高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教案： 空間幾何體的表面積與體積備考策略

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1、 空間幾何體的表面積與體積備考策略 主標題：空間幾何體的表面積與體積備考策略 副標題：通過考點分析高考命題方向，把握高考規(guī)律，為學(xué)生備考復(fù)習(xí)打通快速通道。 關(guān)鍵詞：表面積，體積，備考策略 難度：2 重要程度：4 內(nèi)容 考點一　空間幾何體的表面積 【例1】（15北京理科）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是 A． B． C． D．5 【答案】C 【解析】 試題分析：根據(jù)三視圖恢復(fù)成三棱錐，其中平面ABC，取AB棱的中點D，連接CD、PD，有，底面ABC為等腰三角形底邊AB上的高CD為2

2、，AD=BD=1,PC=1, ,,，,三棱錐表面積. 【備考策略】 (1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進行恰當(dāng)?shù)姆治觯瑥娜晥D中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系． (2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理． (3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和． 考點二　空間幾何體的體積 【例2】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．16＋8π B．8＋8π C．16＋

3、16π D．8＋16π (2)如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為 (　　)． A. B. C. D. 解析　(1)由三視圖可知該幾何體由長方體和圓柱的一半組成．其中長方體的長、寬、高分別為4,2,2，圓柱的底面半徑為2、高為4.所以V＝2×2×4＋×22×π×4＝16＋8π.故選A. (2)三棱錐B1－ABC1的體積等于三棱錐A－B1BC1的體積，三棱錐A－B1BC1的高為，底面積為，故其體積為××＝. 答案　(1)A　(2)A 【備考策略】(1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)

4、鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進行求解． 考點三　球與空間幾何體的接、切問題 【例3】 (1)已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個簡單組合體，如果該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該球的表面積是______________． (2)(2013·遼寧卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為 (　　)． A.

5、B．2 C. D．3 審題路線　(1)正方體內(nèi)接于球?正方體的體對角線長等于球的直徑?求得球的半徑?代入球的表面積公式(注意只算球的表面積)． (2)BC為過底面ABC的截面圓的直徑?取BC中點D，則球心在BC的垂直平分線上，再由對稱性求解． 解析　(1)由三視圖知，棱長為2的正方體內(nèi)接于球，故正方體的體對角線長為2，即為球的直徑． 所以球的表面積為S＝4π·2＝12π. (2)因為在直三棱柱中AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑，取BC中點D，則OD⊥底面ABC，則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，矩形BCC1B1的對角線長

6、即為球的直徑，所以2r＝＝13，即r＝. 答案　(1)12π　(2)C 【備考策略】解決球與其他幾何體的切、接問題，關(guān)鍵在于仔細觀察、分析，弄清相關(guān)元素的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準最佳角度作出截面(要使這個截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系)，達到空間問題平面化的目的． 考點四　幾何體的展開與折疊問題 【例4】 (1)如圖所示，在邊長為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O，剪去△AOB，將剩余部分沿OC，OD折疊，使OA，OB重合，則以A，B，C，D，O為頂點的四面體的體積為________． (2)如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，

7、△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝CC1＝3.P是BC1上一動點，則CP＋PA1的最小值為________(其中PA1表示P，A1兩點沿棱柱的表面距離)． 解析　(1)折疊后的四面體如圖所示． OA，OC，OD兩兩相互垂直，且OA＝OC＝OD＝2，體積V＝ S△OCD·OA＝××(2)3＝. (2)由題意知，把面BB1C1C沿BB1展開與面AA1B1B在一個平面上，如圖所示，連接A1C即可． 則A1、P、C三點共線時，CP＋PA1最小， ∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝C1C＝3， ∴A1B1＝AB＝＝5，∴A1C1＝5＋3＝8， ∴A1C＝＝.故CP＋PA1的最小值為. 答案　(1)　(2) 【備考策略】 (1)有關(guān)折疊問題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系，哪些變，哪些不變． (2)研究幾何體表面上兩點的最短距離問題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的最短距離問題．