高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例課件 新人教A版選修45

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1、二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例貝努利貝努利(Bernoulli)(Bernoulli)不等式不等式如果如果x x是實數(shù)，且是實數(shù)，且x-1x-1，x0,nx0,n為大于為大于1 1的自然數(shù)的自然數(shù), ,則有則有_._.(1+x)(1+x)n n1+nx1+nx1.1.在應(yīng)用貝努利不等式時應(yīng)注意什么在應(yīng)用貝努利不等式時應(yīng)注意什么? ?提示：提示：在應(yīng)用貝努利不等式時要注意應(yīng)用條件在應(yīng)用貝努利不等式時要注意應(yīng)用條件x-1,x-1,且且x0.x0.2.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明3 3n nnn3 3(n3(n3，nNnN) )，第一步應(yīng)驗證，第一步應(yīng)驗證_._.【解析【解析】由題意知由題意

2、知n3n3，所以應(yīng)驗證，所以應(yīng)驗證n n3.3.答案：答案：n n3 33.3.用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明 (a(a，b b是非負(fù)實數(shù)，是非負(fù)實數(shù)，nNnN+ +) )時，假設(shè)時，假設(shè)n nk k時不等式時不等式 成立，再成立，再推證推證n nk+1k+1時不等式也成立的關(guān)鍵是將時不等式也成立的關(guān)鍵是將( (* *) )式兩邊同乘式兩邊同乘_._.【解析【解析】對比對比k k與與k+1k+1時的結(jié)論可知，兩邊只需同乘時的結(jié)論可知，兩邊只需同乘 即可即可. .答案：答案：nnnabab()22+kkkabab() (*)22+ab2+ab2+對貝努利對貝努利(Bernoulli)(Bern

3、oulli)不等式的理解不等式的理解當(dāng)指數(shù)當(dāng)指數(shù)n n推廣到任意實數(shù)推廣到任意實數(shù)時，時，x-1x-1時，時，若若0101，則，則(1+x)(1+x)1+x.1+x.若若011，則，則(1+x)(1+x)1+x.1+x.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x=0 x=0時等號成立時等號成立. . 類型類型 一一 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 【典型例題【典型例題】1.1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：2.2.求證：當(dāng)求證：當(dāng)n2n2且且nNnN+ +時，時，()222111112n2 .23nn+ +【解析【解析】1.(1)1.(1)當(dāng)當(dāng)n n2 2時，時， 命題成立命題成立. .(2)(2

4、)假設(shè)假設(shè)n nk(kNk(kN+ +，k2)k2)時命題成立，時命題成立，即即當(dāng)當(dāng)n nk+1k+1時，時， 命題成立命題成立. .由由(1)(2)(1)(2)知原不等式在知原不等式在n2n2時均成立時均成立. .21513122422+- ，22211111223kk+ +-，22221111123k(k1)+ +()()21111111222kkk k1kkk1k1-+-+-+-+12k1-+，2.(1)2.(1)當(dāng)當(dāng)n=2n=2時，不等式的左邊時，不等式的左邊所以原不等式成立所以原不等式成立. .(2)(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k(k2,kNn=k(k2,kN+ +) )時，不等式成立，時

5、，不等式成立，即即111119934562010=+=，1119,k1k23k10+ +當(dāng)當(dāng)n=k+1n=k+1時，時，左邊左邊111111k2k33k3k13k23k3=+ +11111111()k1k2k33k3k13k23(k1)k1=+ +-+91111,103k13k23(k1)k1+-+因為因為所以左邊所以左邊所以，當(dāng)所以，當(dāng)n=k+1n=k+1時，不等式也成立，時，不等式也成立，由由(1)(2)(1)(2)知，不等式對大于知，不等式對大于1 1的正整數(shù)都成立的正整數(shù)都成立. .1111,3k13(k1) 3k23(k1)+91111103k13k23(k1)k1+-+911119

6、,103(k1)3(k1)3(k1)k110+-=+【互動探究【互動探究】將題將題2 2不等式右邊的值改為不等式右邊的值改為 如何證明呢？如何證明呢？【證明【證明】(1)(1)當(dāng)當(dāng)n=2n=2時，左邊時，左邊 不等式成立不等式成立. .56，1111534566=+ ，(2)(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k(k2n=k(k2，kNkN+ +) )時命題成立，即時命題成立，即則當(dāng)則當(dāng)n=k+1n=k+1時，時，1115,k1k23k6+ +111111(k1)1(k1)23k3k13k23(k1)1111111()k1k23k3k13k23k3k1+ +=+ +-+所以當(dāng)所以當(dāng)n=k+1n=k+1時，不

