專題31 點(diǎn)直線與圓的位置關(guān)系

學(xué)習(xí)方法報(bào)社 全新課標(biāo)理念，優(yōu)質(zhì)課程資源 點(diǎn)直線與圓的位置關(guān)系 一. 選擇題 ．(2015?江蘇南京,第6題3分)如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線BC于點(diǎn)M，切點(diǎn)為N，則DM的長(zhǎng)為（ ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】 試題分析：連接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，∵AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點(diǎn)，∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，∴四邊形AFOE，F(xiàn)BGO是正方形，∴AF=BF=AE=BG=2，∴DE=3，∵DM是⊙O的切線，∴DN=DE=3，MN=MG，∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN，在Rt△DMC中，，∴，∴NM=，∴DM==，故選A． 考點(diǎn)：1．切線的性質(zhì)；2．矩形的性質(zhì)． 2.（2015湖南岳陽(yáng)第8題3分）如圖，在△ABC中，AB=CB，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D．過點(diǎn)C作CF∥AB，在CF上取一點(diǎn)E，使DE=CD，連接AE．對(duì)于下列結(jié)論：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE為⊙O的切線，一定正確的結(jié)論全部包含其中的選項(xiàng)是（　?。? 　 A． ①② B． ①②③ C． ①④ D． ①②④ 考點(diǎn)： 切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．. 分析： 根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°，則BD⊥AC，于是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可判斷AD=DC，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可證明∠1=∠2=∠3=∠4，則根據(jù)相似三角形的判定方法得到△CBA∽△CDE，于是可對(duì)②進(jìn)行判斷；由于不能確定∠1等于45°，則不能確定與相等，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；利用DA=DC=DE可判斷∠AEC=90°，即CE⊥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到AB⊥AE，然后根據(jù)切線的判定定理得AE為⊙O的切線，于是可對(duì)④進(jìn)行判斷． 解答： 解：∵AB為直徑， ∴∠ADB=90°， ∴BD⊥AC， 而AB=CB， ∴AD=DC，所以①正確； ∵AB=CB， ∴∠1=∠2， 而CD=ED， ∴∠3=∠4， ∵CF∥AB， ∴∠1=∠3， ∴∠1=∠2=∠3=∠4， ∴△CBA∽△CDE，所以②正確； ∵△ABC不能確定為直角三角形， ∴∠1不能確定等于45°， ∴與不能確定相等，所以③錯(cuò)誤； ∵DA=DC=DE， ∴點(diǎn)E在以AC為直徑的圓上， ∴∠AEC=90°， ∴CE⊥AE， 而CF∥AB， ∴AB⊥AE， ∴AE為⊙O的切線，所以④正確． 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定． 經(jīng)過圓心．若∠B=20°，則∠C的大小等于（ ） 　 A． 20° B． 25° C． 40° D． 50° 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)． 分析： 連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)，即可求得∠C的度數(shù)． 解答： 解：如圖，連接OA， ∵AC是⊙O的切線， ∴∠OAC=90°， ∵OA=OB， ∴∠B=∠OAB=20°， ∴∠AOC=40°， ∴∠C=50°． 故選：D． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了圓的切線性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握已知切線時(shí)常用的輔助線是連接圓心與切點(diǎn)是解題的關(guān)鍵． 3．（2015?廣東廣州,第3題3分）已知⊙O的半徑為5，直線l是⊙O的切線，則點(diǎn)O到直線l的距離是（ ） 　 A． 2.5 B． 3 C． 5 D． 10 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)． 分析： 根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可直接得到點(diǎn)O到直線l的距離是5． 解答： 解：∵直線l與半徑為r的⊙O相切， ∴點(diǎn)O到直線l的距離等于圓的半徑， 即點(diǎn)O到直線l的距離為5． 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；當(dāng)直線l和⊙O相離?d＞r． 4. （2015?浙江衢州,第10題3分）如圖，已知等腰，以為直徑的圓交于點(diǎn)，過點(diǎn)的的切線交于點(diǎn)，若，則的半徑是【 】 A. B. C. D. 【答案】D． 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；切線的性質(zhì)；平行的判定和性質(zhì)；矩形的判定和性質(zhì)；勾股定理；方程思想的應(yīng)用． 【分析】如答圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)， ∵，∴. ∵，∴.∴.∴. ∵是的切線，∴.∴. ∴，且四邊形是矩形. ∵，∴由勾股定理，得. 設(shè)的半徑是， 則. ∴由勾股定理，得，即，解得. ∴的半徑是. 故選D． 5. （2015?浙江湖州，第8題3分）如圖，以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)圓中，大圓的弦AB切小圓于點(diǎn)C，OA交小圓于點(diǎn)D，若OD=2， tan∠OAB=，則AB的長(zhǎng)是( ) A. 4　　　 B. 2　　　 C. 8 　　　D. 4 【答案】C. 考點(diǎn)：切線的性質(zhì)定理；銳角三角函數(shù)；垂徑定理 6. （2015?浙江湖州，第9題3分）如圖，AC是矩形ABCD的對(duì)角線，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，現(xiàn)將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，折痕為FG，點(diǎn)F，G分別在AD，BC上，連結(jié)OG，DG，若OG⊥DG，且☉O的半徑長(zhǎng)為1，則下列結(jié)論不成立的是( ) A. CD+DF=4 B. CD?DF=2?3 C. BC+AB=2+4 D. BC?AB=2 【答案】A. 