注意三個角的內(nèi)在聯(lián)系的作用,是常用的三角變換.【應(yīng)試技巧點撥】1. 利用誘導(dǎo)公式求值：給角求值的原則和步驟(1)原則：負(fù)化正、大化小、化到銳角為終了.(2)步驟：利用誘導(dǎo)公式可以把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為之間角的三角函數(shù),然后求值,其步驟為：給值求值的原則:尋求所求角與已知角之間的聯(lián)系,通過相加或相減建立聯(lián)系,若出現(xiàn)的倍數(shù),則通過誘導(dǎo)公式建立兩者之間的聯(lián)系,然后求解.常見的互余與互補(bǔ)關(guān)系(1)常見的互余關(guān)系有：與；與；與等. (2)常見的互補(bǔ)關(guān)系有： 與;與等.遇到此類問題,不妨考慮兩個角的和,要善于利用角的變換的思想方法解決問題.2.利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)的原則和要求(1)原則：遵循誘導(dǎo)公式先行的原則,即先用誘導(dǎo)公式化簡變形,達(dá)到角的統(tǒng)一,再進(jìn)行三角函數(shù)名稱轉(zhuǎn)化,以保證三角函數(shù)名稱最少.(2)要求：化簡過程是恒等變形；結(jié)果要求項數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,結(jié)構(gòu)盡可能簡單,能求值的要求出值.2. 利用誘導(dǎo)公式證明三角恒等式的主要思路(1)由繁到簡法：由較繁的一邊向簡單一邊化簡.(2)左右歸一法：使兩端化異為同,把左右式都化為第三個式子.(3)轉(zhuǎn)化化歸法：先將要證明的結(jié)論恒等變形,再證明.提醒：由終邊相同的角的關(guān)系可知,在計算含有的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算,如.4. 正、余弦三兄妹“、”的應(yīng)用與通過平方關(guān)系聯(lián)系到一起,即,因此在解題中若發(fā)現(xiàn)題設(shè)條件有三者之一,就可以利用上述關(guān)系求出或轉(zhuǎn)化為另外兩個.5.如何利用“切弦互化”技巧（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得結(jié)構(gòu)形式,這樣減少了變量,統(tǒng)一為“切”得表達(dá)式,進(jìn)行求值. 常見的結(jié)構(gòu)有: 的二次齊次式（如）的問題常采用“”代換法求解；的齊次分式（如）的問題常采用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形 （2）切化弦：利用公式,把式子中的切化成弦.一般單獨(dú)出現(xiàn)正切、余切的時候,采用此技巧.6.三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu).即首先觀察角與角之間的關(guān)系,注意角的一些常用變式,角的變換是三角函數(shù)變換的核心.第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系,通常“切化弦”；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點.基本的技巧有:（1）巧變角：已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如,等.(2)三角函數(shù)名互化：切割化弦,弦的齊次結(jié)構(gòu)化成切.(3)公式變形使用：如(4)三角函數(shù)次數(shù)的降升：降冪公式與升冪公式.(5)式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化.(6)常值變換主要指“1”的變換：等.（7）輔助角公式：(其中角所在的象限由的符號確定,的值由確定.在求最值、化簡時起著重要作用,這里只要掌握輔助角為特殊角的情況即可.如等.【考場經(jīng)驗分享】1在利用三角函數(shù)定義時,點可取終邊上任一點,如有可能則取終邊與單位圓的交點一定是正值2同角三角函數(shù)關(guān)系及誘導(dǎo)公式要注意象限角對三角函數(shù)符號的影響,尤其是利用平方關(guān)系在求三角函數(shù)值時,進(jìn)行開方時要根據(jù)角的象限或范圍判斷符號,正確取舍3使用誘導(dǎo)公式時一定要注意三角函數(shù)值在各象限的符號,特別是在具體題目中出現(xiàn)類似k±(kZ)的形式時,需要對k的取值進(jìn)行分類討論,從而確定三角函數(shù)值的正負(fù)4.重視三角函數(shù)的“三變”： “三變”是“變角”,“ 變名”,“ 變式”；變角為：對角的拆分要盡可能化為同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等在解決求值、化簡、證明問題時,一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異,再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃?兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式在學(xué)習(xí)時應(yīng)注意以下幾點：（1）不僅對公式的正用逆用要熟悉,而且對公式的變形應(yīng)用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角如,等； （3）注意倍角的相對性（4）要時時注意角的范圍（5）化簡要求熟悉常用的方法與技巧,如切化弦,異名化同名,異角化同角等.5證明三角等式的思路和方法.（1）思路：利用三角公式進(jìn)行化名,化角,改變運(yùn)算結(jié)構(gòu),使等式兩邊化為同一形式.（2）證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法,利用函數(shù)的單調(diào)性,利用正、余弦函數(shù)的有界性,利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等.6解答三角高考題的策略.（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異,即進(jìn)行所謂的“差異分析”.（2）尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式,找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系.（3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓?