（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 考點(diǎn)規(guī)范練21 解三角形應(yīng)用舉例.docx

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考點(diǎn)規(guī)范練21　解三角形應(yīng)用舉例 基礎(chǔ)鞏固組 1.在相距2 km的A,B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C,若∠CAB=75,∠CBA=60,則A,C兩點(diǎn)之間的距離為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.6 km B.2 km C.3 km D.2 km 答案A 解析如圖,在△ABC中,由已知可得∠ACB=45,∴ACsin60=2sin45,∴AC=2232=6(km). 2. 在地平面上有一旗桿OP(O在地面),為了測(cè)得它的高度h,在地平面上取一基線AB,測(cè)得其長為20 m,在A處測(cè)得點(diǎn)P的仰角為30,在B處測(cè)得點(diǎn)P的仰角為45,又測(cè)得∠AOB=30,則旗桿的高h(yuǎn)等于(　　) A.10 m B.20 m C.103 m D.203 m 答案B 解析由題意得∠PAO=30,∠PBO=45,∴AO=3h,BO=h, 所以AB2=202=(3h)2+h2-23hhcos30, 因此h2=400,h=20.故選B. 3.一艘游輪航行到A處時(shí)看燈塔B在A的北偏東75,距離為126海里,燈塔C在A的北偏西30,距離為123海里,該游輪由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時(shí)再看燈塔B在其南偏東60方向,則此時(shí)燈塔C位于游輪的(　　) A.正西方向 B.南偏西75方向 C.南偏西60方向 D.南偏西45方向 答案C 解析如圖, 在△ABD中,B=45,由正弦定理有ADsin45=ABsin60=12632=242,AD=24. 在△ACD中,由余弦定理有CD2=AC2+AD2-2ACADcos30,因?yàn)锳C=123,AD=24,所以CD=12, 由正弦定理有CDsin30=ACsin∠CDA,sin∠CDA=32, 故∠CDA=60或120. 因AD>CD,故∠CDA為銳角,所以∠CDA=60,故選C. 4. 某大學(xué)的大門蔚為壯觀,有個(gè)學(xué)生想搞清楚門洞拱頂D到其正上方點(diǎn)A的距離,他站在地面C處,利用皮尺量得BC=9 m,利用測(cè)角儀測(cè)得仰角∠ACB=45,測(cè)得仰角∠BCD后通過計(jì)算得到sin∠ACD=2626,則AD的距離為(　　) A.2 m B.2.5 m C.3 m D.4 m 答案C 解析設(shè)AD=xm,則BD=(9-x)m,CD=92+(9-x)2m. 在△ACD中應(yīng)用正弦定理得CDsin∠DAC=ADsin∠ACD, 即92+(9-x)222=x2626, 則2[92+(9-x)2]=26x2,整理,得2x2+3x-27=0, 即(2x+9)(x-3)=0,解得x=3(m). 5. 如圖,要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔的高度,選擇甲、乙兩觀測(cè)點(diǎn).在甲、乙兩點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45,30,在水平面上測(cè)得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120,甲、乙兩地相距500 m,則電視塔的高度是(　　) A.1002 m B.400 m C.2003 m D.500 m 答案D 解析設(shè)塔高為xm,則由已知可得BC=xm,BD=3xm,由余弦定理可得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos∠BCD,即3x2=x2+5002+500x,解得x=500(m). 6.在200 m高的山頂上,測(cè)得山下一塔頂和塔底的俯角分別是30,60,則塔高為　　　　　m. 答案4003 解析如圖,由已知可得∠BAC=30,∠CAD=30, ∴∠BCA=60,∠ACD=30,∠ADC=120. 又AB=200m,∴AC=40033m. 在△ACD中,由余弦定理得, AC2=2CD2-2CD2cos120=3CD2,∴CD=13AC=4003m. 7. 如圖所示,長為3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上,另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上,石堤的傾斜角為α,則坡度值tan α=　　　　　. 答案2315 解析在△ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且α+∠ACB=π. 