【解析】 試題分析：如圖，設(shè)⊙O與BC的切點(diǎn)為M,連接MO并延長(zhǎng)MO交AD于點(diǎn)N,利用“AAS”易證△OMG≌△GCD,所以O(shè)M=GC=1, CD=GM=BC－BM－GC=BC－2.又因AB=CD,所以可得BC?AB=2.設(shè)AB=a，BC=b,AC=c, ⊙O的半徑為r，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓可得r=（a+b－c），所以c=a+b－2. 在Rt△ABC中，由勾股定理可得，整理得2ab－4a－4b+4=0，又因BC?AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）－4a－4（2+a）+4=0，解得，所以，即可得BC+AB=2+4. 再設(shè)DF=x，在Rt△ONF中,FN=，OF=x，ON=,由勾股定理可得，解得，所以CD?DF=，CD+DF=.綜上只有選項(xiàng)A錯(cuò)誤，故答案選A. 考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；直角三角形內(nèi)切圓的半徑與三邊的關(guān)系；折疊的性質(zhì)；勾股定理； 7. （2015?浙江嘉興，第7題4分）如圖，中，AB=5，BC=3，AC=4，以點(diǎn)C為圓心的圓與AB相切，則☉C的半徑為（▲） （A）2.3 （B）2.4 （C）2.5 （D）2.6 考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；勾股定理的逆定理．. 分析：首先根據(jù)題意作圖，由AB是⊙C的切線，即可得CD⊥AB，又由在直角△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)，然后由S△ABC=AC?BC=AB?CD，即可求得以C為圓心與AB相切的圓的半徑的長(zhǎng)． 解答：解：在△ABC中， ∵AB=5，BC=3，AC=4， ∴AC2+BC2=32+42=52=AB2， ∴∠C=90°， 如圖：設(shè)切點(diǎn)為D，連接CD， ∵AB是⊙C的切線， ∴CD⊥AB， ∵S△ABC=AC?BC=AB?CD， ∴AC?BC=AB?CD， 即CD===， ∴⊙C的半徑為， 故選B． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，以及直角三角形斜邊上的高的求解方法．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 8. （2015?四川省內(nèi)江市，第10題，3分）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB是直徑，∠BCD=120°，過D點(diǎn)的切線PD與直線AB交于點(diǎn)P，則∠ADP的度數(shù)為（　　） 　 A． 40° B． 35° C． 30° D． 45° 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)．. 分析： 連接DB，即∠ADB=90°，又∠BCD=120°，故∠DAB=60°，所以∠DBA=30°；又因?yàn)镻D為切線，利用切線與圓的關(guān)系即可得出結(jié)果． 解答： 解：連接BD， ∵∠DAB=180°﹣∠C=60°， ∵AB是直徑， ∴∠ADB=90°， ∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°， ∵PD是切線， ∴∠ADP=∠ABD=30°， 故選：C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，直徑對(duì)圓周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角求解． 　 9. （2015?四川樂山,第10題3分）如圖，已知直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，P是以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA、PB．則△PAB面積的最大值是（ ） A．8 B．12 C． D． 【答案】C． 10．（2015?廣東梅州,第6題，3分）如圖，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，BC經(jīng)過圓心.若∠B=20°，則∠C的大小等于（ ） A．20° B．25° C． 40° D．50° 考點(diǎn)：切線的性質(zhì)．. 分析：連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)，即可求得∠C的度數(shù)． 解答：解：如圖，連接OA， ∵AC是⊙O的切線， ∴∠OAC=90°， ∵OA=OB， ∴∠B=∠OAB=20°， ∴∠AOC=40°， ∴∠C=50°． 故選：D． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握已知切線時(shí)常用的輔助線是連接圓心與切點(diǎn)是解題的關(guān)鍵． 11. （2015?山東濰坊第7 題3分）如圖，AB是⊙O的弦，AO的延長(zhǎng)線交過點(diǎn)B的⊙O的切線于點(diǎn)C，如果∠ABO=20°，則∠C的度數(shù)是（　?。? 　 A． 70° B． 50° C． 45° D． 20° 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)．. 分析： 由BC是⊙O的切線，OB是⊙O的半徑，得到∠OBC=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ABO=20°，由外角的性質(zhì)得到∠BOC=40°，即可求得∠C=50°． 解答： 解：∵BC是⊙O的切線，OB是⊙O的半徑， ∴∠OBC=90°， ∵OA=OB， ∴∠A=∠ABO=20°， ∴∠BOC=40°， ∴∠C=50°． 故選B． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握定理是解題的關(guān)鍵． 　 二.填空題 1. （2015?浙江寧波，第17題4分）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，過點(diǎn)A，D兩點(diǎn)的⊙O與BC邊相切于點(diǎn)E，則⊙O的半徑為 ▲ 【答案】. 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；垂徑定理；勾股定理；方程思想的應(yīng)用. 【分析】如答圖，連接EO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)H，連接AO， ∵四邊形ABCD是矩形，⊙O與BC邊相切于點(diǎn)E， ∴EH⊥BC，即EH⊥AD. ∴根據(jù)垂徑定理，AH=DH. ∵AB=8，AD=12，∴AH=6，HE=8. 設(shè)⊙O的半徑為，則AO=，. 在中，由勾股定理得，解得. ∴⊙O的半徑為. 2.（2015?江蘇徐州,第14題3分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，CD與⊙O相切于點(diǎn)D，若∠C=20°，則∠CDA=　125　°． 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)．. 分析： 連接OD，構(gòu)造直角三角形，利用OA=OD，可求得∠ODA=36°，從而根據(jù)∠CDA=∠CDO+∠ODA計(jì)算求解． 