《柯西不等式》單元測(cè)試題

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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 《柯西不等式》單元測(cè)試題（1） 班級(jí) 姓名 一、選擇題： 1．已知a，b∈R，a2＋b2＝4，則3a＋2b的最大值為(　　) A．4　 B．2　 C．8　 D．9 2．設(shè)x，y，m，n>0，且＋＝1，則u＝x＋y的最小值是(　　) A．(＋)2 B.＋ C．m＋n D．(m＋n)2 3．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，則a－b的取值范圍是(　　) A．[－2，2] B．[－2，2] C．[－，] D．[－，] 4．已知4x2＋5y2＝1，則

2、2x＋y的最大值是 (　　) A. B．1 C．3 D．9 5．已知x，y∈R＋，且xy＝1，則的最小值為(　　) A．4 B．2 C．1 D. 6．設(shè)a、b∈R＋，且a≠b，P＝＋，Q＝a＋b，則(　　) A．P>Q B．P≥Q C．P0，且a＋b＝1，則＋的最小值為________； 8．函數(shù)y＝＋2的最大值是________； 9．設(shè)a，b，c，d，m，n都是正實(shí)數(shù)，P＝＋，Q＝· ，則P與Q的大小________； 10

3、．函數(shù)y＝2cos x＋3的最大值為________； 11．函數(shù)y＝2＋的最大值為________. 三、解答題： 12．若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值，并求出最小值點(diǎn)． 13．設(shè)a，b∈R＋，若a＋b＝2，求＋的最小值． 14．已知a＋b＝1，求證：a2＋b2＝1. 15．設(shè)a＋b＝，求證：a8＋b8≥. 參考答案： 一、選擇題： 1．已知a，b∈R，a2＋b2＝4，則3a＋2b的最大值為(　　) A．4　 B．2　 C．8　 D．9 答案：B

4、 2．設(shè)x，y，m，n>0，且＋＝1，則u＝x＋y的最小值是(　　) A．(＋)2 B.＋ C．m＋n D．(m＋n)2 答案：A 3．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，則a－b的取值范圍是(　　) A．[－2，2] B．[－2，2] C．[－，] D．[－，] 解析：　∵(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2， ∴|a－b|≤＝2，∴a－b∈[－2，2]． 答案：　A 4．已知4x2＋5y2＝1，則2x＋y的最大值是 (　　) A. B．1 C．3 D．9 解析：　∵2x＋y＝2x·1＋y·1 ≤ ·＝·＝. ∴2x＋y

5、的最大值為. 答案：　A 5．已知x，y∈R＋，且xy＝1，則的最小值為(　　) A．4 B．2 C．1 D. 解析：　≥2＝4，故選A. 答案：　A 6．設(shè)a、b∈R＋，且a≠b，P＝＋，Q＝a＋b，則(　　) A．P>Q B．P≥Q C．P0，b>0，∴a＋b>0.∴≥＝(a＋b)． 又∵a≠b，而等號(hào)成立的條件是·＝·， 即a＝b，∴>a＋b.即P>Q. 答案：　A 二、填空題： 7．已知a，b>0

6、，且a＋b＝1，則＋的最小值為________； 解析：∵＋＝(a＋b) ＝[()2＋()2]≥2＝2 ＝＋. 答案：＋ 8．函數(shù)y＝＋2的最大值是________； 解析：根據(jù)柯西不等式，知 y＝1×＋2×≤×＝. 答案：　 9．設(shè)a，b，c，d，m，n都是正實(shí)數(shù)，P＝＋，Q＝· ，則P與Q的大小________； 解析：　由柯西不等式，得 P＝＋≤×＝· ＝Q. 答案：　P≤Q 10．函數(shù)y＝2cos x＋3的最大值為________； 解析：　y＝2cos x＋3 ＝2cos x＋3≤＝. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即tan x＝±時(shí)，函數(shù)有最大值. 答案：　 11

7、．函數(shù)y＝2＋的最大值為________. 解析：　y＝2＋＝＋1· ≤·＝·＝3. 當(dāng)且僅當(dāng)·1＝·取等號(hào)． 即2－2x＝4x＋2，∴x＝0時(shí)取等號(hào)． 答案：　3 三、解答題： 12．若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值，并求出最小值點(diǎn)． 解：　由柯西不等式(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1， ∴4x2＋9y2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)2x·1＝3y·1，即2x＝3y時(shí)取等號(hào)． 由　得 ∴4x2＋9y2的最小值為，最小值點(diǎn)為. 13．設(shè)a，b∈R＋，若a＋b＝2，求＋的最小值． 解：　∵(a＋b) ＝[()2＋()2] ≥2＝(1＋1)2＝4.

8、 ∴2≥4，即≥2. 當(dāng)且僅當(dāng)·＝·，即a＝b時(shí)取等號(hào)， ∴當(dāng)a＝b＝1時(shí)，＋的最小值為2. 14．已知a＋b＝1，求證：a2＋b2＝1. 證明：由柯西不等式，得(a＋b)2≤[a2＋(1－a2)][b2＋(1－b2)]＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，上式取等號(hào)， ∴ab＝·，a2b2＝(1－a2)(1－b2)． 于是a2＋b2＝1. 15．設(shè)a＋b＝，求證：a8＋b8≥. 證明：a8＋b8＝(12＋12)[(a4)2＋(b4)2] ≥(1×a4＋1×b4)2 ＝(a4＋b4)2＝2 ＝×{(12＋12)[(a2)2＋(b2)2]}2 ≥(1×a2＋1×b2)2＝(a2＋b2)2 ＝2 ≥×(a＋b)2＝. ∴原不等式成立． 專心---專注---專業(yè)