7、等式也成立，時，不等式也成立，由由(1)(2)(1)(2)可知，原不等式對一切可知，原不等式對一切n2n2，nNnN+ +均成立均成立. .51111()63k13k23k3k151111()63k33k33k3k15315(),63k3k16+-+-+=+-=+【誤區(qū)警示【誤區(qū)警示】本題在由本題在由n=kn=k到到n=k+1n=k+1時的推證過程中，時的推證過程中，(1)(1)一定一定要注意分析清楚命題的結(jié)構(gòu)特征，即由要注意分析清楚命題的結(jié)構(gòu)特征，即由n=kn=k到到n=k+1n=k+1時不等式時不等式左端項數(shù)的增減情況左端項數(shù)的增減情況. .(2)(2)應(yīng)用放縮技巧容易出現(xiàn)失誤，要把握好放

8、縮的尺度應(yīng)用放縮技巧容易出現(xiàn)失誤，要把握好放縮的尺度. .【拓展提升【拓展提升】數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧(1)(1)證明不等式時，由證明不等式時，由n nk k到到n nk+1k+1時的推證過程與證明等式時的推證過程與證明等式有所不同，由于不等式中的不等關(guān)系，需要我們在證明時，有所不同，由于不等式中的不等關(guān)系，需要我們在證明時，對原式進(jìn)行對原式進(jìn)行“放大放大”或者或者“縮小縮小”才能使用到才能使用到n nk k時的假設(shè)，時的假設(shè)，所以需要認(rèn)真分析，適當(dāng)放縮，才能使問題簡單化，這是利所以需要認(rèn)真分析，適當(dāng)放縮，才能使問題簡單化，這是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時常用的方法

9、之一用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時常用的方法之一. .(2)(2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用通常需要與數(shù)學(xué)的其他方法聯(lián)系在一起，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用通常需要與數(shù)學(xué)的其他方法聯(lián)系在一起，如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等，才能完成如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等，才能完成證明過程證明過程. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1 1的自然數(shù)，不的自然數(shù)，不等式等式 均成立均成立. .【證明【證明】(1)(1)當(dāng)當(dāng)n=2n=2時，左邊時，左邊 右邊右邊因為左邊右邊，所以不等式成立因為左邊右邊，所以不等式成立. .(2)(2)假設(shè)假設(shè)n=k(k2n=k(k2

10、，且，且kNkN+ +) )時不等式成立，時不等式成立，即即1112n1(1)(1)(1)352n12+-14133=+=；5.2=1112k1(1)(1)(1).352k12+-則當(dāng)則當(dāng)n=k+1n=k+1時，時，所以當(dāng)所以當(dāng)n=k+1n=k+1時，不等式也成立時，不等式也成立. .由由(1)(2)(1)(2)知，對于一切大于知，對于一切大于1 1的自然數(shù)的自然數(shù)n n，不等式都成立，不等式都成立. .221111(1)(1)(1)1352k-12(k1)-12k1 2k22k24k8k422k12 2k12 2k12(k1)14k8k32k3 2k1.22 2k12 2k1+=+=+類型類

11、型 二二 歸納歸納- -猜想猜想- -證明證明 【典型例題【典型例題】1.(20131.(2013蘇州高二檢測蘇州高二檢測) )觀察下列式子：觀察下列式子：試歸納出一個一般形式的式子試歸納出一個一般形式的式子_._.2222221311511171,1,1222332344+ ， ，2.2.在數(shù)列在數(shù)列aan n ，bbn n 中，中，a a1 12 2，b b1 14 4，且，且a an n，b bn n，a an+1n+1成等差成等差數(shù)列，數(shù)列，b bn n，a an+1n+1，b bn+1n+1成等比數(shù)列成等比數(shù)列(nN(nN+ +).).(1)(1)求求a a2 2，a a3 3，a