解答： 解：連接OD，則∠ODC=90°，∠COD=70°； ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠A=∠COD=35°， ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+35°=125°， 故答案為：125． 點(diǎn)評(píng)： 本題利用了切線的性質(zhì)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，等邊對(duì)等角求解． 3.（2015湖北荊州第18題3分）如圖，OA在x軸上，OB在y軸上，OA=8，AB=10，點(diǎn)C在邊OA上，AC=2，⊙P的圓心P在線段BC上，且⊙P與邊AB，AO都相切．若反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象經(jīng)過圓心P，則k=　﹣?。? 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征． 專題： 計(jì)算題． 分析： 作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如圖，設(shè)⊙P的半徑為r，根據(jù)切線的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理得到PD=PE=r，AD=AE，再利用勾股定理計(jì)算出OB=6，則可判斷△OBC為等腰直角三角形，從而得到△PCD為等腰直角三角形，則PD=CD=r，AE=AD=2+r，通過證明△ACH∽△ABO，利用相似比計(jì)算出CH=，接著利用勾股定理計(jì)算出AH=，所以BH=10﹣=，然后證明△BEH∽△BHC，利用相似比得到即=，解得r=，從而易得P點(diǎn)坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出k的值． 解答： 解：作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如圖，設(shè)⊙P的半徑為r， ∵⊙P與邊AB，AO都相切， ∴PD=PE=r，AD=AE， 在Rt△OAB中，∵OA=8，AB=10， ∴OB==6， ∵AC=2， ∴OC=6， ∴△OBC為等腰直角三角形， ∴△PCD為等腰直角三角形， ∴PD=CD=r， ∴AE=AD=2+r， ∵∠CAH=∠BAO， ∴△ACH∽△ABO， ∴=，即=，解得CH=， ∴AH===， ∴BH=10﹣=， ∵PE∥CH， ∴△BEP∽△BHC， ∴=，即=，解得r=， ∴OD=OC﹣CD=6﹣=， ∴P（，﹣）， ∴k=×（﹣）=﹣． 故答案為﹣． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線不確定切點(diǎn)，則過圓心作切線的垂線，則垂線段等于圓的半徑．也考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征． 4.（2015?福建泉州第14題4分）如圖，AB和⊙O切于點(diǎn)B，AB=5，OB=3，則tanA=　?。? 解：∵直線AB與⊙O相切于點(diǎn)B， 則∠OBA=90°． ∵AB=5，OB=3， ∴tanA==． 故答案為： 5. （2015?四川成都,第24題4分）如圖，在半徑為5的中，弦，是弦所對(duì)的優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作 的垂線交射線于點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，線段的長(zhǎng)為 . 圖（1） 圖（2） 圖（3） 【答案】：或或 【解析】：（1）當(dāng)時(shí)，如圖（1），作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)； 易知， 射影知. （2）當(dāng)時(shí)，如圖（2），延長(zhǎng)交于點(diǎn)，易知，， 易知. （3）當(dāng)時(shí)，如圖（3）， 由. 綜上：或或 6. （2015?浙江省紹興市，第14題，5分） 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，點(diǎn)P在以C為圓心，5為半徑的圓上，連結(jié)PA，PB。若PB=4，則PA的長(zhǎng)為 ▲ 考點(diǎn)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；勾股定理；垂徑定理．. 專題：分類討論． 分析：連結(jié)CP，PB的延長(zhǎng)線交⊙C于P′，如圖，先計(jì)算出CB2+PB2=CP2，則根據(jù)勾股定理的逆定理得∠CBP=90°，再根據(jù)垂徑定理得到PB=P′B=4，接著證明四邊形ACBP為矩形，則PA=BC=3，然后在Rt△APP′中利用勾股定理計(jì)算出P′A=，從而得到滿足條件的PA的長(zhǎng)為3或． 解答：解：連結(jié)CP，PB的延長(zhǎng)線交⊙C于P′，如圖， ∵CP=5，CB=3，PB=4， ∴CB2+PB2=CP2， ∴△CPB為直角三角形，∠CBP=90°， ∴CB⊥PB， ∴PB=P′B=4， ∵∠C=90°， ∴PB∥AC， 而PB=AC=4， ∴四邊形ACBP為矩形， ∴PA=BC=3， 在Rt△APP′中，∵PA=3，PP′=8， ∴P′A==， ∴PA的長(zhǎng)為3或． 故答案為3或． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．也考查了垂徑定理和勾股定理． 7. （2015?淄博第17題,4分）如圖，我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”．已知點(diǎn)A、B、C、D分別是“果圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3，AB為半圓的直徑，則這個(gè)“果圓”被y軸截得的弦CD的長(zhǎng)為　3+　． 考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題．. 分析： 連接AC，BC，有拋物線的解析式可求出A，B，C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出AO，BO，DO的長(zhǎng)，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出CD的長(zhǎng)． 解答： 解：連接AC，BC， ∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣3）， ∴OD的長(zhǎng)為3， 設(shè)y=0，則0=x2﹣2x﹣3， 解得：x=﹣1或3， ∴A（﹣1，0），B（3，0） ∴AO=1，BO=3， ∵AB為半圓的直徑， ∴∠ACB=90°， ∵CO⊥AB， ∴CO2=AO?BO=3， ∴CO=， ∴CD=CO+OD=3+， 故答案為：3+． 點(diǎn)評(píng)： 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題、解一元二次方程、圓周角定理、射影定理，讀懂題目信息，理解“果圓”的定義是解題的關(guān)鍵． 8. （2015?浙江省臺(tái)州市，第16題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，中心為點(diǎn)O，有一邊長(zhǎng)大小不定的正六邊形EFGHIJ繞點(diǎn)O可任意旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，這個(gè)正六邊形始終在正方形ABCD內(nèi)（包括正方形的邊），當(dāng)這個(gè)六邊形的邊長(zhǎng)最大時(shí)，AE的最小值為____ 三.