高考數學 17-18版 第9章 第45課 課時分層訓練45

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1、 課時分層訓練(四十五) A組 基礎達標 (建議用時:30分鐘) 一、填空題 1.圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是________. (x-1)2+(y-1)2=2 [圓的半徑r==,∴圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2.] 2.圓(x-1)2+(y-2)2=1關于直線y=x對稱的圓的方程為________. 【導學號:62172247】 (x-2)2+(y-1)2=1 [(1,2)關于直線y=x對稱的點為(2,1),∴圓(x-1)2+(y-2)2=1關于直線y=x對稱的圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=1.] 3.圓x2+y2-2x+4y+3=0的圓心到直

2、線x-y=1的距離為________.  [圓的方程可化為(x-1)2+(y+2)2=2,則圓心坐標為(1,-2). 故圓心到直線x-y-1=0的距離d==.] 4.已知圓(x-2)2+(y+1)2=16的一條直徑通過直線x-2y+3=0被圓所截弦的中點,則該直徑所在的直線方程為________. 2x+y-3=0 [易知圓心坐標為(2,-1). 由于直線x-2y+3=0的斜率為, ∴該直徑所在直線的斜率k=-2. 故所求直線方程為y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.] 5.若圓心在x軸上,半徑為的圓O位于y軸左側,且與直線x+2y=0相切,則圓O的方程是_______

3、_. (x+5)2+y2=5 [設圓心為(a,0)(a<0), 則r==,解得a=-5, 所以圓O的方程為(x+5)2+y2=5.] 6.經過原點并且與直線x+y-2=0相切于點(2,0)的圓的標準方程是________. 【導學號:62172248】 (x-1)2+(y+1)2=2 [設所求圓的圓心為(a,b). 依題意(a-2)2+b2=a2+b2, ① =1, ② 解①②得a=1,b=-1, 則半徑r==, ∴所求圓的標準方程為(x-1)2+(y+1)2=2.] 7.設P是圓(x-3)2+(y+1)2=4上的動點,Q是直線x=

4、-3上的動點,則PQ的最小值為________. 4 [如圖所示,圓心M(3,-1)與直線x=-3的最短距離為MQ=3-(-3)=6,又圓的半徑為2,故所求最短距離為6-2=4.] 8.(2016·浙江高考)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓,則圓心坐標是________,半徑是________. (-2,-4) 5 [由二元二次方程表示圓的條件可得a2=a+2,解得a=2或-1.當a=2時,方程為4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+=0,配方得2+(y+1)2=-<0,不表示圓; 當a=-1時,方程為x2+y2+4x+8

5、y-5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,則圓心坐標為(-2,-4),半徑是5.] 9.已知點M(1,0)是圓C:x2+y2-4x-2y=0內的一點,那么過點M的最短弦所在直線的方程是________. x+y-1=0 [圓C:x2+y2-4x-2y=0的圓心為C(2,1), 則kCM==1. ∵過點M的最短弦與CM垂直,∴最短弦所在直線的方程為y-0=-1(x-1),即x+y-1=0.] 10.(2015·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中,以點(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標準方程為__________. (x-

6、1)2+y2=2 [因為直線mx-y-2m-1=0恒過定點(2,-1),所以圓心(1,0)到直線mx-y-2m-1=0的最大距離為d==,所以半徑最大時的半徑r=,所以半徑最大的圓的標準方程為(x-1)2+y2=2.] 二、解答題 11.已知直線l:y=x+m,m∈R,若以點M(2,0)為圓心的圓與直線l相切于點P,且點P在y軸上,求該圓的方程. 【導學號:62172249】 [解] 法一:依題意,點P的坐標為(0,m), 因為MP⊥l,所以×1=-1, 解得m=2,即點P的坐標為(0,2), 圓的半徑r=MP==2, 故所求圓的方程為(x-2)2+y2=8. 法二:設所求圓的

7、半徑為r,則圓的方程可設為(x-2)2+y2=r2, 依題意,所求圓與直線l:x-y+m=0相切于點P(0,m), 則 解得 所以所求圓的方程為(x-2)2+y2=8. 12.(2015·廣東高考改編)已知過原點的動直線l與圓C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點A,B. (1)求圓C1的圓心坐標; (2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程. [解] (1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4, 所以圓C1的圓心坐標為(3,0). (2)設M(x,y),依題意·=0, 所以(x-3,y)·(x,y)=0,則x2-3x+y2=0, 所以2+y2=.

8、又原點O(0,0)在圓C1外, 因此中點M的軌跡是圓C與圓C1相交落在圓C1內的一段圓弧. 由消去y2得x=, 因此<x≤3. 所以線段AB的中點M的軌跡方程為2+y2=. B組 能力提升 (建議用時:15分鐘) 1.設P(x,y)是圓(x-2)2+y2=1上的任意一點,則(x-5)2+(y+4)2的最大值為________. 36 [(x-5)2+(y+4)2表示點P(x,y)到點(5,-4)的距離的平方.點(5,-4)到圓心(2,0)的距離d==5. 則點P(x,y)到點(5,-4)的距離最大值為6,從而(x-5)2+(y+4)2的最大值為36.] 2.在平面直角坐標系

9、xOy中,曲線y=x2-6x+1與坐標軸的交點都在圓C上,求圓C的方程. [解] 法一:(代數法)曲線y=x2-6x+1與y軸的交點為(0,1),與x軸的交點為(3+2,0),(3-2,0),設圓的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 則有解得 故圓的方程是x2+y2-6x-2y+1=0. 法二:(幾何法)曲線y=x2-6x+1與y軸的交點為(0,1),與x軸的交點為(3+2,0),(3-2,0). 故可設C的圓心為(3,t),則有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.則圓C的半徑為=3,所以圓C的方程為(x-3)2+(y-1)2=9. 3.已知

10、點P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過點P的動直線l與圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標原點. (1)求M的軌跡方程; (2)當OP=OM時,求l的方程及△POM的面積. [解] (1)圓C的方程可化為x2+(y-4)2=16,所以圓心為C(0,4),半徑為4. 設M(x,y),則=(x,y-4),=(2-x,2-y). 由題設知·=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于點P在圓C的內部, 所以M的軌跡方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1,3)為圓心,為半徑的圓.

11、 由于OP=OM,故O在線段PM的垂直平分線上. 又P在圓N上,從而ON⊥PM. 因為ON的斜率為3,所以l的斜率為-, 故l的方程為y=-x+. 又OM=OP=2,O到l的距離為,PM=,所以△POM的面積為. 4.已知圓C過點P(1,1),且與圓M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)關于直線x+y+2=0對稱. (1)求圓C的方程; (2)設Q為圓C上的一個動點,求·的最小值. [解] (1)設圓心C(a,b), 由已知得M(-2,-2), 則解得 則圓C的方程為x2+y2=r2,將點P的坐標代入得r2=2, 故圓C的方程為x2+y2=2. (2)設Q(x,y),則x2+y2=2, ·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2) =x2+y2+x+y-4=x+y-2. 令x=cos θ,y=sin θ, 所以·=x+y-2 =(sin θ+cos θ)-2 =2sin-2, 所以·的最小值為-4.

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