12、a4 4及及b b2 2，b b3 3，b b4 4，由此猜測，由此猜測aan n ，bbn n 的通項公的通項公式，并證明你的結(jié)論式，并證明你的結(jié)論. .(2)(2)證明：證明：1122nn1115.ababab12+ +【解題探究【解題探究】1.1.題題1 1中不等式的左邊有什么特點？右邊呢？中不等式的左邊有什么特點？右邊呢？2.2.題題2 2中如何猜測中如何猜測aan n ，bbn n 的通項公式？分析題的通項公式？分析題2 2第第(2)(2)問中問中的結(jié)構(gòu)特點，使用什么方法解決較好？的結(jié)構(gòu)特點，使用什么方法解決較好？探究提示：探究提示：1.1.題題1 1中不等式的左邊是每一個正整數(shù)平方

13、的倒數(shù)和，不等式中不等式的左邊是每一個正整數(shù)平方的倒數(shù)和，不等式的右邊進(jìn)行變形后可以發(fā)現(xiàn)分母是與左端一致的正整數(shù)，而的右邊進(jìn)行變形后可以發(fā)現(xiàn)分母是與左端一致的正整數(shù)，而分子是分子是2n+1.2n+1.2.2.根據(jù)題目要求求出數(shù)列的前幾項，然后分析這幾項的結(jié)構(gòu)根據(jù)題目要求求出數(shù)列的前幾項，然后分析這幾項的結(jié)構(gòu)特點，進(jìn)行猜測特點，進(jìn)行猜測aan n ，bbn n 的通項公式，若特點不夠明顯，可的通項公式，若特點不夠明顯，可以在猜測之后進(jìn)行驗證，然后選擇數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明以在猜測之后進(jìn)行驗證，然后選擇數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明. .在第在第(2)(2)問中，結(jié)合求出的通項公式，發(fā)現(xiàn)用裂項法進(jìn)行求解較為問中，

14、結(jié)合求出的通項公式，發(fā)現(xiàn)用裂項法進(jìn)行求解較為方便方便. .【解析【解析】1.1.由由 可以改寫成可以改寫成由由 可以改寫成可以改寫成由由 可以改寫成可以改寫成213122+212 111(11)11 +，221151,233+22112211(11)(21)21+，222111712344+2221112311(11)(21)(31)31+，所以根據(jù)以上規(guī)律可知：所以根據(jù)以上規(guī)律可知：答案：答案：()2221112n11nN.23(n1)n1+ +2221112n11(nN )23(n1)n1+ +2(n+1)n(n+1)(2n+1)2(n+1)n，故故綜上，原不等式成立綜上，原不等式成立.

15、.11115ab612+，1122nn11111111ababab62 2334n(n1)+ + +創(chuàng)+11111111()()()622334nn111 11115().62 2n16412+-+-+ +-+-+123n1111(1)(1)(1)(1)n1(nN ).bbbb+【解題探究【解題探究】1.1.題題1 1中證明中證明n=k+1n=k+1時不等式成立的關(guān)鍵是什么？時不等式成立的關(guān)鍵是什么？2.2.等差數(shù)列的定義式是什么？等差數(shù)列的定義式是什么？探究提示：探究提示：1.1.題題1 1中證明中證明n=k+1n=k+1時不等式成立的關(guān)鍵是利用好時不等式成立的關(guān)鍵是利用好n=kn=k的假設(shè)

16、以的假設(shè)以及及n=k+1n=k+1時不等式的變形時不等式的變形. .2.a2.an+1n+1-a-an n=d.=d.【證明【證明】1.(1)1.(1)當(dāng)當(dāng)n n1 1時，時， 不等式成立不等式成立. .(2)(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n nk(k1)k(k1)時，時， 成立成立. .當(dāng)當(dāng)n nk+1k+1時，時，所以當(dāng)所以當(dāng)n nk+1k+1時，時， 成立，成立，綜上，綜上， 對一切正整數(shù)對一切正整數(shù)n n都成立都成立. .1a22 11 +，ka2k1+22k 1k22kk11aa22k32(k1)1aa+，k 1a2(k1)1+ ，na2n1+2.(1)2.(1)由由a an+1n+1a an

