（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 7.5 數(shù)學(xué)歸納法講義（含解析）.docx

7.5　數(shù)學(xué)歸納法 最新考綱 考情考向分析 會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)問題. 以了解數(shù)學(xué)歸納法的原理為主，會用數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列有關(guān)或與不等式有關(guān)的等式或不等式．在高考中以解答題形式出現(xiàn)，屬高檔題. 數(shù)學(xué)歸納法 一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立； (2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時命題也成立． 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立． 概念方法微思考 1．用數(shù)學(xué)歸納法證題時，證明當(dāng)n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立．因?yàn)閚0∈N*，所以n0＝1.這種說法對嗎？ 提示　不對，n0也可能是2,3,4，….如用數(shù)學(xué)歸納法證明多邊形內(nèi)角和定理(n－2)π時，初始值n0＝3. 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的第一個步驟可以省略嗎？ 提示　不可以，數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟相輔相成，缺一不可． 3．有人說，數(shù)學(xué)歸納法是合情推理，這種說法對嗎？ 提示　不對，數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的方法，它是演繹推理． 題組一　思考辨析 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊? (1)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明．(　　) (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，歸納假設(shè)可以不用．(　　) (3)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由n＝k到n＝k＋1時，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng)．(　　) (4)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，驗(yàn)證n＝1時，左邊式子應(yīng)為1＋2＋22＋23.(　√　) (5)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的內(nèi)角和公式時，n0＝3.(　√　) 題組二　教材改編 2．[P99B組T1]在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步檢驗(yàn)n等于(　　) A．1B．2C．3D．4 答案　C 解析　凸n邊形邊數(shù)最小時是三角形， 故第一步檢驗(yàn)n＝3. 3．[P96A組T2]已知{an}滿足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，則a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________. 答案　3　4　5　n＋1 題組三　易錯自糾 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在驗(yàn)證n＝1時，等式左邊的項(xiàng)是(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 答案　C 解析　當(dāng)n＝1時，n＋1＝2， ∴左邊＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2. 5．對于不等式<n＋1(n∈N*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下： (1)當(dāng)n＝1時，<1＋1，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時，不等式成立，即<k＋1，則當(dāng)n＝k＋1時，＝<＝＝(k＋1)＋1. ∴當(dāng)n＝k＋1時，不等式成立． 則上述證法(　　) A．過程全部正確 B．n＝1驗(yàn)證的不正確 C．歸納假設(shè)不正確 D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確 答案　D 解析　在n＝k＋1時，沒有應(yīng)用n＝k時的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法． 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N*)時，假設(shè)當(dāng)n＝k時命題成立，則當(dāng)n＝k＋1時，左端增加的項(xiàng)數(shù)是__________． 答案　2k 解析　運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明 1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N*)． 當(dāng)n＝k時，則有1＋2＋3＋…＋2k＝2k－1＋22k－1(k∈N*)，左邊表示的為2k項(xiàng)的和． 當(dāng)n＝k＋1時，則 左邊＝1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋…＋2k＋1，表示的為2k＋1項(xiàng)的和，增加了2k＋1－2k＝2k項(xiàng)． 