大一數(shù)學分析復習題.doc

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方法一：應用數(shù)列極限的定義(證明題) 用定義求數(shù)列極限有幾種模式： （1），作差，解方程，解出，則取或 （2）將適當放大，解出； （3）作適當變形，找出所需N的要求。 方法二：常用方法：約去零因子求極限，分子分母同除求極限，分子(母)有理化求極限 方法三（迫斂性）設收斂數(shù)列都以為極限，數(shù)列滿足：存在正整數(shù),當 時有： 則數(shù)列收斂，且。 方法四：（單調(diào)有界定理）在實系數(shù)中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限。 方法五：兩個重要極限是和 方法六：（柯西收斂準則）數(shù)列收斂的充要條件是：對任給的，存在正整數(shù)N，使得當n，m時，有 方法七：Stolz定理：設n>N時，且，若（為有限數(shù)或無窮大），則 方法八：形如數(shù)列極限 方法九：用等價無窮小量代換求極限（等價無窮小量代換,只能代換極限式中的因式），常見等價無窮小有：當 時,, ； 方法十：用羅必塔法則求極限，用對數(shù)恒等式求極限，數(shù)列極限轉化成函數(shù)極限求解。 算術－幾何－調(diào)和平均不等式： 對 記 (算術平均值) (幾何平均值) (調(diào)和平均值) 有均值不等式: 等號當且僅當時成立. （3） Bernoulli 不等式: (在中學已用數(shù)學歸納法證明過) 對 由二項展開式 （４）Cauchy－Schwarz 不等式:　(),有 　　　　　　 （５） ， ； ； ； 導數(shù)微分及應用習題 判斷: 1、若可微，且為上的偶函數(shù)，則必為上的偶函數(shù)；（ ） 2 若 是上的奇函數(shù)，則必為上的偶函數(shù)；（ ） 3、如果函數(shù) 在點 的左、右 極限都存在，則函數(shù)在點的極限存在（ ） 4、若函數(shù)在點連續(xù)，則在點可導 ； （ ） 5、若函數(shù)在點連續(xù)，則在點的極限一定存在；（ ） 6、若函數(shù)在點可微，則在點可導 ； （ ） 7、如果函數(shù) 在 點 的左、右 極限都存在，則在點可導 ；（ ） 8、若函數(shù)在點連續(xù)，則函數(shù) 在 點 的左、右 極限都存在且相等；（ ） 9、若在點不可導，則函數(shù)在點一定不連續(xù)；（ ） 10、若函數(shù)在點不可微，則在點不可導 ； （ ） 11、若函數(shù)在點不可微，則的左、右 極限一定不存在；（ ） 12、設函數(shù)在點可導，導數(shù)為，則 （ ） 13、設函數(shù)在點可導，導數(shù)為，則 （ ） 14、設函數(shù)在點可導，導數(shù)為，則 （ ） 15、函數(shù)在處不可導；（ ） 16、函數(shù)在處不連續(xù)；（ ） 17. 若存在，且，則 （ ） 18、若在上可導，則在上有界； （ ） 19、若在點導數(shù)不存在，則曲線在點處沒有切線；（ ） 20、曲線上點處的法線的斜率為；（ ） 21.設在可微，則當時， 是關于高階的無窮小；（ ） 22、若，則在處不可導；（ ） 23、若，則在處可導但；（ ） 24、若，則在處可導且；（ ） 25、若，則； （ ） 1.設在的某個鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導數(shù)，則（ ）. A、0； B、； C、； D、；. 2、設在的鄰域內(nèi)連續(xù)，且有，則（ ）. A、0； B、； C、； D、. 3.設，則（ ）. A、； B、； C、； D、. 4.設在點處可微，，則（ ）. A、2； B、1； C、0； D、. 5.設，其中為二階可導函數(shù)，則（ ）. A、；B、；C、；D、. 6.如果在區(qū)間內(nèi)，，則在內(nèi)與（ ）. A、僅相差一個常數(shù)； B、完全相等；C、均為常數(shù)； D、為常數(shù)）. 7.設為可導的偶函數(shù)，則為（ ）. A、偶函數(shù)； B、可能是偶函數(shù)； C、奇函數(shù)； D、非奇非偶函數(shù). 8、設在處可導，則 （ ）. A、0； B、； C、； D、. 9、設，則（ ）. A、－3； B、3； C、0； D、. 10、設在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，，則在點處（ ）. A、極限存在且可導； B、極限不存在，但可導； C、極限存在，但不一定可導； D、極限不一定存在. 11.設，則在處（ ）. A、 無定義；B、不連續(xù)；C、連續(xù)且可導；D、連續(xù)但不可導. 12、設，在可導，則必有（ ）. A、； B、； C、； D、. 13、，則在處的導數(shù)（ ）. A、0； B、－1； C、不存在 ； D、1. 14、可微的周期函數(shù)其導數(shù)（ ）. A、一定是周期函數(shù)，且周期不變； B、一定是周期函數(shù)，但周期可能發(fā)生變化；C、不一定是周期函數(shù)； D、一定不是周期函數(shù). 15、設為可微的偶函數(shù)，且對任意的，則（ ）. A、； B、； C、2； D、－2. 16.曲線上，切線平行于直線的點的坐標為（ ）. A、（1，－3）； B、（3，－3）； C、（－1，5）； D、（2，0）. 17、設，其中為可微函數(shù)，則（ ）. A、； B、； C、； D、. 18、設，則（ ）. A、； B、； C、； D、. 19.設為可微函數(shù)，若，則（ ）. A、； B、；C、； D、. 20、下列函數(shù)中導數(shù)等于的是（ ）. A、； B、； C、； D、. 21、曲線在點處的切線與直線垂直，則此曲線在點處的切線方程為（ ）. A、；B、；C、； D、. 22.設，則（ ）. A、； B、； C、2； D、. 