（浙江專用）2020版高考數學大一輪復習 第五章 平面向量、數系的擴充與復數的引入 考點規(guī)范練23 平面向量基本定理及向量的坐標表示.docx

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考點規(guī)范練23　平面向量基本定理及向量的坐標表示 基礎鞏固組 1.已知點A(-1,5)和向量a=(2,3),若AB=3a,則點B的坐標為 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5,14) 答案D 解析設點B的坐標為(x,y),則AB=(x+1,y-5). 由AB=3a,得x+1=6,y-5=9,解得x=5,y=14. 2.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ為實數,(a+λb)∥c,則λ=(　　) A.12 B.14 C.1 D.2 答案A 解析由于a+λb=(1+λ,2),故(a+λb)∥c?4(1+λ)-6=0,解得λ=12,故選A. 3.(2017浙江三市十二校聯考)已知點A(1,3),B(4,-1),則與AB同方向的單位向量是(　　) A.35,-45 B.45,-35 C.-35,45 D.-45,35 答案A 解析AB=OB-OA=(4,-1)-(1,3)=(3,-4), 故與AB同方向的單位向量為AB|AB　|=35,-45. 4.已知向量AC,AD和AB在邊長為1的正方形網格中的位置如圖所示,若AC=λAB+μAD,則λ+μ等于(　　) A.2 B.-2 C.3 D.-3 答案A 解析如圖所示,建立平面直角坐標系, 則AD=(1,0),AC=(2,-2),AB=(1,2). 因為AC=λAB+μAD, 所以(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0)=(λ+μ,2λ), 所以2=λ+μ,-2=2λ,解得λ=-1,μ=3,所以λ+μ=2.故選A. 5.如圖,在△OAB中,P為線段AB上的一點,OP=xOA+yOB,且BP=2PA,則(　　) A.x=23,y=13 B.x=13,y=23 C.x=14,y=34 D.x=34,y=14 答案A 解析由題意知OP=OB+BP,又BP=2PA,所以OP=OB+23BA=OB+23(OA-OB)=23OA+13OB,所以x=23,y=13. 6.若平面向量a,b滿足|a+b|=1,a+b平行于x軸,b=(2,-1),則a=. 答案(-1,1)或(-3,1) 解析由|a+b|=1,a+b平行于x軸,得a+b=(1,0)或(-1,0),則a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1),或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1). 7.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),則λ=　　　　　. 答案12 解析由題可得2a+b=(4,2),∵c∥(2a+b),c=(1,λ), ∴4λ-2=0,即λ=12,故答案為12. 8.如圖,在?ABCD中,AC,BD相交于點O,E為線段AO的中點.若BE=λBA+μBD(λ,μ∈R),則λ+μ=　　　　　. 答案34 解析由平面向量基本定理可得BE=12BA+12BO=12BA+14BD,故λ=12,μ=14,所以λ+μ=34. 能力提升組 9.已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),則c等于(　　) A.-12a+32b B.12a-32b C.-32a-12b D.-32a+12b 答案B 解析設c=λa+μb, 即(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1), 所以-1=λ+μ,2=λ-μ,解得λ=12,μ=-32,所以c=12a-32b. 10.已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且a∥b,若x,y均為正數,則3x+2y的最小值是(　　) A.24 B.8 C.83 D.53 答案B 解析∵a∥b,∴-2x-3(y-1)=0, 化簡得2x+3y=3.∵x,y均為正數, ∴3x+2y=3x+2y13(2x+3y) =136+9yx+4xy+6≥1312+29yx4xy=8, 當且僅當9yx=4xy時,等號成立, ∴3x+2y的最小值是8,故選B. 11. 給定兩個長度為1的平面向量OA和OB,它們的夾角為90,如圖所示,點C在以O為圓心的圓弧AB上運動,若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,則x+y的最大值是(　　) A.1 B.2 C.3 D.2 答案B 解析法一:以O為原點,向量OA,OB所在直線分別為x軸、y軸建立直角坐標系,設=θ,θ∈0,π2,則OA=(1,0),OB=(0,1),OC=(cosθ,sinθ).