題型一　用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 用數(shù)學(xué)歸納法證明：＋＋＋…＋＝(n∈N*)． 證明　①當(dāng)n＝1時， 左邊＝＝. 右邊＝＝. 左邊＝右邊，所以等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時等式成立，即有 ＋＋＋…＋＝， 則當(dāng)n＝k＋1時，＋＋＋…＋＋ ＝＋ ＝ ＝＝ ＝. 所以當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立． 由①②可知對于一切n∈N*等式都成立． 思維升華用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式應(yīng)注意 (1)明確初始值n0并驗(yàn)證當(dāng)n＝n0時等式成立． (2)由n＝k證明n＝k＋1時，弄清左邊增加的項(xiàng)，且明確變形目標(biāo)． (3)掌握恒等變形常用的方法：①因式分解；②添拆項(xiàng)；③配方法． 題型二　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 例1(2017浙江)已知數(shù)列{xn}滿足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)． 證明：當(dāng)n∈N*時， (1)0＜xn＋1＜xn； (2)2xn＋1－xn≤； (3)≤xn≤. 證明　(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明xn＞0. 當(dāng)n＝1時，x1＝1＞0. 假設(shè)n＝k時，xk＞0， 那么n＝k＋1時，若xk＋1≤0， 則0＜xk＝xk＋1＋ln(1＋xk＋1)≤0，與假設(shè)矛盾， 故xk＋1＞0， 因此xn＞0(n∈N*)． 所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)＞xn＋1， 因此0＜xn＋1＜xn(x∈N*)． (2)由xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)得， xnxn＋1－4xn＋1＋2xn ＝x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)． 記函數(shù)f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0)． f′(x)＝＋ln＞0(x＞0)， 函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)≥f(0)＝0， 因此x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0， 故2xn＋1－xn≤(n∈N*)． (3)因?yàn)閤n＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1， 所以xn≥. 由≥2xn＋1－xn得 －≥2＞0， 所以－≥2≥…≥2n－1＝2n－2， 故xn≤. 綜上，≤xn≤(n∈N*)． 思維升華用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式，在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問題得以簡化． 跟蹤訓(xùn)練1(2018浙江臺州市三區(qū)適應(yīng)性考試)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－2(n＝1,2,3，…)．?dāng)?shù)列{bn}中，b1＝1，點(diǎn)P(bn，bn＋1)在直線x－y＋2＝0上． (1)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)若Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求證：當(dāng)n≥2，n∈N*時，2Sn>Tn＋3n. (1)解　因?yàn)镾n＝2an－2，所以當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1.又由S1＝2a1－2＝a1，得a1＝2，所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列． 故an＝22n－1＝2n. 因?yàn)辄c(diǎn)P(bn，bn＋1)在直線x－y＋2＝0上，所以bn－bn＋1＋2＝0，即bn＋1－bn＝2.又b1＝1，所以數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．故bn＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)證明　易知Sn＝2an－2＝2n＋1－2，Tn＝n2，所以2Sn>Tn＋3n，即2n＋2>n2＋3n＋4(n≥2，n∈N*)． 方法一　用數(shù)學(xué)歸納法證明如下． ①當(dāng)n＝2時，因?yàn)?n＋2＝16，n2＋3n＋4＝14，所以不等式成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2)時，不等式成立，即2k＋2>k2＋3k＋4成立， 那么當(dāng)n＝k＋1時，由k≥2得k2＋k>0， 所以2k＋3＝22k＋2>2(k2＋3k＋4)＝2k2＋6k＋8＝(k2＋k)＋(k2＋5k＋8)>k2＋5k＋8＝(k＋1)2＋3(k＋1)＋4，所以2(k＋1)＋2>(k＋1)2＋3(k＋1)＋4， 所以當(dāng)n＝k＋1時，不等式成立． 綜合①②可知，對任意的n≥2，n∈N*，不等式2Sn>Tn＋3n成立． 故得證． 方法二　用二項(xiàng)式定理證明如下： 因?yàn)閚≥2，n∈N*，所以2n＋2＝222n＝4(1＋1)n ＝4(C＋C＋C＋…)≥4(C＋C＋C) ＝4＝2n2＋2n＋4 ＝n2＋3n＋4＋(n2－n)>n2＋3n＋4， 所以2n＋2>n2＋3n＋4，故得證． 