2018年高考數學 專題14 二項式定理及數學歸納法教學案 理

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1、 專題14 二項式定理及數學歸納法 【2018年高考考綱解讀】 高考對本內容的考查主要有： (1) 二項式定理的簡單應用，B級要求； (2)數學歸納法的簡單應用，B級要求 【重點、難點剖析】 1．二項式定理 (1)二項式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn，上式中右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其中C(r＝1,2,3，…，n)叫做二項式系數，式中第r＋1項叫做展開式的通項，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝Can－rbr； (2)(a＋b)n展開式中二項式系數C(r＝1,2,3，…，n)的性質： ①與首末兩端“等距離”的兩項的二

2、項式系數相等，即C＝C； ②C＋C＋C＋…＋C＝2n；C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1. 2．二項式定理的應用 (1)求二項式定理中有關系數的和通常用“賦值法”． (2)二項式展開式的通項公式Tr＋1＝Can－rbr是展開式的第r＋1項，而不是第r項． 3．數學歸納法 運用數學歸納法證明命題要分兩步，第一步是歸納奠基(或遞推基礎)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立，第二步是歸納遞推(或歸納假設)假設n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立，只要完成這兩步，就可以斷定命題對從n0開始的所有的正整數都成立，兩步缺一不可． 4．數學歸納法的應用

3、 (1)利用數學歸納法證明代數恒等式的關鍵是將式子轉化為與歸納假設的結構相同的形式，然后利用歸納假設，經過恒等變形，得到結論． (2)利用數學歸納法證明三角恒等式時，常運用有關的三角知識、三角公式，要掌握三角變換方法． (3)利用數學歸納法證明不等式問題時，在由n＝k成立，推導n＝k＋1成立時，過去講的證明不等式的方法在此都可利用． (4)用數學歸納法證明整除性問題時，可把n＝k＋1時的被除式變形為一部分能利用歸納假設的形式，另一部分能被除式整除的形式. (5)解題時經常用到“歸納——猜想——證明”的思維模式． 【題型示例】 題型一　二項式定理的應用 【例1】【2017課標1，

4、理6】展開式中的系數為 A．15 B．20 C．30 D．35 【答案】C 【變式探究】【2016年高考北京理數】在的展開式中，的系數為__________________.（用數字作答） 【答案】60. 【解析】根據二項展開的通項公式可知，的系數為。 【變式探究】(2015·新課標全國Ⅰ，10)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數為(　　) A．10 B．20 C．30 D．60 解析　Tk＋1＝C(x2＋x)5－kyk，∴k＝2. ∴C(x2＋x)3y2的第r＋1項為CCx2(3－r)xry2，∴2(3－r)＋r＝5，解得r＝1，∴x

5、5y2的系數為CC＝30. 答案　C 【變式探究】(1)(2014·遼寧五校聯(lián)考)若n展開式中只有第6項的二項式系數最大，則展開式的常數項是(　　) A．360 B．180 C．90 D．45 (2)(2014·浙江)在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項的系數為f(m，n)，則f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝(　　) A．45 B．60 C．120 D．210 【命題意圖】　(1)本題主要考查二項展開式的通項、系數問題，對思維能力有一定要求． (2)本題主要考查二項展開式的系數問題，需要考生結

6、合二項式定理進行求解． 【答案】(1)B　(2)C 【感悟提升】二項式定理是一個恒等式，對待恒等式通常有兩種思路：一是利用恒等定理(兩個多項式恒等，則對應項系數相等)；二是賦值，這兩種思路相結合可以使得二項展開式的系數問題迎刃而解． 另外，通項公式主要用于求二項式的指數，求滿足條件的項或系數，求展開式的某一項或系數，在運用公式時要注意以下幾點： (1)Can－rbr是第r＋1項，而不是第r項； (2)運用通項公式Tr＋1＝Can－rbr解題，一般都需先轉化為方程(組)求出n，r，然后代入通項公式求解； (3)求展開式的特殊項，通常都是由題意列方程求出r，再求出所需的某項；有時需先求