解答題 1. （2015?四川省內(nèi)江市，第27題，12分）如圖，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，且圓的直徑AB在線段AE上． （1）試說明CE是⊙O的切線； （2）若△ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數(shù)式表示⊙O的直徑AB； （3）設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接OD，當(dāng)CD+OD的最小值為6時(shí)，求⊙O的直徑AB的長(zhǎng)． 考點(diǎn)： 圓的綜合題；線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義；特殊角的三角函數(shù)值．. 專題： 綜合題． 分析： （1）連接OC，如圖1，要證CE是⊙O的切線，只需證到∠OCE=90°即可； （2）過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，連接OC，如圖2，在Rt△OHC中運(yùn)用三角函數(shù)即可解決問題； （3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，連接AF、CF、DF，如圖3，易證四邊形AOCF是菱形，根據(jù)對(duì)稱性可得DF=DO．過點(diǎn)D作DH⊥OC于H，易得DH=DC，從而有CD+OD=DH+FD．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)F、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在Rt△OHF中運(yùn)用三角函數(shù)即可解決問題． 解答： 解：（1）連接OC，如圖1， ∵CA=CE，∠CAE=30°， ∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°， ∴∠OCE=90°， ∴CE是⊙O的切線； （2）過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，連接OC，如圖2， 由題可得CH=h． 在Rt△OHC中，CH=OC?sin∠COH， ∴h=OC?sin60°=OC， ∴OC==h， ∴AB=2OC=h； （3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，連接AF、CF、DF，如圖3， 則∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°． ∵OA=OF=OC， ∴△AOF、△COF是等邊三角形， ∴AF=AO=OC=FC， ∴四邊形AOCF是菱形， ∴根據(jù)對(duì)稱性可得DF=DO． 過點(diǎn)D作DH⊥OC于H， ∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°， ∴DH=DC?sin∠DCH=DC?sin30°=DC， ∴CD+OD=DH+FD． 根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得： 當(dāng)F、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH+FD（即CD+OD）最小， 此時(shí)FH=OF?sin∠FOH=OF=6， 則OF=4，AB=2OF=8． ∴當(dāng)CD+OD的最小值為6時(shí)，⊙O的直徑AB的長(zhǎng)為8． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了圓周角定理、切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，把CD+OD轉(zhuǎn)化為DH+FD是解決第（3）小題的關(guān)鍵． 　 2. （2015?四川省宜賓市，第23題，10分）(注意：在試題卷上作答無效) 如圖，CE是⊙O的直徑，BD切⊙O于點(diǎn)D，DE∥BO，CE的延長(zhǎng)線交BD于點(diǎn)A。 （1）求證：直線BC是⊙O的切線； （2）若AE=2，tan∠DEO=，求AO的長(zhǎng). 3. （2015?浙江省臺(tái)州市，第22題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，EC=BC=DC （1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度數(shù) （2）求證：∠1=∠2 4.（2015?江蘇泰州,第24題10分）如圖，△ABC 中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F。 （1）試說明DF是⊙O的切線； （2）若 AC=3AE，求。 【答案】(1)證明見解析；（2）. 【解析】 試題分析：（1）連接OD，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，得出∠ODB=∠C，證得OD∥AC，證得OD⊥DF，從而證得DF是⊙O的切線； （2）連接BE，AB是直徑，∠AEB=90°，根據(jù)勾股定理得出BE=2AE，CE=4AE，然后在Rt△BEC中，即可求得tanC的 試題解析：（1）證明：連接OD， ∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∴DF是⊙O的切線； （2）解：連接BE， ∵AB是直徑， ∴∠AEB=90°， ∵AB=AC，AC=3AE， ∴AB=3AE，CE=4AE， ∴BE=， 在Rt△BEC中，tanC=. 考點(diǎn)：切線的判定． 5.（2015?山東東營(yíng),第21題8分）(本題滿分8分)已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑的圓交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E． （1）求證：AC·AD=AB·AE； （2）如果BD是⊙O的切線，D是切點(diǎn)，E是OB的中點(diǎn)，當(dāng)BC=2時(shí)，求AC的長(zhǎng)． 【答案】（1）證明見解析；（2）AC=4. 考點(diǎn)：1.圓周角定理；2.相似三角形的判定與性質(zhì)；3.切線的性質(zhì)；4.30°的直角三角形的性質(zhì). 6.（2015?山東聊城,第24題10分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，PD切⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE垂直于PD，交PD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，連接AD并延長(zhǎng)，交BE于點(diǎn)E． （1）求證：AB=BE； （2）若PA=2，cosB=，求⊙O半徑的長(zhǎng)． 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)；解直角三角形．. 分析： （1）本題可連接OD，由PD切⊙O于點(diǎn)D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等量代換可得結(jié)果； （2）由（1）知，OD∥BE，得到∠POD=∠B，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)果． 