高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) （教材回扣夯實(shí)雙基+考點(diǎn)突破+瞭望高考）第九章第8課時(shí) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布課件

第8課時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布教材回扣夯實(shí)雙基教材回扣夯實(shí)雙基基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1均值均值(1)若離散型隨機(jī)變量若離散型隨機(jī)變量X的分布列為的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn則稱則稱EX_為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它的均值或數(shù)學(xué)期望，它反 映 了 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 取 值 的反 映 了 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 取 值 的_x1p1x2p2xipixnpn平均水平平均水平(2)若若YaXb，其中，其中a，b為常數(shù)，則為常數(shù)，則Y 也 是 隨 機(jī) 變 量 ， 且也 是 隨 機(jī) 變 量 ， 且 E ( a X b ) _.(3)若若X服從兩點(diǎn)分布，則服從兩點(diǎn)分布，則EX_；若若XB(n，p)，則，則EX_.aEXbpnp2方差方差(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipnX(2)D(aXb)_.(3)若若X服從兩點(diǎn)分布，則服從兩點(diǎn)分布，則DX_(4)若若XB(n，p)，則，則DX_a2DXp(1p)np(1p)思考探究思考探究1隨機(jī)變量的均值、方差與樣本均值、方隨機(jī)變量的均值、方差與樣本均值、方差的關(guān)系是怎樣的？差的關(guān)系是怎樣的？提示：提示：隨機(jī)變量的均值、方差是一個常數(shù)，隨機(jī)變量的均值、方差是一個常數(shù)，樣本均值、方差是一個隨機(jī)變量，隨觀測次樣本均值、方差是一個隨機(jī)變量，隨觀測次數(shù)的增加或樣本容量的增加，樣本的均值、數(shù)的增加或樣本容量的增加，樣本的均值、方差趨于隨機(jī)變量的均值與方差方差趨于隨機(jī)變量的均值與方差3正態(tài)曲線的特點(diǎn)正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于曲線位于x軸軸_，與，與x軸軸_；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線曲線是單峰的，它關(guān)于直線_對稱；對稱；上方上方不相交不相交x(4)曲線與曲線與x軸之間的面積為軸之間的面積為_；1(5)當(dāng)當(dāng)一定時(shí)，曲線隨著一定時(shí)，曲線隨著的變化而沿的變化而沿x軸平移；軸平移；(6)當(dāng)當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由一定時(shí)，曲線的形狀由確定確定_，曲線越，曲線越“瘦高瘦高”，表示總體，表示總體的分布越的分布越_；_，曲線越，曲線越“矮胖矮胖”，表示總體的分布越，表示總體的分布越_越小越小集中集中越大越大分散分散思考探究思考探究2參數(shù)參數(shù)，在正態(tài)分布中的實(shí)際意在正態(tài)分布中的實(shí)際意義是什么？義是什么？提示：提示：是正態(tài)分布的期望，是正態(tài)分布的期望，是正態(tài)是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差分布的標(biāo)準(zhǔn)差 課前熱身1若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的分布列如下，則的分布列如下，則X的數(shù)學(xué)期望是的數(shù)學(xué)期望是()X01PpqA.pBqC1 Dpq答案：答案：B2(2012廈門調(diào)研廈門調(diào)研)正態(tài)總體正態(tài)總體N(0,1)在區(qū)間在區(qū)間(2，1)和和(1,2)上取值的概上取值的概率為率為P1，P2，則，則()AP1P2 BP1P2CP1P2 D不確定不確定答案：答案：C3一名射手每次射擊中靶的概率為一名射手每次射擊中靶的概率為0.8，則獨(dú)立射擊，則獨(dú)立射擊3次中靶的次數(shù)次中靶的次數(shù)X的的期望值是期望值是()A0.83 B0.8C2.4 D3答案：答案：C4籃球運(yùn)動員在比賽中每次罰球命中籃球運(yùn)動員在比賽中每次罰球命中得得1分，沒有命中得分，沒有命中得0分，已知某運(yùn)動分，已知某運(yùn)動員罰球命中的概率為員罰球命中的概率為0.7，則他罰球，則他罰球2次次(每次罰球結(jié)果互不影響每次罰球結(jié)果互不影響)的得分的的得分的數(shù)學(xué)期望是數(shù)學(xué)期望是_答案：答案：1.45(2012漳州質(zhì)檢漳州質(zhì)檢)有一批產(chǎn)品，其有一批產(chǎn)品，其中有中有12件正品和件正品和4件次品，有放回地件次品，有放回地任取任取3次，每次次，每次1件，若件，若X表示取到次表示取到次品的次數(shù)，則品的次數(shù)，則D(X)_.