7、n，計算時要注意n和r的取值范圍及它們之間的大小關系． 【舉一反三】1.(2015·北京，9)在(2＋x)5的展開式中，x3的系數為________(用數字作答)． 解析　展開式通項為：Tr＋1＝C25－rxr，∴當r＝3時，系數為C·25－3＝40. 答案　40 2.(2015·天津，12)在的展開式中，x2的系數為________． 解析　的展開式的通項Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6－2r； 當6－2r＝2時，r＝2，所以x2的系數為 C＝. 答案　 【變式探究】已知an＝(1＋)n(n∈N*) (1)若an＝a＋b(a，b∈Z)，求證：a是奇數； (2)求證：對于任意

8、n∈N*都存在正整數k，使得an＝＋. 【證明】(1)由二項式定理，得an＝C＋C＋C()2＋C()3＋…＋C()n， 所以a＝C＋C()2＋C()4＋…＝1＋2C＋22C＋…， 因為2C＋22C＋…為偶數，所以a是奇數． (2)由(1)設an＝(1＋)n＝a＋b(a，b∈Z)，則(1－)n＝a－b， 所以a2－2b2＝(a＋b)(a－b)＝(1＋)n(1－)n＝(1－2)n， 當n為偶數時，a2＝2b2＋1，存在k＝a2，使得an＝a＋b＝＋＝＋， 當n為奇數時，a2＝2b2－1，存在k＝2b2，使得an＝a＋b＝＋＝＋， 綜上，對于任意n∈N*，都存在正整數k，使得an＝＋

9、. 【規(guī)律方法】二項式系數的最大項與展開式系數的最大項不同，本題的第r＋1項的二項式系數是C，而展開式系數卻是2rC，解題時要分清． 【變式探究】已知數列{an}的首項為1，p(x)＝a1C(1－x)n＋a2Cx(1－x)n－1＋a3Cx2(1－x)n－2＋…＋anCxn－1(1－x)＋an＋1Cxn (1)若數列{an}是公比為2的等比數列，求p(－1)的值； (2)若數列{an}是公比為2的等差數列，求證：p(x)是關于x的一次多項式． (2)證明　若數列{an}是公差為2的等差數列，則an＝2n－1. p(x)＝a1C(1－x)n＋a2Cx(1－x)n－1＋…＋anCxn－

10、1·(1－x)＋an＋1Cxn ＝C(1－x)n＋(1＋2)Cx(1－x)n－1＋(1＋4)Cx2(1－x)n－2＋…＋(1＋2n)Cxn ＝[C(1－x)n＋C1nx(1－x)n－1＋Cx2(1－x)n－2＋…＋Cxn]＋2[Cx(1－x)n－1＋2Cx2(1－x)n－2＋…＋Cxn]． 由二項式定理知， C(1－x)n＋Cx(1－x)n－1＋Cx2(1－x)n－2＋…＋Cxn＝[(1－x)＋x]n＝1. 因為kC＝k·＝n·＝nC， 所以Cx(1－x)n－1＋2Cx2(1－x)n－2＋…＋nCxn ＝nCx(1－x)n－1＋nCx2(1－x)n－2＋…＋nCxn ＝nx[C

11、(1－x)n－1＋Cx(1－x)n－2＋…＋Cxn－1] ＝nx[(1－x)＋x]n－1＝nx， 所以p(x)＝1＋2nx. 即p(x)是關于x的一次多項式． 題型二 二項展開式中的常數項 例2．【2016年高考四川理數】設i為虛數單位，則的展開式中含x4的項為 （A）－15x4 （B）15x4 （C）－20i x4 （D）20i x4 【答案】A 【解析】二項式展開的通項，令，得，則展開式中含的項為，故選A. 【變式探究】(2015·湖南，6)已知的展開式中含x的項的系數為30，則a＝(　　) A. B．－ C．6 D．－6 【

12、變式探究】使得(n∈N＋)的展開式中含有常數項的最小的n為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析　展開式的通項公式為Tk＋1＝C(3x)n－kk＝C3n－kxn－.由n－＝0得n＝，所以當k＝2時，n有最小值5，選B. 答案　B 【舉一反三】設函數f(x)＝則當x>0時，f[f(x)]表達式的展開式中常數項為(　　) A．－20 B．20 C．－15 D．15 解析　當x>0時，f[f(x)]＝＝的展開式中，常數項為C3(－)3＝－20.所以選A. 答案　A 題型三　二項式定理的綜合應用 例3．【2017山東，理11】已知的展開式中含有項的系數

13、是，則 . 【答案】4 【解析】由二項式定理的通項公式，令得：，解得． 【變式探究】【2016高考山東理數】若（ax2+）5的展開式中x5的系數是—80，則實數a=_______. 【答案】－2 【解析】因為，所以由，因此 【變式探究】(2015·陜西，4)二項式(x＋1)n(n∈N＋)的展開式中x2的系數為15，則n＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析　由題意易得：C＝15，C＝C＝15，即＝15，解得n＝6. 答案　C 【變式探究】(2014·湖北，2)若二項式的展開式中的系數是84，則實數a＝(　　) A．2 B.

