高考數(shù)學 17-18版 附加題部分 第3章 第68課 課時分層訓練12

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1、 課時分層訓練(十二) A組　基礎(chǔ)達標 (建議用時：30分鐘) 1．(2017·如皋市高三調(diào)研一)用數(shù)學歸納法證明等式： 12－22＋32＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋). 【導學號：62172360】 [證明]　n＝1時，1－22＝－3，左邊等于右邊； 假設(shè)n＝k時，有 12－22＋32－…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)成立， 則n＝k＋1時， 12－22＋32－…＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－(k＋1)(2k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]得證． 所以

2、12－22＋32－…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)成立． 2．用數(shù)學歸納法證明：1＋＋＋…＋<2－(n∈N＋，n≥2)． [證明]　(1)當n＝2時，1＋＝<2－＝，命題成立． (2)假設(shè)n＝k時命題成立，即 1＋＋＋…＋<2－. 當n＝k＋1時，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－ ＝2－命題成立． 由(1)(2)知原不等式在n∈N＋，n≥2時均成立． 3．(2017·鎮(zhèn)江期中)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝，n∈N＋，a1＝. (1)計算a2，a3，a4； (2)猜想數(shù)列的通項an，并用數(shù)學歸納法證明． [解]　(1)由遞推公式，得a2＝＝＝，

3、a3＝，a4＝. (2)猜想：an＝. 證明：①n＝1時，由已知，等式成立． ②設(shè)n＝k(k∈N＋)時，等式成立．即ak＝. 所以ak＋1＝＝＝＝＝， 所以n＝k＋1時，等式成立． 根據(jù)①②可知，對任意n∈N＋，等式成立． 即通項an＝. 4．(2017·鹽城三模)記f(n)＝(3n＋2)(C＋C＋C＋…＋C)(n≥2，n∈N＋)． (1)求f(2)，f(3)，f(4)的值； (2)當n≥2，n∈N＋時，試猜想所有f(n)的最大公約數(shù)，并證明. 【導學號：62172361】 [解]　(1)因為f(n)＝(3n＋2)(C＋C＋C＋…＋C)＝(3n＋2)C， 所以f(2

4、)＝8，f(3)＝44，f(4)＝140. (2)由(1)中結(jié)論可猜想所有f(n)的最大公約數(shù)為4. 下面用數(shù)學歸納法證明所有的f(n)都能被4整除即可． (ⅰ)當n＝2時，f(2)＝8能被4整數(shù)，結(jié)論成立； (ⅱ)假設(shè)n＝k時，結(jié)論成立，即f(k)＝(3k＋2)C能被4整除， 則當n＝k＋1時，f(k＋1)＝(3k＋5)C ＝(3k＋2)C＋3C ＝(3k＋2)(C＋C)＋(k＋2)C ＝(3k＋2)C＋(3k＋2)C＋(k＋2)C ＝(3k＋2)C＋4(k＋1)C，此式也能被4整除，即n＝k＋1時結(jié)論也成立． 綜上所述，所有f(n)的最大公約數(shù)為4. B組　能力提升

5、 (建議用時：15分鐘) 1．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N＋，λ>0)． (1)求a2，a3，a4； (2)猜想{an}的通項公式，并加以證明． [解]　(1)a2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22， a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23， a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24. (2)由(1)可猜想數(shù)列通項公式為： an＝(n－1)λn＋2n. 下面用數(shù)學歸納法證明： ①當n＝1,2,3,4時，等式顯然成立， ②假設(shè)當n＝k(k≥4，k∈N＋)時等式成立， 即ak＝(k

6、－1)λk＋2k， 那么當n＝k＋1時， ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k ＝λ(k－1)λk＋λ2k＋λk＋1＋2k＋1－λ2k ＝(k－1)λk＋1＋λk＋1＋2k＋1 ＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1， 所以當n＝k＋1時，猜想成立， 由①②知數(shù)列的通項公式為an＝(n－1)λn＋2n(n∈N＋，λ>0)． 2．(2017·揚州期中)已知Fn(x)＝(－1)kCfk(x)](n∈N)． (1)若fk(x)＝xk，求F2015(2)的值； (2)若fk(x)＝(x?{0，－1，…，－n})，求證：Fn(x)＝. [解]　(1)Fn(x)＝(－1)kCf

