新版廣東省廣州市高考數學一輪復習 專項檢測試題：28 函數的奇偶性、周期性和對稱性

新版-新版數學高考復習資料-新版 1 1 精編數學高考復習資料函數的奇偶性、周期性和對稱性一、奇偶性1、奇函數的定義：一般地，如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數就叫做奇函數。 （1）定義域必須關于原點對稱；（2）對定義中的任意一個，都有； 精編數學高考復習資料（3）圖象特征：奇函數圖象關于原點對稱。（這是判斷奇函數的直觀方法）2、偶函數定義：一般地，如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數就叫做偶函數。（1）定義域必須關于原點對稱；（2）對定義中的任意一個，都有；（3）圖象特征：偶函數圖象關于軸對稱。（這是判斷偶函數的直觀方法）二、周期性周期函數的定義：對于定義域內的每一個，都存在非零常數，使得恒成立，則稱函數具有周期性，叫做的一個周期，則（）也是的周期，所有周期中的最小正數叫的最小正周期，并不是所有周期函數都存在最小正周期。例如，狄利克雷函數，當為有理數時，取1；當為非有理數時，取0。（1）如果函數滿足且，（和是不相等的常數），則是以為為周期的周期函數。（2）如果奇函數滿足（），則函數是以為周期的周期函數。（3）如果偶函數滿足（），則函數是以為周期的周期函數。 三、對稱性 精編數學高考復習資料1、函數圖象本身的對稱性（自身對稱）題設：函數對定義域內一切來說，其中為常數，函數滿足：（1）函數圖象關于直線成軸對稱；（2）函數的圖象關于直線成軸對稱；（3）函數圖象關于直線成軸對稱；（4）函數圖象關于軸對稱（偶函數）；（5）函數圖象關于成中心對稱；（6）函數圖象關于原點成中心對稱（奇函數）； 精編數學高考復習資料（7）如果函數滿足且，（和是不相等的常數），則是以為為周期的周期函數； 精編數學高考復習資料（8）如果奇函數滿足（），則函數是以為周期的周期函數；（9）如果偶函數滿足（），則函數是以為周期的周期函數。 精編數學高考復習資料2、兩個函數的圖象對稱性（相互對稱）（利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解）（1）曲線與關于軸對稱。（2）曲線與關于軸對稱。（3）曲線與的圖象關于原點對稱；（4）曲線與的圖象關于直線對稱。 精編數學高考復習資料（5）曲線與關于直線對稱。（6）曲線關于直線對稱曲線為。（7）曲線關于直線對稱曲線為。（8）曲線關于直線對稱曲線為。（9）曲線關于點對稱曲線為。注意：設，都有且有個實根，則所有實根之和為。例1：已知滿足，當時且，若，求大小關系？解：由已知得，對稱軸，也為一條對稱軸，例2：若函數，有，求。解：，知的圖象關于對稱，而的對稱中心 ， ，則。例3：設是定義在上的函數，均有，當時，求當時，的解析式。解：由有得 精編數學高考復習資料設，則，；，當時，。