考點(diǎn)探究講練互動考點(diǎn)探究講練互動離散型隨機(jī)變量的均離散型隨機(jī)變量的均值與方差值與方差求離散型隨機(jī)變量求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的的均值與方差的方法步驟方法步驟(1)理解理解X的意義，寫出的意義，寫出X可能取的全部可能取的全部值值(3)寫出寫出X的分布列的分布列(4)由均值的定義求由均值的定義求E(X)(5)由方差的定義求由方差的定義求D(X)例例1(1)求該生至少有求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成門課程取得優(yōu)秀成績的概率；績的概率；(2)求求p，q的值；的值；(3)求數(shù)學(xué)期望求數(shù)學(xué)期望E.【名師點(diǎn)評名師點(diǎn)評】離散型隨機(jī)變量的分離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差是三個緊密相連的布列、均值、方差是三個緊密相連的有機(jī)統(tǒng)一體，一般在試題中綜合在一有機(jī)統(tǒng)一體，一般在試題中綜合在一起進(jìn)行考查其解題的關(guān)鍵是求出分起進(jìn)行考查其解題的關(guān)鍵是求出分布列，然后直接套用公式即可布列，然后直接套用公式即可在解題過程中注意利用等可能性在解題過程中注意利用等可能性事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算概率概率(1)相互獨(dú)立事件是指兩個試驗(yàn)中，兩事相互獨(dú)立事件是指兩個試驗(yàn)中，兩事件發(fā)生的概率互不影響；互斥事件是指同件發(fā)生的概率互不影響；互斥事件是指同一次試驗(yàn)中，兩個事件不會同時(shí)發(fā)生一次試驗(yàn)中，兩個事件不會同時(shí)發(fā)生(2)求用求用“至少至少”表述的事件的概率時(shí)，表述的事件的概率時(shí)，先求其對立事件的概率往往比較簡便先求其對立事件的概率往往比較簡便均值與方差的實(shí)際應(yīng)用均值與方差的實(shí)際應(yīng)用例例2記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下降次數(shù)記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為為X，對乙項(xiàng)目每投資十萬元，對乙項(xiàng)目每投資十萬元，X取取0、1、2時(shí)，一年后相應(yīng)利潤是時(shí)，一年后相應(yīng)利潤是1.3萬元、萬元、1.25萬元、萬元、0.2萬元，隨機(jī)變量萬元，隨機(jī)變量X1，X2分別表示對甲、乙兩項(xiàng)目各投資十萬元分別表示對甲、乙兩項(xiàng)目各投資十萬元一年后所獲的利潤一年后所獲的利潤(1)求求X1，X2的分布列和均值的分布列和均值EX1，EX2；(2)當(dāng)當(dāng)EX1EX2時(shí)，求時(shí)，求p的取值范圍的取值范圍【思路分析思路分析】(1)求分布列，應(yīng)先確定求分布列，應(yīng)先確定X2的取值，再求的取值，再求X2的取值對應(yīng)的概率；的取值對應(yīng)的概率；(2)由由EX1EX2，找出關(guān)于，找出關(guān)于p的不等式，即的不等式，即可求出可求出p的范圍的范圍【解解】(1)X1的分布列為的分布列為由題設(shè)得由題設(shè)得XB(2，p)，即，即X的概率的概率分布列為分布列為X012P(1p)22p(1p)p2故故X2的概率分布列為的概率分布列為X21.31.250.2P(1p)22p(1p)p2所以所以EX21.3(1p)21.252p(1p)0.2p21.3(12pp2)2.5(pp2)0.2p2p20.1p1.3.(2)由由EX11.18，整理得整理得(p0.4)(p0.3)0，解得解得0.4p0.3.因?yàn)橐驗(yàn)?p1，所以當(dāng)，所以當(dāng)EX1EX2時(shí)，時(shí)，p的取值范圍是的取值范圍是0p0.3.