7、k(x)]＝(－x)kC]＝(1－x)n，∴F2015(2)＝－1. (2)①n＝1時，左邊＝1－＝＝右邊， ②設(shè)n＝m時，對一切實數(shù)x(x≠0，－1，…，－m)， 有(－1)kC＝， 那么，當n＝m＋1時，對一切實數(shù)x(x≠0，－1，…，－(m＋1))，有 (－1)kC＝1＋(－1)k[C＋C]＋(－1)m＋1 ＝(－1)kC＋(－1)kC＝(－1)kC－· ＝－· ＝＝. 即n＝m＋1時，等式成立． 故對一切正整數(shù)n及一切實數(shù)x(x≠0，－1，…，－n)，有 (－1)kC＝. 3．(2017·南通調(diào)研一)已知函數(shù)f0(x)＝x(sin x＋cos x)，設(shè)fn(x)

8、是fn－1(x)的導數(shù)，n∈N＋. (1)求f1(x)，f2(x)的表達式； (2)寫出fn(x)的表達式，并用數(shù)學歸納法證明． [解]　(1)因為fn(x)為fn－1(x)的導數(shù)， 所以f1(x)＝f′0(x)＝(sin x＋cos x)＋x(cos x－sin x) ＝(x＋1)cos x＋(x－1)(－sin x)， 同理，f2(x)＝－(x＋2)sin x－(x－2)cos x. (2)由(1)得f3(x)＝f′2(x)＝－(x＋3)cos x＋(x－3)sin x， 把f1(x)，f2(x)，f3(x)分別改寫為 f1(x)＝(x＋1)sin＋(x－1)cos，

9、f2(x)＝(x＋2)sin＋(x－2)cos， f3(x)＝(x＋3)sin＋(x－3)cos， 猜測fn(x)＝(x＋n)sin＋(x－n)cos(*)． 下面用數(shù)學歸納法證明上述等式． (ⅰ)當n＝1時，由(1)知，等式(*)成立； (ⅱ)假設(shè)當n＝k時，等式(*)成立，即fk(x)＝(x＋k)sin＋(x－k)cos. 則當n＝k＋1時， fk＋1(x)＝f′k(x) ＝sin＋(x＋k)cos＋cos＋(x－k) ＝(x＋k＋1)cos＋[x－(k＋1)] ＝[x＋(k＋1)]sin＋[x－(k＋1)]cos， 即n＝k＋1時，命題成立． 由(ⅰ)(ⅱ)可知，

10、對?n∈N＋，fn(x)＝(x＋n)sin＋(x－n)cos. 4．(2017·蘇北四市期末)已知數(shù)列{an}滿足an＝3n－2，f(n)＝＋＋…＋，g(n)＝f(n2)－f(n－1)，n∈N＋. (1)求證：g(2)>； (2)求證：當n≥3時，g(n)>. [證明]　(1)由條件an＝3n－2，g(n)＝＋＋＋…＋， 當n＝2時，g(2)＝＋＋＝＋＋＝>. (2)用數(shù)學歸納法加以證明： ①當n＝3時，g(3)＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋＋＋＋＝＋＋ >＋＋＝＋＋>＋＋>， 所以當n＝3時，結(jié)論成立． ②假設(shè)當n＝k時，結(jié)論成立，即g(k)>， 則n＝k＋1時， g(k＋1)＝g(k)＋ >＋>＋－ ＝＋＝＋， 由k≥3可知，3k2－7k－3>0，即g(k＋1)>. 所以當n＝k＋1時，結(jié)論也成立． 綜合①②可得，當n≥3時，g(n)>.