題型三　歸納—猜想—證明 例2(2018浙江名校協(xié)作體考試)已知函數(shù)f(x)＝. (1)求方程f(x)－x＝0的實(shí)數(shù)解； (2)如果數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N*)，是否存在實(shí)數(shù)c，使得a2n<c<a2n－1對所有的n∈N*都成立？證明你的結(jié)論． 解　(1)由f(x)－x＝0，得＝x，即x＝－4或x＝. (2)存在c＝使得a2n<<a2n－1. 因?yàn)閒(x)＝，當(dāng)x∈(0,1]時，f(x)單調(diào)遞減， 所以≤f(x)<. 因?yàn)閍1＝1， 所以由an＋1＝，得a2＝，a3＝，且0<an≤1. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明0<a2n<<a2n－1≤1. 當(dāng)n＝1時，因?yàn)?<a2＝<<a1＝1≤1， 所以當(dāng)n＝1時結(jié)論成立． 假設(shè)當(dāng)n＝k時結(jié)論成立，即0<a2k<<a2k－1≤1. 由于f(x)＝為(0,1]上的減函數(shù)， 所以f(0)>f(a2k)>f>f(a2k－1)≥f(1)， 從而>a2k＋1>>a2k≥， 因此f<f(a2k＋1)<f<f(a2k)≤f， 即0<f<a2k＋2<≤a2k＋1≤f≤1， 所以當(dāng)n＝k＋1時，結(jié)論也成立． 綜上所述，對一切n∈N*,0<a2n<<a2n－1≤1都成立． 思維升華(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性． (2)“歸納—猜想—證明”的基本步驟是“試驗(yàn)—?dú)w納—猜想—證明”．高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題． 跟蹤訓(xùn)練2　設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)． (1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表達(dá)式； (2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (3)設(shè)n∈N*，比較g(1)＋g(2)＋…＋g(n)與n－f(n)的大小，并加以證明． 解　由題設(shè)得g(x)＝(x≥0)． (1)由已知，g1(x)＝， g2(x)＝g(g1(x))＝＝， g3(x)＝，…，可猜想gn(x)＝. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． ①當(dāng)n＝1時，g1(x)＝，結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時結(jié)論成立， 即gk(x)＝. 則當(dāng)n＝k＋1時，gk＋1(x)＝g(gk(x)) ＝＝＝，即結(jié)論成立． 由①②可知，結(jié)論對n∈N*恒成立． (2)已知f(x)≥ag(x)恒成立， 即ln(1＋x)≥恒成立． 設(shè)φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)， 則φ′(x)＝－＝， 當(dāng)a≤1時，φ′(x)≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x＝0，a＝1時等號成立)， ∴φ(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增． 又φ(0)＝0， ∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴當(dāng)a≤1時，ln(1＋x)≥恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時等號成立)． 當(dāng)a>1時，對x∈(0，a－1]，有φ′(x)≤0， ∴φ(x)在(0，a－1]上單調(diào)遞減， ∴φ(a－1)<φ(0)＝0. 即當(dāng)a>1時，存在x>0，使φ(x)<0， ∴l(xiāng)n(1＋x)≥不恒成立． 綜上可知，a的取值范圍是(－∞，1]． (3)由題設(shè)知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝＋＋…＋，n－f(n)＝n－ln(n＋1)， 比較結(jié)果為g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln(n＋1)． 證明如下： 方法一　上述不等式等價于＋＋…＋<ln(n＋1)， 在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)>，x>0. 令x＝，n∈N*，則<ln. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． ①當(dāng)n＝1時，<ln2，結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時結(jié)論成立， 即＋＋…＋<ln(k＋1)． 那么，當(dāng)n＝k＋1時，＋＋…＋＋<ln(k＋1)＋<ln(k＋1)＋ln＝ln(k＋2)，即結(jié)論成立． 由①②可知，結(jié)論對n∈N*成立． 方法二　上述不等式等價于＋＋…＋<ln(n＋1)， 在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)>，x>0. 令x＝，n∈N*，則ln>. 故有l(wèi)n2－ln1>， ln3－ln2>， …… ln(n＋1)－lnn>， 上述各式相加可得ln(n＋1)>＋＋…＋. 結(jié)論得證． 1．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，則f(1)的值為(　　) A．1 B. C．1＋＋＋＋ D．非以上答案 答案　C 解析　等式右邊的分母是從1開始的連續(xù)的自然數(shù)，且最大分母為6n－1，則當(dāng)n＝1時，最大分母為5，故選C. 2．