由OC=xOA+yOB, ∴x=cosθ,y=sinθ. ∴x+y=cosθ+sinθ=2sinθ+π4,θ+π4∈π4,3π4, ∴x+y的最大值為2. 法二:∵點C在以O為圓心的圓弧AB上, ∴|OC|2=|xOA+yOB|2=x2+y2+2xyOAOB=x2+y2=1≥(x+y)22.∴x+y≤2.當且僅當x=y=22時等號成立. 12.在平面直角坐標系xOy中,已知點A,B分別在x,y軸上運動,且|AB|=2,若m=13OA+23OB,則|m|的取值范圍是(　　) A.23,43 B.13,23 C.[0,2] D.0,253 答案A 解析由題意,設A(a,0),B(0,b),由|AB|=2,得a2+b2=4, ∴m=13OA+23OB=13(a,0)+23(0,b)=13a,23b. ∴|m|2=13a2+23b2=a2+4b29=4+3b29. 又0≤b2≤4,∴49≤|m|2≤169,得23≤|m|≤43.故選A. 13.已知△OAB是邊長為1的正三角形,若點P滿足OP=(2-t)OA+tOB(t∈R),則|AP|的最小值為(　　) A.3 B.1 C.32 D.34 答案C 解析以O為原點,以OB為x軸,建立坐標系, ∵△OAB為邊長為1的正三角形,∴A12,32,B(1,0), OP=(2-t)OA+tOB=1+12t,3-32t, AP=OP-OA=12t+12,32-32t, |AP|=12t+122+32-32t2 =t2-t+1=t-122+34≥32,故選C. 14.已知向量a,b,且|b|=2,ab=2,則|tb+(1-2t)a|(t∈R)的最小值為　　　　　. 答案1 解析設b=(2,0),a=(x,y),由ab=2得x=1, ∴a=(1,y).∴tb+(1-2t)a=1+(1-2t)y. ∴|tb+(1-2t)a|2=1+(1-2t)2y2≥1,當且僅當t=12或y=0時取“=”.故所求最小值為1. 15.在直角坐標系xOy中,已知點A,B,C是圓x2+y2=4上的動點,且滿足AC⊥BC.若點P的坐標為(0,3),則|PA+PB+PC|的最大值為　　　　　. 答案11 解析因為AC⊥BC,所以AB為直徑. 所以PA+PB=2PO,設C(2cosθ,2sinθ), 則PA+PB+PC=2PO+PC=(2cosθ,2sinθ-9), 所以|PA+PB+PC|=4cos2θ+(2sinθ-9)2=85-36sinθ,當sinθ=-1時,有最大值為11. 16.已知A(cos α,3sin α),B(2cos β,3sin β),C(-1,0)是平面上三個不同的點,且滿足關系CA=λBC,則實數λ的取值范圍是　　　　　. 答案λ∈[-2,1]且λ≠0 解析∵CA=λBC, ∴(cosα+1,3sinα)=λ(-1-2cosβ,-3sinβ), ∴1+cosα=λ(-1-2cosβ),3sinα=-λ3sinβ, ∴1=cos2α+sin2α=[λ(-1-2cosβ)-1]2+(-λsinβ)2, 化為:λ=4cosβ+23cos2β+4cosβ+2,令2cosβ+1=t∈[-1,3]. 則λ=8t3t2+2t+3=f(t),f(t)=-24(t+1)(t-1)(3t2+2t+3)2, 可知:t=1時,函數f(t)取得最大值,f(1)=1. 又f(-1)=-2,f(3)=23,∴λ∈[-2,1], 由于t=0時,λ=0,點A與C重合,舍去. ∴λ∈[-2,1],λ≠0.故答案為:[-2,1],λ≠0. 17. 如圖,已知△ABC的面積為14,D,E分別為邊AB,BC上的點,且AD∶DB=BE∶EC=2∶1,AE與CD交于點P.設存在λ和μ,使AP=λAE,PD=μCD,AB=a,BC=b. (1)求λ及μ; (2)用a,b表示BP; (3)求△PAC的面積. 解(1)由于AB=a,BC=b,則AE=a+23b,DC=13a+b. AP=λAE=λa+23b,DP=μDC=μ13a+b, AP=AD+DP=23AB+DP, 即23a+μ13a+b=λa+23b. λ=23+13μ,μ=23λ,解得λ=67,μ=47. (2)BP=BA+AP=-a+67a+23b=-17a+47b. (3)設△ABC,△PAB,△PBC的高分別為h,h1,h2, h1∶h=|PD|∶|CD|=μ=47,S△PAB=47S△ABC=8. h2∶h=|PE|∶|AE|=1-λ=17,S△PBC=17S△ABC=2, ∴S△PAC=4. 18.如圖,G是△OAB的重心,P,Q分別是邊OA,OB上的動點,且P,G,Q三點共線.M為AB的中點. (1)設PG=λPQ,將OG用λ,OP,OQ表示; (2)設OP=xOA,OQ=yOB,證明:1x+1y是定值. (1)解OG=OP+PG=OP+λPQ=OP+λ(OQ-OP)=(1-λ)OP+λOQ. (2)證明由(1)得OG=(1-λ)OP+λOQ=(1-λ)xOA+λyOB;① 因為G是△OAB的重心, 所以OG=23OM=2312(OA+OB)=13OA+13OB.② 又OA,OB不共線, 所以由①②,得(1-λ)x=13,λy=13, 解得1x=3-3λ,1y=3λ. 所以1x+1y=3(定值).