由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(π-α), 解得cosα=516,則sinα=23116,所以tanα=sinαcosα=2315. 8. 海島B上有一座高為10米的塔,塔頂?shù)囊粋€(gè)觀測(cè)站A,上午11時(shí)測(cè)得一游船位于島北偏東15方向上,且俯角為30的C處,一分鐘后測(cè)得該游船位于島北偏西75方向上,且俯角45的D處.(假設(shè)游船勻速行駛)則CD的長　　　　　;又經(jīng)過一段時(shí)間后,游船到達(dá)海島B的正西方向E處,此時(shí)游船距離海島B　　　　　米. 答案20　56 解析(1)在Rt△ABC中,∠BAC=60,AB=10米, 則BC=103米. 在Rt△ABD中,∠BAD=45,AB=10米,則BD=10米. 在Rt△BCD中,∠DBC=75+15=90, 則CD=BD2+BC2=20(米). (2)在Rt△BCD中,∠BCD=30, 又因?yàn)椤螪BE=15,所以∠CBE=105,所以∠CEB=45. 在△BCE中,由正弦定理可知EBsin30=BCsin45, 所以EB=BCsin30sin45=56(米). 能力提升組 9.在某個(gè)位置測(cè)得某山峰仰角為α,對(duì)著山峰在水平地面上前進(jìn)900 m后測(cè)得仰角為2α,繼續(xù)在水平地面上前進(jìn)3003 m后,測(cè)得山峰的仰角為4α,則該山峰的高度為(　　) A.300 m B.450 m C.3003 m D.600 m 答案B 解析如圖所示,易知,在△ADE中,∠DAE=2α,∠ADE=180-4α,AD=3003m,由正弦定理,得900sin4α=3003sin2α,解得cos2α=32,則sin2α=12,sin4α=32,因此在Rt△ABC中山峰的高度h=3003sin4α=300332=450(m). 10. 如圖,一條河的兩岸平行,河的寬度d=0.6 km,一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對(duì)岸的碼頭B.已知AB=1 km,水的流速為2 km/h,若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時(shí)間為6 min,則客船在靜水中的速度為(　　) A.8 km/h B.62 km/h C.234 km/h D.10 km/h 答案B 解析設(shè)AB與河岸線所成的角為θ,客船在靜水中的速度為vkm/h,由題意知,sinθ=0.61=35,從而cosθ=45,所以由余弦定理得110v2=11022+12-21102145,解得v=62. 11. 某人在汽車站M的北偏西20的方向上的A處(如圖所示),觀察到C處有一輛汽車沿公路向M站行駛,公路的走向是M站的北偏東40.開始時(shí),汽車到A處的距離為31 km,汽車前進(jìn)20 km后,到A處的距離縮短了10 km.問汽車還需行駛(　　)km,才能到達(dá)汽車站M? A.5 km B.10 km C.15 km D.20 km 答案C 解析設(shè)汽車前進(jìn)20km后到達(dá)B處,在△ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理,得cosC=AC2+BC2-AB22ACBC=2331,則sinC=12331.所以sin∠MAC=sin(120-C)=sin120cosC-cos120sinC=35362.在△MAC中,由正弦定理,得MC=ACsin∠MACsin∠AMC=313536232=35,從而有MB=MC-BC=15(km). 12. 為了豎一塊廣告牌,要制造三角形支架,如圖,要求∠ACB=60,BC的長度大于1米,且AC比AB長0.5米,為了穩(wěn)固廣告牌,要求AC越短越好,則AC最短為 (　　) A.1+32米 B.2+32米 C.1+3米 D.2+3米 答案D 解析由題意設(shè)BC=x(x>1)米,AC=t(t>0)米,依題設(shè)AB=AC-0.5=t-0.5米,在△ABC中,由余弦定理得:AB2=AC2+BC2-2ACBCcos60,即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化簡(jiǎn)并整理得:t=x2-0.25x-1(x>1),即t=x-1+0.75x-1+2,因x>1,故t=x-1+0.75x-1+2≥2+3當(dāng)且僅當(dāng)x=1+32時(shí)取等號(hào),此時(shí)取最小值2+3,應(yīng)選答案D. 13.如圖,從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75,30,此時(shí)氣球的高是60 m,則河流的寬度BC等于(　　) A.240(3+1) m B.180(2-1) m C.120(3-1) m D.30(3+1) m 答案C 解析如圖,∠ACD=30,∠ABD=75,AD=60m, 在Rt△ACD中, CD=ADtan∠ACD=60tan30=603(m),在Rt△ABD中,BD=ADtan∠ABD=60tan75=602+3=60(2-3)(m), ∴BC=CD-BD=603-60(2-3)=120(3-1)(m). 