17、n+2+2n n+1+1得得(a(an+1n+1-2-2n+1n+1)-(a)-(an n-2-2n n) )1 1，因此因此aan n-2-2n n 成等差數(shù)列成等差數(shù)列. .(2)a(2)an n-2-2n n(a(a1 1-2)+(n-1)-2)+(n-1)n-1n-1，即，即a an n2 2n n+n-1+n-1，b bn n2log2log2 2(a(an n+1-n)+1-n)2n.2n.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)當(dāng)n n1 1時，左端時，左端 右端，不等式成立；右端，不等式成立；3 5 72n1n1.2 4 62n+322假設(shè)假設(shè)n nk k時不等式成立，即時不

18、等式成立，即當(dāng)當(dāng)n nk+1k+1時，時，因此不等式因此不等式 對于一切對于一切nNnN+ +都成立都成立. .3 5 72k1k12 4 62k+，2223 5 72k1 2k32 4 62k2(k1)2k3(2k3)k12(k1)4(k1)4k12k9k2k2.4k12k8+3 5 72n1n12 4 62n+【拓展提升【拓展提升】求解數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列的綜合問題的策略求解數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列的綜合問題的策略(1)(1)首先掌握好數(shù)學(xué)歸納法求解問題的步驟及等差、等比數(shù)列首先掌握好數(shù)學(xué)歸納法求解問題的步驟及等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，這是解決這類問題的基礎(chǔ)的基礎(chǔ)知識，這是解決這類問題的基礎(chǔ). .(2

19、)(2)這類題型通常與數(shù)列的遞推公式、通項公式有關(guān)，有時要這類題型通常與數(shù)列的遞推公式、通項公式有關(guān)，有時要證明的式子是直接給出，有時是根據(jù)條件從前幾項入手，通證明的式子是直接給出，有時是根據(jù)條件從前幾項入手，通過觀察、猜想，歸納出一個式子，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明過觀察、猜想，歸納出一個式子，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2013(2013重慶高二檢測重慶高二檢測) )已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的各項均的各項均為正數(shù)，為正數(shù)，a a1 1=1,a=1,an+1n+12 2-a-an n2 2=2.=2.(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項公式的通項公式. .(2)

20、(2)證明證明 對一切對一切nNnN+ +恒成立恒成立. .123n11112n1aaaa+ +-【解析【解析】(1)(1)由由a an+1n+12 2-a-an n2 2=2,a=2,a1 1=1=1得得a an n2 2=2n-1,=2n-1,又又a an n0,0,所以所以(2)(2)當(dāng)當(dāng)n=1n=1時，時，1=11=1成立；當(dāng)成立；當(dāng)n=2n=2時，左邊右邊；時，左邊右邊；假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=kn=k時，時， 成立，成立，那么當(dāng)那么當(dāng)n=k+1n=k+1時，時， 說明說明n=k+1n=k+1時不等式成立時不等式成立. .由由可得可得 對一切對一切nNnN+ +恒成立恒成立. .na2n1.

21、=-123k11112k1aaaa+ +-123kk 11111112k1aaaaa2k1+ +-+22k12k1,2k12k1-+=+-123n11112n1aaaa+ +- 利用數(shù)學(xué)歸納法證明探索型不等式利用數(shù)學(xué)歸納法證明探索型不等式【典型例題【典型例題】1.1.設(shè)設(shè)f(nf(n)=n)=nn+1n+1,g(n)=(n+1),g(n)=(n+1)n n,nN,nN+ +. .(1)(1)當(dāng)當(dāng)n=1,2,3,4n=1,2,3,4時，比較時，比較f(nf(n) )與與g(ng(n) )的大小的大小. .(2)(2)根據(jù)根據(jù)(1)(1)的結(jié)果猜測一個一般性結(jié)論，并加以證明的結(jié)果猜測一個一般性結(jié)論

22、，并加以證明. .2.2.已知函數(shù)已知函數(shù)g(xg(x) )x x2 2-2x(x1)-2x(x1)，f(xf(x) )(a+b)(a+b)x x-a-ax x-b-bx x，其中，其中a a，bRbR+ +，a1a1，b1b1，abab，且，且abab4.4.對于任意對于任意nNnN+ +，試指出，試指出f(nf(n) )與與g(2g(2n n) )的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論. .【解析【解析】1.(1)1.(1)當(dāng)當(dāng)n=1n=1時，時，n nn+1n+1=1,(n+1)=1,(n+1)n n=2,=2,此時，此時，n nn+1n+1(n+1)(n+1)n n, ,

