（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三講 解題的化歸目標(biāo)—形變題變講義 理.doc

第三講解題的化歸目標(biāo)形變題變上一講提到解題的指導(dǎo)思想是“化歸尋舊”，但怎樣對題目進(jìn)行化歸，化歸到什么形式？這就是本講所要解決的兩個重點(diǎn)問題形變化歸與題變化歸一、形變化歸在數(shù)學(xué)問題的解答過程中，把問題的某一項(xiàng)信息或一組信息進(jìn)行形式上的加工處理，使這項(xiàng)信息或這組信息與我們認(rèn)知結(jié)構(gòu)中(尤其是熟悉結(jié)構(gòu))的某項(xiàng)知識經(jīng)驗(yàn)在形式上相近或相同，讓問題由陌生變得熟悉，便于解題者思考和聯(lián)想，為解題者擬訂解題計(jì)劃奠基鋪路這種處理信息的操作規(guī)律我們稱為形變化歸如恒等變形、因式分解、配方、裂項(xiàng)、添項(xiàng)、換元、分類、移圖、補(bǔ)形、數(shù)學(xué)語言化等解題方法都是形變化歸在解題實(shí)踐中的具體體現(xiàn)從根本上說，這些解題手段沒有改變問題信息的實(shí)質(zhì)和內(nèi)容，只是使信息的表述形式發(fā)生了變化例1在數(shù)列an中，已知a215，an12an3n(nN*)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解當(dāng)n1時，由已知，得a22a13，即152a13，解得a16.由an12an3n，兩邊同時除以3n1，得2，即.設(shè)bn，則式變?yōu)閎n1bn.設(shè)bn1m(bnm)，即bn1bn，令，解得m1.則bn11(bn1)，所以數(shù)列bn1是一個首項(xiàng)為b11111，公比為q的等比數(shù)列，故bn11n1，即bn1n1.由bn，得an3nbn3n3n32n1(nN*)反思領(lǐng)悟此題解答中從到等式兩邊同除以3n1，從到是換元；從到是待定系數(shù)法；從到又是換元，這些恒等變形手段沒有改變問題信息的實(shí)質(zhì)，只是改變了信息的表述形式，但是，這種變形化歸手段使信息清晰化、簡單化，將一個復(fù)雜的遞推數(shù)列an轉(zhuǎn)化為一個簡單的等比數(shù)列bn1例2已知x，y，zR，且xyz1，求證：36.證明(xyz)1414461236.反思領(lǐng)悟此題是一個條件極值問題，信息：x，y，zR；信息：xyz1；信息：關(guān)于x，y，z的不等關(guān)系36.通過添項(xiàng)和并項(xiàng)手段將式變?yōu)槭?，問題在表述形式上發(fā)生了變化，雖然仍是一個條件極值問題，但解題思路已豁然開朗，這就是形變化歸的效果二、題變化歸在數(shù)學(xué)習(xí)題的解答過程中，把數(shù)學(xué)問題的某一項(xiàng)信息或一組信息進(jìn)行加工處理，使問題信息的形式得以更新，信息的內(nèi)涵得到挖掘和拓展，使這項(xiàng)信息或這組信息與我們熟知的某項(xiàng)知識經(jīng)驗(yàn)在內(nèi)容上相近或相同，讓問題由陌生變得熟悉，便于解題者思考和聯(lián)想，為解題者擬訂解題計(jì)劃奠基鋪路這種加工處理信息的操作規(guī)律我們稱為題變化歸，如構(gòu)造法、待定系數(shù)法、三角變換法、數(shù)形結(jié)合法、命題等價轉(zhuǎn)化等都是題變化歸從本質(zhì)上說，這些解題手段不僅改變了問題信息的表述形式，而且改變了問題信息的實(shí)質(zhì)，使問題以新的形式和新的內(nèi)容呈現(xiàn)出來例3已知x2y21，則2的最大值為_解析 此題的信息有兩項(xiàng)，信息：實(shí)數(shù)x,y的關(guān)系式為x 2+y 2=1；信息：求2的最大值.22.()令P(x，y)，A，B，原問題轉(zhuǎn)化為：點(diǎn)P是單位圓上的動點(diǎn)，A，B為單位圓上的定點(diǎn)，求|PA|2|PB|的最大值()作出示意圖如圖所示，易知APBAOB60，由正弦定理將信息進(jìn)行形變化歸：|PA|2sin(120A)，|PB|2sin A，則|PA|2|PB|2sin(120A)4sin A5sin Acos A2sin(A)2，()所以|PA|2|PB|的最大值為2.答案2反思領(lǐng)悟此題解答過程中首先利用信息把信息形變化歸為()，然后再將信息和()結(jié)合，進(jìn)行題變化歸得到()，將“求最值的代數(shù)問題”轉(zhuǎn)化為“求單位圓中的線段和的最值問題”；將()轉(zhuǎn)化為()也是題變化歸，將“求單位圓中的線段和問題”轉(zhuǎn)化為“一個三角函數(shù)最值問題”此題進(jìn)行一系列題變化歸，使解題策略由茫然到朦朧，由朦朧到清晰，最后豁然開朗例4已知實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2bxc0有實(shí)數(shù)根，求使得(ab)2(bc)2(ca)2ka2恒成立的實(shí)數(shù)k的最大值解 此題的信息有兩項(xiàng)，信息：實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2bxc0有實(shí)數(shù)根; 信息:求使得(ab)2(bc)2(ca)2ka2恒成立的實(shí)數(shù)k的最大值.令原方程的兩個根為x1，x2，則x1x2，x1x2.()k222(1x1x2)2(x1x2x1x2)2(x1x21)22(xx11)(xx21)()2.()故實(shí)數(shù)k的最大值為.反思領(lǐng)悟該解法將信息化為()是形變化歸，信息化為()既是形變化歸，也是題變化歸，將原問題轉(zhuǎn)化為“兩個二次函數(shù)的最值問題”；從()到()是形變化歸顯然，該解法的過程，既是一系列形變化歸的過程，也是題變化歸的過程而且形變化歸是題變化歸的基礎(chǔ)，題變化歸是形變化歸的目的和歸宿綜上所述，我們可以看出：(1)形變化歸和題變化歸在解題過程中并非流星一閃，而是多次反復(fù)出現(xiàn)在解題過程中(2)形變化歸和題變化歸不是孤立地表現(xiàn)在解題的過程中，而是常常結(jié)伴而行(3)形變化歸和題變化歸聯(lián)系緊密，形變化歸是基礎(chǔ)，題變化歸是結(jié)果，題變化歸離不開形變化歸(4)形變化歸是題變化歸的基礎(chǔ)，也是化歸思想的基礎(chǔ)，更是問題解決的基礎(chǔ)