14.如圖,為測(cè)量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN=60,C點(diǎn)的仰角∠CAB=45以及∠MAC=75;從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA=60.已知山高BC=100 m,則山高M(jìn)N=　　　　　m. 答案150 解析根據(jù)圖示,AC=1002m. 在△MAC中,∠CMA=180-75-60=45. 由正弦定理得ACsin45=AMsin60?AM=1003m. 在△AMN中,MNAM=sin60,∴MN=100332=150m. 15. 如圖,在某災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場(chǎng),一條搜救犬從點(diǎn)A出發(fā)沿正北方向行進(jìn)x m到達(dá)B處發(fā)現(xiàn)生命跡象,然后向右轉(zhuǎn)105,行進(jìn)10 m 到達(dá)C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象,這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135回到出發(fā)點(diǎn),那么x=　　　　　. 答案1063 解析由題圖知,AB=x,∠ABC=180-105=75,∠BCA=180-135=45.∵BC=10,∠BAC=180-75-45=60, ∴xsin45=10sin60,∴x=10sin45sin60=1063. 16. 如圖一塊長方形區(qū)域ABCD,AD=2,AB=1,在邊AD的中點(diǎn)O處有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈,其照射角∠EOF始終為π4,設(shè)∠AOE=α0≤α≤34π,探照燈O照射在長方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積為S. (1)當(dāng)0≤α≤π2時(shí),求S關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式; (2)當(dāng)0≤α≤π4時(shí),求S的最大值; (3)若探照燈每9分鐘旋轉(zhuǎn)“一個(gè)來回”(OE自O(shè)A轉(zhuǎn)到OC,再回到OA,稱“一個(gè)來回”,忽略O(shè)E在OA及OC反向旋轉(zhuǎn)時(shí)所用的時(shí)間),且轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小一定,設(shè)AB邊上有一點(diǎn)G,且∠AOG=π6,求點(diǎn)G在“一個(gè)來回”中被照到的時(shí)間. 解(1)當(dāng)0≤α≤π4時(shí),E在AB上,F在BC上,S=1-12tanα-12tanπ4-α,當(dāng)π4<α≤π2時(shí),E,F都在BC上,S=121tanα+1tan3π4-α. (2)當(dāng)0≤α≤π4時(shí),S=2-121+tanα+21+tanα, 由于tanα∈[0,1],所以當(dāng)tanα=2-1時(shí),Smax=2-2. (3)在“一個(gè)來回”中,OE共轉(zhuǎn)動(dòng)了23π4=3π2, 其中點(diǎn)G被照到時(shí),OE共轉(zhuǎn)動(dòng)了2π6=π3, 點(diǎn)G被照到的時(shí)間為t=9π33π2=2(分鐘). 17.如圖,已知扇形OPQ的半徑為1,圓心角為π3,C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn),ABCD是扇形的內(nèi)接矩形,記∠COP=α. (1)當(dāng)AB=3BC時(shí),求tan 2α的值; (2)記矩形ABCD的面積為f(α),求f(α)最大值,并求此時(shí)α的值. 解(1)∵tanπ3=ADOA=BCOA=3, ∴OA=33BC, 又tanα=BCOB=BC33BC+3BC=34, 所以tan2α=2tanα1-tan2α=8313. (2)∵在Rt△OBC中,OB=cosα,BC=sinα,在Rt△OAD中,DAOA=tan60=3,∴OA=33DA=33BC=33sinα, ∴AB=OB-OA=cosα-33sinα. 設(shè)矩形ABCD的面積為S, 則S=ABBC=sinαcosα-sinα3=sinαcosα-13sin2α=12sin2α-123(1-cos2α)=12sin2α+36cos2α-36=13sin2α+π6-36.由于0<α<π3,當(dāng)2α+π6∈π6,5π6,當(dāng)2α+π6=π2,即α=π6時(shí),S最大=13-36=36. 因此f(α)max=36.