解答： （1）證明：連接OD， ∵PD切⊙O于點(diǎn)D， ∴OD⊥PD， ∵BE⊥PC， ∴OD∥BE， ∴ADO=∠E， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ADO， ∴∠OAD=∠E， ∴AB=BE； （2）解：有（1）知，OD∥BE， ∴∠POD=∠B， ∴cos∠POD=cosB=， 在Rt△POD中，cos∠POD==， ∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA， ∴， ∴OA=3， ∴⊙O半徑=3． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)以及等邊三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，正確的畫出輔助線是解題的關(guān)鍵． 7.（2015?山東臨沂,第23題9分） 如圖，點(diǎn)O為Rt△ABC斜邊AB上的一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O與BC切于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，連接AD. （1）求證：AD平分∠BAC； （2）若∠BAC = 60°，OA = 2，求陰影部分的面積（結(jié)果保留）. 【答案】（2） 試題解析：（1）證明：連接OD. ∵BC是⊙O的切線，D為切點(diǎn)， ∴OD⊥BC. 又∵AC⊥BC， ∴OD∥AC， ∴∠ADO=∠CAD. 又∵OD=OA， ∴∠ADO=∠OAD ∴∠CAD=∠OAD，即AD平分∠BAC. （2）方法一：連接OE，ED. ∵∠BAC=60°，OE=OA， ∴△OAE為等邊三角形， ∴∠AOE=60°， ∴∠ADE=30°. 又∵， ∴∠ADE=∠OAD， ∴ED∥AO， ∴， ∴陰影部分的面積 = S扇形ODE = . 考點(diǎn)：圓的綜合（切線的性質(zhì)，角平分線，陰影部分面積，三角形的面積，扇形面積） 8. （2015?四川廣安，第25題9分）如圖，PB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，過B作OP的垂線BA，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)A，連接PA、AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)E，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D． （1）求證：PA是⊙O的切線； （2）若=，且OC=4，求PA的長(zhǎng)和tanD的值． 考點(diǎn)： 切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．. 分析： （1）連接OB，先由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得：OP是線段AB的垂直平分線，進(jìn)而可得：PA=PB，然后證明△PAO≌△PBO，進(jìn)而可得∠PBO=∠PAO，然后根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠PBO=90°，進(jìn)而可得：∠PAO=90°，進(jìn)而可證：PA是⊙O的切線； （2）連接BE，由=，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根據(jù)射影定理可求PC的值，從而可求OP的值，然后根據(jù)勾股定理可求AP的值；由AC=BC，AO=OE，可得OC是△ABE的中位線，進(jìn)而可得BE∥OP，BE=2OC=8，進(jìn)而可證△DBE∽△DPO，進(jìn)而可得：，從而求出BD的值，進(jìn)而即可求出tanD的值． 解答： （1）證明：連接OB，則OA=OB， ∵OP⊥AB， ∴AC=BC， ∴OP是AB的垂直平分線， ∴PA=PB， 在△PAO和△PBO中， ∵， ∴△PAO≌△PBO（SSS） ∴∠PBO=∠PAO，PB=PA， ∵PB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)， ∴∠PBO=90°， ∴∠PAO=90°， 即PA⊥OA， ∴PA是⊙O的切線； （2）連接BE， ∵=，且OC=4， ∴AC=6， ∴AB=12， 在Rt△ACO中， 由勾股定理得：AO==2， ∴AE=2OA=4，OB=OA=2， 在Rt△APO中， ∵AC⊥OP， ∴AC2=OC?PC， 解得：PC=9， ∴OP=PC+OC=13， 在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3， ∴PB=PA=3， ∵AC=BC，OA=OE， ∴OC=BE，OC∥BE， ∴BE=2OC=8，BE∥OP， ∴△DBE∽△DPO， ∴， 即， 解得：BD=， 在Rt△OBD中， tanD===． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)；能夠通過作輔助線將所求的角轉(zhuǎn)移到相應(yīng)的直角三角形中，是解答此題的關(guān)鍵．要證某線是圓的切線，對(duì)于切線的判定：已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可． 9. 　（2015?四川甘孜、阿壩，第20題10分）如圖，△ABC為等邊三角形，以邊BC為直徑的半圓與邊AB，AC分別交于D，F(xiàn)兩點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E． （1）判斷DF與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （2）過點(diǎn)F作FH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，若AB=4，求FH的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）． 考點(diǎn)： 切線的判定．. 分析： （1）連接OD，由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC，∠B=∠C=60°，證出△OBD是等邊三角形，得出∠BOD=∠C，證出OD∥AC，得出DE⊥OD，即可得出結(jié)論； （2）先證明△OCF是等邊三角形，得出CF=OC=BC=AB=2，再由三角函數(shù)即可求出FH． 解答： 解：（1）DE是⊙O的切線；理由如下： 連接OD，如圖1所示： ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°， ∵OB=OD， ∴△OBD是等邊三角形， ∴∠BOD=60°， ∴∠BOD=∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切線； （2）連接OF，如圖2所示： ∵OC=OF，∠C=60°， ∴△OCF是等邊三角形， ∴CF=OC=BC=AB=2， ∵FH⊥BC， ∴∠FHC=90°， ∴FH=CF?sin∠C=2×=． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、平行線的判定、三角函數(shù)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵． 10．（2015?