23、設，則（ ）. A、； B、； C、； D、. 24、下列函數(shù)中在點連續(xù)且可導的是（ ）. A、； B、； C、； D、. 25、設方程確定是的函數(shù)，則（ ）. A、； B、1； C、； D、0. 26.其中為可微函數(shù)，則（ ）. A、；B、；C、；D、. 27.設 ，其中為有限值，則在處（ ）. A、可導且； B、可導但；C、不一定可導； D、肯定不可導. 28.曲線在點處的切線斜率為3，則點的坐標為（ ）. A、（1，0）； B、（0，1）； C、（1，3）； D、（1，－2）. 29、設，則（ ）. A、； B、； C、； D、. 30.設具有二階導數(shù)，，則（ ）. A、； B、； C、； D、. 31、 函數(shù)，則在處（ ）. A、間斷； B、連續(xù)但不可導；C、連續(xù)且導數(shù)為0；D、連續(xù)且導數(shù)為－1. 32.設，在可導，則的值為（ ）. A、； B、； C、； D、. 33、，則（ ）. A、； B、； C、6； D、－6. 34.若在處不可導，則在點（ ）. A、無意義； B、左、右極限不相等； C、不一定可導； D、不可微. 35、若，則( ). A、； B、； C、； D、. 36.若，且，則（ ）. A、；　　　B、； 　 C、； 　　 D、． 37、設函數(shù) ，則（ ）. A、-1； 　 B、； C、1； 　　　D、． 38.，在處（ ）. A、不可導； B、連續(xù)且可導； C、不連續(xù)但可導； D、不連續(xù). 39、設，則的有關論證正確的是（ ）. A、在點處可微； B、， C、， D、在點處可導. 40.設 （其中 為常數(shù)），則（ ）. A、； B、0； C、1； D、. 41、設 （其中 為常數(shù)），則（ ）. A、； B、0； C、1； D、. 42.設，則（ ）. A、； B、； C、； D、0. 43.設函數(shù)，則函數(shù)在處（ ）. A、不連續(xù)； B、連續(xù)，不可導； C、可導，但不連續(xù)； D、可導且導數(shù)也存在. 44、設，則（ ）. A、；B、；C、；D、. 45.已知函數(shù)，則函數(shù)在點處的導數(shù)（ ）. A、； B、； C、； D、不存在. 46.設，則（ ）. A、； B、； C、1； D、0. 47.設，則（ ）. A、0； B、1； C、－1； D、2. 48、設，則（ ）. A、； B、； C、； D、0. 49、設，則（ ）. A、； B、； C、； D、. 50.下列命題中正確的是（ ）. A、若，則有； B、若，則有； C、若，則； D、若；則. 51.在點處的左、右導數(shù)存在且相等是在點處可導的 （ ）. A、必要條件； B、充分條件； C、充分必要條件； D、無關條件. 52.設函數(shù)，則為（ ）. A、2； B、3； C、－1； D、不存在. 1. ；2.∨；3、；4、；5、∨；6、∨；7、 ；8、 ∨ ；9、 ；10、 ∨ ；11、；12、；13、 ∨ ；14、；15、∨ ；16、；17、 ∨ ；18、∨ ；19、；20、∨ ；21、 ∨ ；22、；23、；24、∨；25、 ； 1、D；2、B；3、D；4、A；5、C；6、A；7、C；8、B；9、A；10、C；11、D； 12、D；13、；C；14、A；15、B；16、B；17、D；18、C；19、D；20、B；21、A；22、B；23、D；24、C；25、B；26、C；27、A；28、D；29、B；30、D；31、D；32、C；33、C；34、D；35、A；36、C；37、C；38、B；39、C；40、B；41、A；42、B；43、B；44、B；45、D；46、D；47、D；48、B；49、A；50、B；51、C；52、D. 中值定理和羅比達法則 ★1.下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的所有條件？如滿足，請求出滿足定理的數(shù)值。 （1）； （2）。 ★2.驗證拉格朗日中值定理對函數(shù)在區(qū)間上的正確性。 ★3.已知函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，試求滿足定理的。 ★★4.試證明對函數(shù)應用拉格朗日中值定理時所求得的點總是位于區(qū)間的正中間。 ★5.函數(shù)與在區(qū)間上是否滿足柯西定理的所有條件？如滿足，請求出滿足定理的數(shù)值。 ★★★6.設在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且。求證：存在，使。 ★★7.若函數(shù)在內(nèi)具有二階導函數(shù)，且 ，證明：在內(nèi)至少有一點，使得。 ★★8.若4次方程有4個不同的實根，證明： 的所有根皆為實根。 ★★★9.證明：方程只有一個正根。 ★★10.不用求出函數(shù)的導數(shù)，說明方程有幾個實根，并指出它們所在的區(qū)間。 ★★★11.證明下列不等式： （1） ； （2） 當 時， ； （3） 設 ，證明； （4） 當時，。 ★★12.證明等式：. ★★★13.證明：若函數(shù)在內(nèi)滿足關系式，且，則。 ★★★14.設函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)有二階導數(shù)，且有 ，試證在內(nèi)至少存在一點，使。 15.設在上可微，且試證明在內(nèi)至少有兩個零點。 ★★★16.設在閉區(qū)間上滿足，試證明存在唯一的，使得 。 ★★★17.設函數(shù)在的某個鄰域內(nèi)具有階導數(shù)，且 試用柯西中值定理證明：。 ★★1.用洛必達法則求下列極限： （1） ； （2） ； （3）； （4）； （5）； （6）； （7） ； （8）； （9） ； （10）； （11）； （12）；（13）； （14）； （15）； （16）； （17）； （18）； （19）； （20）。