23、當(dāng)當(dāng)n=2n=2時，時，n nn+1n+1=8,(n+1)=8,(n+1)n n=9=9，此時，此時,n,nn+1n+1(n+1)(n+1)(n+1)n n, ,當(dāng)當(dāng)n=4n=4時，時，n nn+1n+1=1 024,(n+1)=1 024,(n+1)n n=625=625，此時，此時，n nn+1n+1(n+1)(n+1)n n, ,(2)(2)根據(jù)上述結(jié)論，我們猜想：當(dāng)根據(jù)上述結(jié)論，我們猜想：當(dāng)n3n3時，時，n nn+1n+1(n+1)(n+1)n n(nN(nN* *) )恒成立恒成立. .當(dāng)當(dāng)n=3n=3時，時，n nn+1n+1=3=34 4=81(n+1)=81(n+1)n n=

24、4=43 3=64,=64,即即n nn+1n+1(n+1)(n+1)n n成立成立. .假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=kn=k時，時，k kk+1k+1(k+1)(k+1)k k成立，即成立，即則當(dāng)則當(dāng)n=k+1n=k+1時，時，即即(k+1)(k+1)k+2k+2(k+2)(k+2)k+1k+1成立，即當(dāng)成立，即當(dāng)n=k+1n=k+1時不等式也成立，時不等式也成立，所以當(dāng)所以當(dāng)n3n3時，時，n nn+1n+1(n+1)(n+1)n n(nN(nN+ +) )恒成立恒成立. .k 1kk1,(k1)+k2k 1k 1k 1k 1k(k1)k1kk(k1) ()(k1) ()1(k2)k2k1(k1)+=

25、+=+，2.2.因為因為f(nf(n) )(a+b)(a+b)n n-a-an n-b-bn n，g(2g(2n n) )4 4n n-2-2n+1n+1，當(dāng)當(dāng)n n1 1時，時，f(1)f(1)0 0，g(2)g(2)0 0，有，有f(1)f(1)g(2).g(2).當(dāng)當(dāng)n n2 2時，時，f(2)f(2)(a+b)(a+b)2 2-a-a2 2-b-b2 22ab2ab8 8，g(2g(22 2) )4 42 2-2-23 38 8，有，有f(2)f(2)g(2g(22 2).).當(dāng)當(dāng)n n3 3時，時， f(3)f(3)(a+b)(a+b)3 3-a-a3 3-b-b3 33a3a2 2

26、b+3abb+3ab2 23ab(a+b)3ab3ab(a+b)3ab 48.48.g(2g(23 3) )4 43 3-2-24 44848，有，有f(3)g(2f(3)g(23 3).).當(dāng)當(dāng)n n4 4時，時，f(4)f(4)(a+b)(a+b)4 4-a-a4 4-b-b4 44a4a3 3b+4abb+4ab3 3+6a+6a2 2b b2 24ab(a4ab(a2 2+b+b2 2)+6a)+6a2 2b b2 24ab4ab2ab+6a2ab+6a2 2b b2 214a14a2 2b b2 2224224，2 abg(2g(24 4) )4 44 4-2-25 5224224，

27、有，有f(4)g(2f(4)g(24 4).).由此推測當(dāng)由此推測當(dāng)1n21n2時，時，f(nf(n) )g(2g(2n n) )，當(dāng)當(dāng)n3n3時，時，f(nf(n)g(2)g(2n n).).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明下面用數(shù)學(xué)歸納法證明. .當(dāng)當(dāng)n n3 3時，由上述計算過程知結(jié)論成立；時，由上述計算過程知結(jié)論成立；假設(shè)假設(shè)n nk k時，推測成立，即時，推測成立，即f(kf(k)g(2)g(2k k)(k3)(k3)，即即(a+b)(a+b)k k-a-ak k-b-bk k44k k-2-2k+1k+1，那么那么f(k+1)f(k+1)(a+b)(a+b)k+1k+1-a-ak+1k+1-b

28、-bk+1k+1(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)k k-a-aa ak k-b-bb bk k(a+b(a+b) )(a+b)(a+b)k k-a-ak k-b-bk k+a+ak kb+abb+abk k. .又依題設(shè)又依題設(shè) 有有f(k+1)4f(k+1)4(a+b)(a+b)k k-a-ak k-b-bk k+2+2k+2k+24(44(4k k-2-2k+1k+1)+2)+2k+2k+24 4k+1k+1-2-2k+2k+2g(2g(2k+1k+1) )，即即n nk+1k+1時，結(jié)論也成立時，結(jié)論也成立. .由由, ,知知n3(nNn3(nN+ +) )時，時，f(nf(n)