促使差異的轉(zhuǎn)化.7加強(qiáng)三角函數(shù)應(yīng)用意識的訓(xùn)練由于考生對三角函數(shù)的概念認(rèn)識膚淺,不能將以角為自變量的函數(shù)迅速與三角函數(shù)之間建立聯(lián)系,造成思維障礙,思路受阻.實際上,三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù),也是以實數(shù)為自變量的函數(shù),它產(chǎn)生于生產(chǎn)實踐,是客觀實際的抽象,同時又廣泛地應(yīng)用于客觀實際,故應(yīng)培養(yǎng)實踐第一的觀點.總之,三角部分的考查保持了內(nèi)容穩(wěn)定,難度穩(wěn)定,題量穩(wěn)定,題型穩(wěn)定,考查的重點是三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象,三角函數(shù)的求值問題以及三角變換的方法.8變?yōu)橹骶€、抓好訓(xùn)練變是本章的主題,在三角變換考查中,角的變換,三角函數(shù)名的變換,三角函數(shù)次數(shù)的變換,三角函數(shù)式表達(dá)形式的變換等比比皆是,在訓(xùn)練中,強(qiáng)化變意識是關(guān)鍵,但題目不可太難,較特殊技巧的題目不做,立足課本,掌握課本中常見問題的解法,把課本中習(xí)題進(jìn)行歸類,并進(jìn)行分析比較,尋找解題規(guī)律.針對高考中題目看,還要強(qiáng)化變角訓(xùn)練,經(jīng)常注意收集角間關(guān)系的觀察分析方法.另外如何把一個含有不同名或不同角的三角函數(shù)式化為只含有一個三角函數(shù)關(guān)系式的訓(xùn)練也要加強(qiáng),這也是高考的重點.同時應(yīng)掌握三角函數(shù)與二次函數(shù)相結(jié)合的題目.三角函數(shù)求值中要特別注意角的范圍,如根據(jù)求的值時,中的符號是根據(jù)角的范圍確定的,即當(dāng)?shù)姆秶沟脮r,取正號,反之取負(fù)號注意在運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系時也有類似問題9.本熱點一般難度不大,屬于得全分的題目,一般放在選擇題與填空題的中間位置,但是因題目解法的靈活性造成在緊張的考試氛圍里面,容易一時的思路堵塞,需冷靜處理,如果一時想不到化簡的方向,可暫且放一放,不要鉆牛角尖,否則可能造成心理負(fù)擔(dān),情緒受到影響,因新課標(biāo)高考對這個熱點考查難度已經(jīng)降低,學(xué)生應(yīng)有必勝的信心.【名題精選練兵篇】1【20xx屆江西師大附中、鷹潭一中高三下第一次聯(lián)考】式子的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立.故C正確.2【20xx屆江西省高安中學(xué)等九校高三下學(xué)期聯(lián)考】在中,內(nèi)角所對的邊分別為,若則（ ）A.成等差數(shù)列 B.成等比數(shù)列C.成等差數(shù)列 D.成等比數(shù)列【答案】B【解析】, ,由正弦定理可知,所以成等比數(shù)列,故選B.3【20xx屆廣東省肇慶市高三上期末】已知tan=2,則=（ ）A B C D【答案】A【解析】tan=2,則=sincos=,故選A4【20xx屆廣東省佛山市高三上期末】已知tanx=,則sin2（+x）=（ ）A B C D【答案】D【解析】tanx=,則sin2（+x）=+=+=+=,故選D5【20xx屆四川省成都七中高三下學(xué)期模擬】直線的傾斜角是,則的值是（ ）A-3 B-2 C D3【答案】C【解析】由于直線的傾斜角是,所以,因此,故選C6【20xx屆浙江省寧波市“十?！备呷?lián)考】函數(shù),的單調(diào)遞增區(qū)間是 .【答案】.【解析】,當(dāng)時,故令,單調(diào)遞增區(qū)間是,故填：7【16屆浙江省寧波市“十?！备呷?lián)考】已知,且有,則 . 【答案】. 【解析】,故填：.8【20xx屆江蘇省蘇中三市高三第二次調(diào)研】若存在,使得,則實數(shù)的取值范圍是 【答案】【解析】令,當(dāng)時,當(dāng)時,由得,故,即存在,使得成立,利用導(dǎo)數(shù)知識可得為上的單調(diào)增函數(shù),所以,為上的單調(diào)減函數(shù),所以,從而9【20xx屆福建省廈門第一中學(xué)高三下模擬】的三個內(nèi)角的對邊分別為,若,則的取值范圍是 .【答案】10【20xx屆甘肅省河西五市部分普通高中高三第一次聯(lián)考】已知,則的值為 【答案】.【解析】,故填：.11【20xx屆湖北省襄陽市高三上學(xué)期期末】若tan=2tan,則= 【答案】【解析】：tan=2tan,則= = =,故答案為：12. 【20xx屆新高考單科綜合調(diào)研卷（浙江卷）】若,是第三象限的角,則 （ ）A B C D【答案】B.【解析】由題意,因為是第三象限的角,所以,因此.13. 【惠安一中、養(yǎng)正中學(xué)、安溪一中20xx屆高三上學(xué)期聯(lián)合考試】已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊上一點,則 等于（ ）A B C D【答案】D.【解析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義,.14. 【宿遷市20xx屆高三年級摸底考試】若,則的值是 【答案】.【解析】.15. 【浙江省效實中學(xué)20xx屆高三上學(xué)期期末考試】化簡：A B C D【答案】D【解析】,答案D.16. 【拉薩中學(xué)高三年級（20xx屆）第三次月考試卷】若, ,則=（ ） A. B. C. D. 或【答案】D.17. 若,則 A B C D【答案】C.【解析】因為,所以,且；又因為,且,所以,且又因為,所以故應(yīng)選C.18. 【北京101中學(xué)20xx20xx學(xué)年度高三第一學(xué)期期中模擬】在中,若 .【答案】2【解析】因為,所以【名師原創(chuàng)測試篇】1. 若銳角滿足,則的值為（ ） A. B. C. D.【答案】A2. 已知,則_【答案】2【解析】由已知得,所以3. 已知第三象限角的終邊經(jīng)過點,則( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由題可得,因為角是第三象限角,所以,根據(jù)三角函數(shù)的概念可得,故選C. 4. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出結(jié)果的值為（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】由程序框圖可知.5.在中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知,則角_.【答案】【解析】, ,兩式相減得,由正弦定理得.