山東濰坊第21題10分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，連接DE． （1）求證：直線DF與⊙O相切； （2）若AE=7，BC=6，求AC的長(zhǎng)． 考點(diǎn)： 切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．. 分析： （1）連接OD，利用AB=AC，OD=OC，證得OD∥AD，易證DF⊥OD，故DF為⊙O的切線； （2）證得△BED∽△BCA，求得BE，利用AC=AB=AE+BE求得答案即可． 解答： （1）證明：如圖， 連接OD． ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵OD=OC， ∴∠ODC=∠C， ∴∠ODC=∠B， ∴OD∥AB， ∵DF⊥AB， ∴OD⊥DF， ∵點(diǎn)D在⊙O上， ∴直線DF與⊙O相切； （2）解：∵四邊形ACDE是⊙O的內(nèi)接四邊形， ∴∠AED+∠ACD=180°， ∵∠AED+∠BED=180°， ∴∠BED=∠ACD， ∵∠B=∠B， ∴△BED∽△BCA， ∴=， ∵OD∥AB，AO=CO， ∴BD=CD=BC=3， 又∵AE=7， ∴=， ∴BE=2， ∴AC=AB=AE+BE=7+2=9． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查切線的判定，三角形相似的判定與性質(zhì)，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可． 11．（2015?廣東梅州,第22題，9分）如圖，直線l經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），B（0，3）． （1）求直線l的函數(shù)表達(dá)式； （2）若圓M的半徑為2，圓心M在y軸上，當(dāng)圓M與直線l相切時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)． 考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．. 分析：（1）把點(diǎn)A（4，0），B（0，3）代入直線l的解析式y(tǒng)=kx+b，即可求出結(jié)果． （2）先畫出示意圖，在Rt△ABM中求出sin∠BAM，然后在Rt△AMC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AM，繼而可得點(diǎn)M的坐標(biāo)． 解答：解：（1）∵直線l經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），B（0，3）， ∴設(shè)直線l的解析式為：y=kx+b， ∴ ∴． ∴直線l的解析式為：y=﹣x+3； （2）∵直線l經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），B（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB=5， ①如圖所示，此時(shí)⊙M與此直線l相切，切點(diǎn)為C， 連接MC，則MC⊥AB， 在Rt△ABM中，sin∠BAM==， 在Rt△AMC中，∵sin∠MAC=， ∴AM===4， ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0）． ②此時(shí)⊙M'與此直線l相切，切點(diǎn)為C'， 連接M'C'，則M'C'⊥AB， ∴∠M′C′B=∠MCB=90°， 在△M′C′B與△CMB中， ， ∴BM'=BM=3， ∴點(diǎn)M'的坐標(biāo)為（0，6）． 綜上可得：當(dāng)⊙M與此直線l相切時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0，0），（0，6）． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，切線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是畫出示意圖，熟練掌握切線的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義，難度一般． A B C D E F M O 12．(2015·深圳，第22題 分)如圖1，水平放置一個(gè)三角板和一個(gè)量角器，三角板的邊AB和量角器的直徑DE在一條直線上，開始的時(shí)候BD=1cm,現(xiàn)在三角板以2cm/s的速度向右移動(dòng)。 （1）當(dāng)B與O重合的時(shí)候，求三角板運(yùn)動(dòng)的時(shí)間； （2）如圖2，當(dāng)AC與半圓相切時(shí)，求AD； （3）如圖3，當(dāng)AB和DE重合時(shí)，求證：。 【解析】 13．(2015·南寧，第25題10分)如圖14，AB是⊙O的直徑，C、G是⊙O上兩點(diǎn)，且AC = CG，過點(diǎn)C的直線CDBG于點(diǎn)D，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BC，交OD于點(diǎn)F. 圖14 （1）求證：CD是⊙O的切線. （2）若,求E的度數(shù). （3）連接AD，在（2）的條件下，若CD=，求AD的長(zhǎng). 考點(diǎn)：圓的綜合題．. 分析：（1）如圖1，連接OC，AC，CG，由圓周角定理得到∠ABC=∠CBG，根據(jù)同圓的半徑相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代換得到∠OCB=∠CBG，根據(jù)平行線的判定得到OC∥BG，即可得到結(jié)論； （2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論； （3）如圖2，過A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=3，DE=3，BE=6，在Rt△DAH中，AD===． 解答：（1）證明：如圖1，連接OC，AC，CG， ∵AC=CG， ∴， ∴∠ABC=∠CBG， ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC， ∴∠OCB=∠CBG， ∴OC∥BG， ∵CD⊥BG， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切線； （2）解：∵OC∥BD， ∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD， ∴， ∴， ∵OA=OB， ∴AE=OA=OB， ∴OC=OE， ∵∠ECO=90°， ∴∠E=30°； （3）解：如圖2，過A作AH⊥DE于H， ∵∠E=30° ∴∠EBD=60°， ∴∠CBD=EBD=30°， ∵CD=， ∴BD=3，DE=3，BE=6， ∴AE=BE=2， ∴AH=1， ∴EH=， ∴DH=2， 在Rt△DAH中，AD===． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 14．（2015?甘肅武威,第21題6分）如圖，已知在△ABC中，∠A=90° （1）請(qǐng)用圓規(guī)和直尺作出⊙P，使圓心P在AC邊上，且與AB，BC兩邊都相切（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）． （2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面積． 考點(diǎn)： 作圖—復(fù)雜作圖；切線的性質(zhì)． 