14、 C．1 D. 解析　Tr＋1＝C·(2x)7－r·＝27－rCar·.令2r－7＝3，則r＝5.由22·Ca5＝84得a＝1，故選C. 答案　C 【舉一反三【(2014·浙江，5)在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項的系數f(m，n)，則f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(　　) A．45 B．60 C．120 D．210 解析　在(1＋x)6的展開式中，xm的系數為C，在(1＋y)4的展開式中，yn的系數為C，故f(m，n)＝C·C.從而f(3，0)＝C＝20，f(2，1)＝C·C＝60，f(1，2)＝C·C＝36，f(0，3)

15、＝C＝4，故選C. 答案　C 題型四　數學歸納法的應用 例4、等比數列{an}的前n項和為Sn，已知對任意的n∈N+，點(n，Sn)均在函數y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數)的圖象上． (1)求r的值； (2)當b＝2時，記bn＝2(log2an＋1)(n∈N+)，證明：對任意的n∈N+，不等式··…·＞成立． (2)證明：由(1)知an＝2n－1， 因此bn＝2n(n∈N+)， 所證不等式為··…·＞. ①當n＝1時，左式＝，右式＝， 左式＞右式，所以結論成立． ②假設n＝k(k≥1，k∈N+)時結論成立，即··…· ＞，則當n＝k＋1時， ··…

16、··＞·＝， 要證當n＝k＋1時結論成立， 只需證≥. 即證≥， 由基本不等式知＝≥成立， 故≥成立， 所以，當n＝k＋1時，結論成立． 由①②可知，n∈N+時，不等式··…·＞ 成立． 【感悟提升】 應用數學歸納法證明不等式應注意的問題 (1)當遇到與正整數n有關的不等式證明時，若用其他辦法不容易證，則可考慮應用數學歸納法． (2)用數學歸納法證明不等式的關鍵是由n＝k成立，推證n＝k＋1時也成立，證明時用上歸納假設后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法等證明． 【變式探究】記…的展開式中，x的系數為an，x2的系數為bn，其中n∈N*. (1

17、)求an； (2)是否存在常數p，q(p＜q)，使bn＝，對n∈N*，n≥2恒成立？證明你的結論． 【解析】(1)根據多項式乘法運算法則，得 an＝＋＋…＋＝1－. (2)計算得b2＝，b3＝. 代入bn＝，解得p＝－2，q＝－1. 下面用數學歸納法證明bn＝＝－＋×(n≥2且n∈N*) ①當n＝2時，b2＝，結論成立． ②設n＝k時成立，即bk＝－＋×， 則當n＝k＋1時， bk＋1＝bk＋＝－＋×＋－ ＝－＋×. 由①②可得結論成立． 【規(guī)律方法】運用數學歸納法證明命題P(n)，由P(k)成立推證P(k＋1)成立，一定要用到條件P(k)，否則不是數學歸納法證題．

18、 【變式探究】已知△ABC的三邊長都是有理數． (1)求證：cos A是有理數； (2)求證：對任意正整數n，cos nA是有理數． 【解析】(1)證明　設三邊長分別為a，b，c，cos A＝， ∵a，b，c是有理數， b2＋c2－a2是有理數，分母2bc為正有理數，又有理數集對于除法具有封閉性， ∴必為有理數，∴cos A是有理數． 解得：cos(k＋1)A＝2cos kAcos A－cos(k－1)A ∵cos A，cos kA，cos(k－1)A均是有理數， ∴2cos kAcos A－cos(k－1)A是有理數， ∴cos(k＋1)A是有理數． 即當n＝k＋1時，結論成立． 綜上所述，對于任意正整數n，cos nA是有理數. 9