【誤區(qū)警示誤區(qū)警示】在求解在求解X2的分布列的分布列時(shí)，往往因求不出時(shí)，往往因求不出X2的各個取值的的各個取值的概率而解不出本題，出現(xiàn)這種現(xiàn)象概率而解不出本題，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是：沒有搞清的原因是：沒有搞清X取取0,1,2的概的概率就是率就是X2取取1.3萬元，萬元，1.25萬元，萬元，0.2萬元的概率萬元的概率變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1某投資公司在某投資公司在2012年年初準(zhǔn)備將年年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到萬元投資到“低碳低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個項(xiàng)目供選擇：有兩個項(xiàng)目供選擇： (1)針對以上兩個投資項(xiàng)目，請你為投資公司選擇一個合理的項(xiàng)目，并說明理由； (2)若市場預(yù)期不變，該投資公司按照你選擇的項(xiàng)目長期投資(每一年的利潤和本金繼續(xù)用作投資)，問大約在哪一年的年底總資產(chǎn)(利潤本金)可以翻一番？(lg20.3010，lg30.4771)解：解：(1)若按若按“項(xiàng)目一項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利投資，設(shè)獲利1萬元，若按萬元，若按“項(xiàng)目二項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲投資，設(shè)獲利利2萬元，則萬元，則1、2的分布列分別為的分布列分別為這說明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，這說明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資投資關(guān)于正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法關(guān)于正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法(1)熟記熟記P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值的值(2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之軸之間的面積為間的面積為1.正態(tài)分布正態(tài)分布例例3 設(shè)設(shè)XN(5,1)，求，求P(6X7)【思路分析】【思路分析】利用正態(tài)分布的對稱性，利用正態(tài)分布的對稱性，P(6X7)P(3X4)【解】由已知【解】由已知5，1.P(4X6)0.6826，P(3X7)0.9544.P(3X4)P(6X7)0.95440.68260.2718.【名師點(diǎn)評名師點(diǎn)評】在利用對稱性轉(zhuǎn)化區(qū)在利用對稱性轉(zhuǎn)化區(qū)間時(shí)，要注意正態(tài)曲線的對稱軸是間時(shí)，要注意正態(tài)曲線的對稱軸是x，而不是，而不是x0(0)互動探究互動探究2若其他條件不變，則若其他條件不變，則P(X7)及及P(5X6)應(yīng)如何求解？應(yīng)如何求解？解：由解：由1，5，P(3X7)P(521X521)0.9544， 方法技巧1釋疑離散型隨機(jī)變量的均值釋疑離散型隨機(jī)變量的均值(1)均值是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率均值是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均意義下的平均(2)EX是一個實(shí)數(shù)，由是一個實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定，的分布列唯一確定，它描述它描述X取值的平均狀態(tài)取值的平均狀態(tài)(3)教材中給出的教材中給出的E(aXb)aEXb，說明隨機(jī)變量說明隨機(jī)變量X的線性函數(shù)的線性函數(shù)YaXb的的均值等于隨機(jī)變量均值等于隨機(jī)變量X均值的線性函數(shù)均值的線性函數(shù)(2)DX與與EX一樣，也是一個實(shí)數(shù)，由一樣，也是一個實(shí)數(shù)，由X的的分布列唯一確定分布列唯一確定失誤防范失誤防范1對于應(yīng)用問題，必須對實(shí)際問題進(jìn)行對于應(yīng)用問題，必須對實(shí)際問題進(jìn)行具體分析，一般要先將問題中的隨機(jī)變具體分析，一般要先將問題中的隨機(jī)變量設(shè)出來，再進(jìn)行分析，求出隨機(jī)變量量設(shè)出來，再進(jìn)行分析，求出隨機(jī)變量的概率分布，然后按定義計(jì)算出隨機(jī)變的概率分布，然后按定義計(jì)算出隨機(jī)變量的期望、方差或標(biāo)準(zhǔn)差量的期望、方差或標(biāo)準(zhǔn)差2在實(shí)際問題中進(jìn)行概率、百分比在實(shí)際問題中進(jìn)行概率、百分比計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵是把正態(tài)分布的兩個重計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵是把正態(tài)分布的兩個重要參數(shù)要參數(shù)，求出，然后確定三個區(qū)求出