分析： （1）作∠ABC的平分線交AC于P，再以P為圓心PA為半徑即可作出⊙P； （2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠ABP=30°，根據(jù)三角函數(shù)可得AP=，再根據(jù)圓的面積公式即可求解． 解答： 解：（1）如圖所示，則⊙P為所求作的圓． （2）∵∠B=60°，BP平分∠ABC， ∴∠ABP=30°， ∵tan∠ABP=， ∴AP=， ∴S⊙P=3π． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了作圖﹣復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，即角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．同時(shí)考查了圓的面積． 15．（2015?甘肅武威,第27題8分）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)A作直線EF． （1）如圖①所示，若AB為⊙O的直徑，要使EF成為⊙O的切線，還需要添加的一個(gè)條件是（至少說出兩種）： ∠BAE=90° 或者 ∠EAC=∠ABC ． （2）如圖②所示，如果AB是不過圓心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切線嗎？試證明你的判斷． 考點(diǎn)： 切線的判定． 分析： （1）求出∠BAE=90°，再根據(jù)切線的判定定理推出即可； （2）作直徑AM，連接CM，根據(jù)圓周角定理求出∠M=∠B，∠ACM=90°，求出∠MAC+∠CAE=90°，再根據(jù)切線的判定推出即可． 解答： 解：（1）①∠BAE=90°，②∠EAC=∠ABC， 理由是：①∵∠BAE=90°， ∴AE⊥AB， ∵AB是直徑， ∴EF是⊙O的切線； ②∵AB是直徑， ∴∠ACB=90°， ∴∠ABC+∠BAC=90°， ∵∠EAC=∠ABC， ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠ABC=90°， 即AE⊥AB， ∵AB是直徑， ∴EF是⊙O的切線； （2）EF是⊙O的切線． 證明：作直徑AM，連接CM， 則∠ACM=90°，∠M=∠B， ∴∠M+∠CAM=∠B+∠CAM=90°， ∵∠CAE=∠B， ∴∠CAM+∠CAE=90°， ∴AE⊥AM， ∵AM為直徑， ∴EF是⊙O的切線． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了圓周角定理，切線的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，注意：經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于半徑的直線是圓的切線． 16．(2015·貴州六盤水，第24題12分)如圖12，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點(diǎn)O是AC邊上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓與AB相切于點(diǎn)D，連接OD． （1）（6分）△ADO∽△ACB． （2）（6分）若⊙O的半徑為1，求證：AC＝AD·BC 考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．. 分析：（1）由AB是⊙O的切線，得到OD⊥AB，于是得到∠C=∠ADO=90°，問題可證； （2）由△ADO∽△ACB列比例式即可得到結(jié)論． 解答：（1）證明：∵AB是⊙O的切線， ∴OD⊥AB， ∴∠C=∠ADO=90°， ∵∠A=∠A， ∴△ADO∽△ACB； （2）解：由（1）知：△ADO∽△ACB． ∴， ∴AD?BC=AC?OD， ∵OD=1， ∴AC=AD?BC． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟記定理是解題的關(guān)鍵． 17．(2015·黑龍江綏化，第24題 分)如圖 ，以線段AB為直徑作⊙O ，CD與⊙O相切于點(diǎn)E ，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D , 連接BE ,過點(diǎn)O作 OC∥BE交切線DE于點(diǎn)C ,連接AC ． (1)求證：AC是⊙O的切線 ； （2）若BD=OB=4 ,求弦AE的長(zhǎng)。 考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)．． 專題：計(jì)算題． 分析：（1）連接OE，根據(jù)CD與圓O相切，利用切線的性質(zhì)得到OE垂直于CD，再由OC與BE平行，得到同位角相等與內(nèi)錯(cuò)角相等，根據(jù)OB=OE，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到夾角相等，再由OA=OE，OC=OC，利用SAS得到三角形AOC與三角形EOC全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠OAC=∠OEC=90°，即可得證； （2）根據(jù)題意得到EB為直角三角形斜邊上的中線，求出EB的長(zhǎng)，再由OE=OB=EB得到三角形OEB為等邊三角形，求出∠ABE=60°，根據(jù)AB為圓O直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到三角形AEB為直角三角形，利用銳角三角函數(shù)定義求出AE的長(zhǎng)即可． 解答： （1）證明：連接OE， ∵CD與圓O相切， ∴OE⊥CD， ∴∠CEO=90°， ∵BE∥OC， ∴∠AOC=∠OBE，∠COE=∠OEB， ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB， ∴∠AOC=∠COE， 在△AOC和△EOC中， ， ∴△AOC≌△EOC（SAS）， ∴∠CAO=∠CEO=90°， 則AC與圓O相切； （2）在Rt△DEO中，BD=OB， ∴BE=OD=OB=4， ∵OB=OE， ∴△BOE為等邊三角形， ∴∠ABE=60°， ∵AB為圓O的直徑， ∴∠AEB=90°， ∴AE=BE?tan60°=4． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 18．（2015?北京市,第24題，5分）如圖，AB是的直徑，過點(diǎn)B作的切線BM，弦，交AB于點(diǎn)F，且，鏈接AC，AD，延長(zhǎng)AD交BM地點(diǎn)E。 (1)求證：是等邊三角形。 (2)鏈接OE，若，求OE的長(zhǎng)。 【考點(diǎn)】圓的性質(zhì) 【難度】中等 【答案】 【點(diǎn)評(píng)】本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定，角的大小及線段長(zhǎng)度的求法，要求學(xué)生掌握常見的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡(jiǎn)單的方法解題． 19．（2015?安徽省,第20題，10分）在⊙O中，直徑AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在⊙O上，且OP⊥PQ． A A B B C C P P Q Q O O 第20題圖1 第20題圖2 (1)如圖1，當(dāng)PQ∥AB時(shí)，求PQ的長(zhǎng)度； (2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí)，求PQ長(zhǎng)的最大值． 