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的關(guān)系是(　　) A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2 B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2 C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2 D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2 答案　A 解析　f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2. 3．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋<f(n)(n≥2，n∈N*)的過程中，由n＝k到n＝k＋1時，左邊增加了(　　) A．1項(xiàng) B．k項(xiàng) C．2k－1項(xiàng) D．2k項(xiàng) 答案　D 解析　令不等式的左邊為g(n)，則 g(k＋1)－g(k)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋－ ＝＋＋…＋， 其項(xiàng)數(shù)為2k＋1－1－2k＋1＝2k＋1－2k＝2k. 故左邊增加了2k項(xiàng)． 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當(dāng)n＝k＋1時左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上(　　) A．k2＋1 B．(k＋1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 答案　D 解析　等式左邊是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，直到n2. 故n＝k＋1時，最后一項(xiàng)是(k＋1)2，而n＝k時，最后一項(xiàng)是k2，應(yīng)加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2. 5．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足當(dāng)f(k)≥k＋1成立時，總能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命題總成立的是(　　) A．若f(1)<2成立，則f(10)<11成立 B．若f(3)≥4成立，則當(dāng)k≥1時，均有f(k)≥k＋1成立 C．若f(2)<3成立，則f(1)≥2成立 D．若f(4)≥5成立，則當(dāng)k≥4時，均有f(k)≥k＋1成立 答案　D 解析　當(dāng)f(k)≥k＋1成立時，總能推出f(k＋1)≥k＋2成立，說明如果當(dāng)k＝n時，f(n)≥n＋1成立，那么當(dāng)k＝n＋1時，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果當(dāng)k＝4時，f(4)≥5成立，那么當(dāng)k≥4時，f(k)≥k＋1也成立． 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋…＋>－，假設(shè)n＝k時，不等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是________________________________． 答案?。?gt;－ 解析　觀察不等式中分母的變化便知． 7．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，經(jīng)計(jì)算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，則其一般結(jié)論為__________________________________________． 答案　f(2n)>(n≥2，n∈N*) 解析　觀察規(guī)律可知f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，…，故得一般結(jié)論為f(2n)>(n≥2，n∈N*)． 8．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋>的過程中，由n＝k推導(dǎo)n＝k＋1時，不等式的左邊增加的式子是________________． 答案　 解析　不等式的左邊增加的式子是 ＋－＝. 9．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝，記cn＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，試通過計(jì)算c1，c2，c3的值，推測cn＝________. 答案　 解析　c1＝2(1－a1)＝2＝， c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2＝， c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3) ＝2＝， 故由歸納推理得cn＝. 10．用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n135…(2n－1)(n∈N*)時，從n＝k到n＝k＋1時左邊需增乘的代數(shù)式是________． 答案　4k＋2 解析　用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n135…(2n－1)(n∈N*)時， 從n＝k到n＝k＋1時左邊需增乘的代數(shù)式是 ＝2(2k＋1)． 11．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，對于一切的n∈N*均有a≤an－an＋1成立． (1)證明：數(shù)列{an}中的任意一項(xiàng)都小于1； (2)探究an與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論． (1)證明　由a≤an－an＋1，得an＋1≤an－a. ∵在數(shù)列{an}中，an>0， ∴an＋1>0，∴an－a>0， ∴0<an<1， 故數(shù)列{an}中的任何一項(xiàng)都小于1. (2)解　由(1)知0<a1<1＝， 那么a2≤a1－a＝－2＋≤<， 由此猜想an<. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥1，且n∈N*時猜想正確． ①當(dāng)n＝1,2時已證； ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，且k∈N*)時，有ak<成立， 那么≤，ak＋1≤ak－a＝－2＋ <－2＋＝－ ＝<＝， ∴當(dāng)n＝k＋1時，猜想正確． 綜上所述，對于一切n∈N*，都有an<. 12．(2018浙江諸暨中學(xué)模擬)數(shù)列{an}滿足an＋1＝a－nan＋1(n∈N*)． (1)當(dāng)an≥n＋2對一切正整數(shù)n都成立時，a1應(yīng)滿足什么條件？ (2)證明：存在無數(shù)個a1的取值，使得對一切正整數(shù)n都有＋＋…＋<. (1)解　當(dāng)a1≥3時，an≥n＋2對一切正整數(shù)都成立．用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時，a1≥3成立． ②當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時，假設(shè)ak≥k＋2成立， 則當(dāng)n＝k＋1時， ak＋1＝a－kak＋1＝ak(ak－k)＋1≥ak(k＋2－k)＋1＝2ak＋1≥2(k＋2)＋1＝2k＋5>(k＋1)＋2. 綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a1≥3時，an≥n＋2對一切正整數(shù)n均成立． (2)證明　由(1)知，當(dāng)a1≥3時，an≥n＋2， an＋1＝a－nan＋1＝an(an－n)＋1≥an(n＋2－n)＋1＝2an＋1(n∈N*)． 于是，an＋1＋1≥2(an＋1)≥22(an－1＋1)≥…≥2n(a1＋1)(n∈N*)， 從而，對任意的i∈N*， ≤， 所以＋＋…＋≤＋＋…＋ ＝ ＝ ＝<. 欲使≤，只需a1≥3. 所以只要a1∈[3，＋∞)， 不等式＋＋…＋<對任意的正整數(shù)n均成立， 即滿足要求的a1的取值有無數(shù)多個． 13．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)≥k2成立時，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命題總成立的是(　　) A．若f(1)<1成立，則f(10)<100成立 B．若f(2)<4成立，則f(1)≥1成立 C．若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時，均有f(k)≥k2成立 D．若f(4)≥16成立，則當(dāng)k≥4時，均有f(k)≥k2成立 答案　D 解析　∵當(dāng)f(k)≥k2成立時，f(k＋1)≥(k＋1)2成立， ∴當(dāng)f(4)≥16時，有f(5)≥52，f(6)≥62，…，f(k)≥k2成立． 14．n個半圓的圓心在同一條直線l上，這n個半圓每兩個都相交，且都在直線l的同側(cè)，問這些半圓被所有的交點(diǎn)最多分成多少段圓??？ 解　設(shè)這些半圓最多互相分成f(n)段圓弧，采用由特殊到一般的方法，進(jìn)行猜想和論證． 當(dāng)n＝2時，由圖(1)知兩個半圓交于一點(diǎn)，則分成4段圓弧，故f(2)＝4＝22； 當(dāng)n＝3時，由圖(2)知三個半圓交于三點(diǎn)，則分成9段圓弧，故f(3)＝9＝32； 當(dāng)n＝4時，由圖(3)知四個半圓交于六點(diǎn)，則分成16段圓弧，故f(4)＝16＝42； 由此猜想，滿足條件的n個半圓互相分成圓弧段有f(n)＝n2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： ①當(dāng)n＝2時，上面已證； ②假設(shè)當(dāng)n＝k時，f(k)＝k2，那么當(dāng)n＝k＋1時，第k＋1個半圓與原k個半圓均相交，為獲得最多圓弧，任意三個半圓不能交于一點(diǎn)，所以第k＋1個半圓把原k個半圓中的每一個半圓中的一段弧分成兩段弧，這樣就多出k條圓??；另外原k個半圓把第k＋1個半圓分成k＋1段，這樣又多出了k＋1段圓?。? 所以f(k＋1)＝k2＋k＋(k＋1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2， 即滿足條件的k＋1個半圓被所有的交點(diǎn)最多分成(k＋1)2段圓?。? 由①②可知，滿足條件的n個半圓被所有的交點(diǎn)最多分成n2段圓?。? 15．(2018紹興模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax－x2的最大值不大于，又當(dāng)x∈時，f(x)≥. (1)求a的值； (2)設(shè)0<a1<，an＋1＝f(an)，n∈N*，證明：an<. (1)解　由題意，知 f(x)＝ax－x2＝－2＋. 又f(x)max≤，所以f(x)max＝f＝≤. 所以a2≤1. 又當(dāng)x∈時，f(x)≥， 所以即 解得a≥1. 又因?yàn)閍2≤1，所以a＝1. (2)證明　用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時，0<a1<，顯然結(jié)論成立． 因?yàn)楫?dāng)x∈時，0<f(x)≤， 所以0<a2＝f(a1)≤<. 故當(dāng)n＝2時，原不等式也成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時，不等式0<ak<成立． 由(1)知a＝1，f(x)＝x－x2， 因?yàn)閒(x)＝x－x2的對稱軸為直線x＝， 所以當(dāng)x∈時，f(x)為增函數(shù)． 所以由0<ak<≤， 得0<f(ak)<f. 于是，0<ak＋1＝f(ak)<－＋－＝－<. 所以當(dāng)n＝k＋1時，原不等式也成立． 根據(jù)①②，知對任意n∈N*，不等式an<成立．