，然后確定三個區(qū)間間(范圍范圍)：(，)，(2，2)，(3，3)與已知與已知概率值進(jìn)行聯(lián)系求解概率值進(jìn)行聯(lián)系求解考向瞭望把脈高考考向瞭望把脈高考命題預(yù)測命題預(yù)測從近幾年的高考試題來看，離散型隨機(jī)從近幾年的高考試題來看，離散型隨機(jī)變量的均值與方差是高考的熱點(diǎn)，題型變量的均值與方差是高考的熱點(diǎn)，題型為填空題或解答題，屬中檔題常與排為填空題或解答題，屬中檔題常與排列、組合、概率等知識綜合命題，既考列、組合、概率等知識綜合命題，既考查基本概念，又注重考查基本運(yùn)算能力查基本概念，又注重考查基本運(yùn)算能力和邏輯推理、理解能力和邏輯推理、理解能力而正態(tài)分布在近兩年高考中，有些省份而正態(tài)分布在近兩年高考中，有些省份進(jìn)行了考查，其難度較低進(jìn)行了考查，其難度較低預(yù)測預(yù)測2013年福建高考，離散型隨機(jī)變量年福建高考，離散型隨機(jī)變量的均值與方差仍然是高考的熱點(diǎn)，同時(shí)的均值與方差仍然是高考的熱點(diǎn)，同時(shí)應(yīng)特別注意均值與方差的實(shí)際應(yīng)用應(yīng)特別注意均值與方差的實(shí)際應(yīng)用 規(guī)范解答 例例 (本題滿分本題滿分13分分)(2011高考福建卷高考福建卷)某產(chǎn)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級，等級系數(shù)個等級，等級系數(shù)X依依次為次為1,2，8，其中，其中X5為標(biāo)準(zhǔn)為標(biāo)準(zhǔn)A，X3為為標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)B.已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為的零售價(jià)為6元元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為品，產(chǎn)品的零售價(jià)為4元元/件，假定甲、乙兩件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分的概率分布列如下所示：布列如下所示：且且X1的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望EX16，求，求a，b的值；的值；X15678P0.4ab0.1(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：353385563463475348538343447567用這個樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，用這個樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)期望；期望；(3)在在(1)、(2)的條件下，若以的條件下，若以“性價(jià)比性價(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個工廠的產(chǎn)品更具為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由可購買性？說明理由“性價(jià)比性價(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購買性大的產(chǎn)品更具可購買性【解解】(1)因?yàn)橐驗(yàn)镋X16，所以所以50.46a7b80.16，即即6a7b3.2.又由又由X1的概率分布列得的概率分布列得0.4ab0.11，即即ab0.5.(2)由已知得，樣本的頻率分布表如下：由已知得，樣本的頻率分布表如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用這個樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，用這個樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概的概率分布列如下：率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以所以EX230.340.250.260.170.180.14.8，即乙廠產(chǎn)品等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于即乙廠產(chǎn)品等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8.8分分【名師點(diǎn)評名師點(diǎn)評】本題考查了隨機(jī)變量本題考查了隨機(jī)變量的分布列及期望，突出概率統(tǒng)計(jì)知識的分布列及期望，突出概率統(tǒng)計(jì)知識在實(shí)際問題中的應(yīng)用，關(guān)注應(yīng)用能力在實(shí)際問題中的應(yīng)用，關(guān)注應(yīng)用能力的培養(yǎng)的培養(yǎng)