考點(diǎn)：圓周角定理；勾股定理；解直角三角形．. 專題：計(jì)算題． 分析：（1）連結(jié)OQ，如圖1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定義可計(jì)算出OP=3tan30°=，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可計(jì)算出PQ=； （2）連結(jié)OQ，如圖2，在Rt△OPQ中，根據(jù)勾股定理得到PQ=，則當(dāng)OP的長(zhǎng)最小時(shí)，PQ的長(zhǎng)最大，根據(jù)垂線段最短得到OP⊥BC，則OP=OB=，所以PQ長(zhǎng)的最大值=． 解答： 解：（1）連結(jié)OQ，如圖1， ∵PQ∥AB，OP⊥PQ， ∴OP⊥AB， 在Rt△OBP中，∵tan∠B=， ∴OP=3tan30°=， 在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3， ∴PQ==； （2）連結(jié)OQ，如圖2， 在Rt△OPQ中，PQ==， 當(dāng)OP的長(zhǎng)最小時(shí)，PQ的長(zhǎng)最大， 此時(shí)OP⊥BC，則OP=OB=， ∴PQ長(zhǎng)的最大值為=． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了勾股定理和解直角三角形． 20.（2015湖北鄂州第22題9分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分線，∠ABC的平分線 BM交AE于點(diǎn)M，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)G，交 AB于點(diǎn)F． （1）（3分）求證：AE為⊙O的切線． （2）（3分）當(dāng)BC=8，AC=12時(shí)，求⊙O的半徑． （3）（3分）在（2）的條件下，求線段BG的長(zhǎng)． 【答案】(1)證明見解析；（2）3；（3）2. 考點(diǎn)：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.切線的判定． 21．（2015?甘肅蘭州,第27題，10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC邊于點(diǎn)D。以AB上一點(diǎn)O為圓心作⊙O，使⊙O經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)D。 （1）判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； （2）若AC=3，∠B=30°， ①求⊙O的半徑； ②設(shè)⊙O與AB邊的另一個(gè)交點(diǎn)為E，求線段BD，BE與劣弧所圍成的陰影部分的面積（結(jié)果保留根號(hào)和）。 【考點(diǎn)解剖】本題考查圓與直線的位置關(guān)系，扇形面積計(jì)算 【知識(shí)準(zhǔn)備】過直徑的端點(diǎn)，且與直徑垂直的直線是圓的切線 【思路點(diǎn)拔】（1）我們當(dāng)然很容易就猜想到BC是⊙O的切線，為此，只要連結(jié)OD， 證明OD⊥BC即可； （2）只要求出△OBD的面積和扇形ODE的面積，那么兩者之差便為陰影部分的面積 【解答過程】（1）連結(jié)OD，∵OA=OD，∴∠2=∠3， ∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2， 而∠2=∠3，∴∠1=∠3， ∴OD∥AC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）， ∴∠ODB=∠C=90°（兩直線平行，同位角相等） 即OD⊥BC， ∴BC是⊙O的切線（過直徑的一個(gè)端點(diǎn)，且與直徑垂直的直線是圓的切線）； （2）①過點(diǎn)O作AC的垂線段OH，則OH∥BC，∠AOH=∠B=30°， Rt△AOH中，AH=AO·sin∠AOH=AO·sin30°=AO， 矩形CDOH中，CH=OD，而OD=OA， ∵AC=AH+CH，即3=AO+AO， ∴AO=2，即⊙O的半徑為2； ②Rt△OBD中，∠BOD=90°－∠B=60°，則BD=DO·tan60°=， ，， ∴。 【題目星級(jí)】★★★★ 【解題策略】涉及到非常規(guī)圖形的面積問題時(shí)，我們通常采用的是割補(bǔ)的方法，將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)圖形的面積問題來解決 22. （2015遼寧大連，23，10分）如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C、D在圓O上，且AD平分∠CAB.過點(diǎn)D作AC的垂線，與AC的延長(zhǎng)線相交于E,與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F. 求證：EF與圓O相切； 若AB=6，AD=4，求EF的長(zhǎng)。 （第23題） 【答案】 【解析】解：（1）證明：聯(lián)接OD如圖,因?yàn)镺A=OD,所以∠OAD=∠ODA 又因?yàn)锳D平分∠BAC,所以∠OAD=∠CAD 所以∠ODA=∠CAD。所以O(shè)D∥AE,又因?yàn)镋F垂直于AE,所以O(shè)D垂直于EF, 所以EF與圓O相切； （第23題答圖1） （2） 如圖聯(lián)接OD、CD、BD、BC，則CD=BD,因?yàn)锳B是直徑，所以∠ACB=∠ADB=90°， 又因?yàn)锳B=6，AD=4，所以BD=,所以CD=2. 因?yàn)椤螦CB=∠E,所以BC∥EF. 因?yàn)锳D平分∠CAB,所以∠OAD=∠CAD，又因?yàn)椤螦DB=∠E,所以△ADE∽△ABD ,所以，所以DE=. 在Rt△CDE中，CE=所以DG=.OG=3－=. 在Rt△OGB中，GB= 因?yàn)椤螦CB=∠E,所以BC∥EF.所以△OGB∽△ODF,所以，所以DF=. 所以EF=DE+DF=+=. 23. （2015山東菏澤，18，8分）如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，BC的延長(zhǎng)線于⊙O的切線AF交于點(diǎn)F． （1）求證：∠ABC=2∠CAF； （2）若AC=，CE：EB=1：4，求CE的長(zhǎng)． 【答案】（1）證明見試題解析；（2）2． （2）如圖，連接AE，∴∠AEB=90°，設(shè)CE=x，∵CE：EB=1：4，∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x，在Rt△ACE中，，即，∴x=2．∴CE=2． 考點(diǎn)：1．切線的性質(zhì)；2．相似三角形的判定與性質(zhì)． 24.（2015?四川涼山州,第23題8分）在甲、乙兩個(gè)不透明的布袋，甲袋中裝有3個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字0，1，2；乙袋中裝有3個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字﹣1，﹣2，0；現(xiàn)從甲袋中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，記錄標(biāo)有的數(shù)字為x，再?gòu)囊掖须S機(jī)抽取一個(gè)小球，記錄標(biāo)有的數(shù)字為y，確定點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，y）． （1）用