29、g(2)g(2n n) )都成立都成立. .綜上，當(dāng)綜上，當(dāng)1n21n2時，時，f(nf(n)=g(2)=g(2n n) )；當(dāng)當(dāng)n3(nNn3(nN+ +) )時，時，f(nf(n) )g(2g(2n n).).ab2 ab 4.+k 1kkkkk22a bab2 a bab2(ab)2+，【拓展提升【拓展提升】利用數(shù)學(xué)歸納法證明探索型不等式的思路利用數(shù)學(xué)歸納法證明探索型不等式的思路(1)(1)觀察不等式各項的特點觀察不等式各項的特點, ,先用初始值驗證得出符先用初始值驗證得出符合條件的未知數(shù)的值合條件的未知數(shù)的值. .(2)(2)判斷是否符合題意判斷是否符合題意, ,若符合若符合, ,則猜

30、想出一般結(jié)論則猜想出一般結(jié)論. .(3)(3)按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟, ,利用數(shù)學(xué)歸納法證明利用數(shù)學(xué)歸納法證明. .(4)(4)得出結(jié)論得出結(jié)論, ,問題解決問題解決. .這種分析問題和解決問題的思路是非常重要的，特別是在求這種分析問題和解決問題的思路是非常重要的，特別是在求解存在性或探索性問題時解存在性或探索性問題時. . 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】歸納、猜想、證明的求解思路歸納、猜想、證明的求解思路 【典例【典例】 【條件分析【條件分析】【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)當(dāng)當(dāng)n n1 1時，時，x x2 2-a-a1 1x-ax-a1 10 0有一根為有一根為S S1 1-1

31、-1a a1 1-1-1，于是，于是(a(a1 1-1)-1)2 2-a-a1 1(a(a1 1-1)-a-1)-a1 10 0，解得，解得a a1 1 2 2分分當(dāng)當(dāng)n n2 2時，時，x x2 2-a-a2 2x-ax-a2 20 0有一根為有一根為S S2 2-1-1 于是于是 解得解得 4 4分分1.221a2-，2222211(a)a (a)a022- ，21a.6(2)(2)由題設(shè)由題設(shè)(S(Sn n-1)-1)2 2-a-an n(S(Sn n-1)-a-1)-an n0 0，即即S Sn n2 2-2S-2Sn n+1-a+1-an nS Sn n0. 0. 6 6分分當(dāng)當(dāng)n2

32、n2時，時，a an nS Sn n-S-Sn-1n-1，代入上式得，代入上式得S Sn-1n-1S Sn n-2S-2Sn n+1+10.(0.(* *) )由由(1)(1)知知 由由( (* *) )可得可得 由此猜想由此猜想 n n1,2,31,2,3，. . 8 8分分112121112SaSaa.2263+ ， 33S.4nnSn1+，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論. .n n1 1時已知結(jié)論成立時已知結(jié)論成立. . 9 9分分假設(shè)假設(shè)n nk k時結(jié)論成立，即時結(jié)論成立，即當(dāng)當(dāng)n nk+1k+1時，由時，由( (* *) )得得 即即 故故n nk+1k+

33、1時結(jié)論也成立時結(jié)論也成立. . 1010分分kkS.k1+k 1k1S2S+-，k 1k1Sk2+，綜上，由綜上，由可知，可知， 對所有正整數(shù)對所有正整數(shù)n n都成立都成立. .于是當(dāng)于是當(dāng)n2n2時，時， 又又n n1 1時，時， 所以所以aan n 的通項公式為的通項公式為n n1,2,31,2,3，. . 1212分分nnSn1+nnn1nn11aSSn1nn(n1)-+，111a21 2 ，n1an(n1)+，【失分警示【失分警示】【防范措施【防范措施】1.1.關(guān)于猜想的技巧關(guān)于猜想的技巧數(shù)學(xué)中的猜想往往是由特殊到一般的思想，所以首先要分析數(shù)學(xué)中的猜想往往是由特殊到一般的思想，所以首

34、先要分析特例中的結(jié)構(gòu)特點，從而尋求一般形式下的表現(xiàn)形式，達(dá)到特例中的結(jié)構(gòu)特點，從而尋求一般形式下的表現(xiàn)形式，達(dá)到猜想的目的，如本例猜想的目的，如本例(2)(2)中先求出中先求出S S1 1,S,S2 2,S,S3 3，再猜想，再猜想. .2.2.關(guān)于歸納法的第二步關(guān)于歸納法的第二步在利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，一定要確認(rèn)在在利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，一定要確認(rèn)在n=k+1n=k+1時是否使時是否使用了用了n=kn=k的假設(shè)，這是檢驗數(shù)學(xué)歸納法是否正確使用的關(guān)鍵，的假設(shè)，這是檢驗數(shù)學(xué)歸納法是否正確使用的關(guān)鍵，所以一定要保證應(yīng)用假設(shè)，如本例所以一定要保證應(yīng)用假設(shè)，如本例(2)(2)中中處要用上處要用

35、上n=kn=k的假的假設(shè)設(shè). .3.3.關(guān)于結(jié)論的表述關(guān)于結(jié)論的表述在求解綜合問題時，最后結(jié)論的表述，必須是問題的正面回在求解綜合問題時，最后結(jié)論的表述，必須是問題的正面回答，也就是說最后的結(jié)論一定要突出、完整，如本例答，也就是說最后的結(jié)論一定要突出、完整，如本例(2)(2)中證中證完后要進(jìn)行歸納總結(jié)完后要進(jìn)行歸納總結(jié). . 【類題試解【類題試解】已知函數(shù)已知函數(shù) 數(shù)列數(shù)列aan n 滿足條件：滿足條件：a a1 111，a an+1n+1f(af(an n+1).+1).試比較試比較與與1 1的大小，并說明理由的大小，并說明理由. .【解析【解析】因為因為f(xf(x) )x x2 2-1-

36、1，a an+1n+1f(af(an n+1)+1)，所以所以a an+1n+1(a(an n+1)+1)2 2-1.-1.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)g(xg(x) )(x+1)(x+1)2 2-1-1x x2 2+2x+2x，因為，因為g(xg(x) )在區(qū)間在區(qū)間-1-1，+)+)上單調(diào)遞增，于是由上單調(diào)遞增，于是由a a1 111，得，得a a2 2(a(a1 1+1)+1)2 2-12-122 2-1-1，進(jìn)而得，進(jìn)而得a a3 3(a(a2 2+1)+1)2 2-12-124 4-12-123 3-1-1，由此猜想：，由此猜想：a an n22n n-1.-1.31f(x)xx3-，123n111

37、11a1a1a1a+ +下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想：當(dāng)當(dāng)n n1 1時，時，a a1 1221 1-1-11 1，結(jié)論成立；，結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n nk(k1k(k1且且kNkN+ +) )時結(jié)論成立，即時結(jié)論成立，即a ak k22k k-1-1，則當(dāng)，則當(dāng)n nk+1k+1時，由時，由g(xg(x) )(x+1)(x+1)2 2-1-1在區(qū)間在區(qū)間-1-1，+)+)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增知，知，a ak+1k+1(a(ak k+1)+1)2 2-12-122k2k-12-12k+1k+1-1-1，即，即n nk+1k+1時，結(jié)論也成時，結(jié)論也成立立. .由

38、由知，對任意知，對任意nNnN+ +，都有，都有a an n22n n-1.-1.即即1+a1+an n22n n. .所以所以所以所以nn11.1a2+123n11111a1a1a1a+ +n23n111111( )1.22222+ +-+，1116431312341212+，211111kk1k2k+ +，2221111k1kk1(k1)+ + +22211kk11(2k1)1.(k1)kk(k1)-+-+因為因為k2k2，令，令f(kf(k) )k k2 2-k-1-k-1，對稱軸為，對稱軸為所以所以(2(2，+)+)為為f(kf(k) )的增區(qū)間，的增區(qū)間，所以所以f(kf(k)f(2)f(2)，即，即k k2 2-k-12-k-122 2-2-1-2-11 1，所以所以 所以所以n nk+1k+1時，不等式也成立時，不等式也成立. .由由(1)(2)(1)(2)知，當(dāng)知，當(dāng)n1n1，nNnN+ +時，不等式都成立時，不等式都成立. .1k2 ，22kk10k(k1)-+，