2018年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第77講 軌跡方程的求法

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1、 第77講 軌跡方程的求法 【知識(shí)要點(diǎn)】 一、“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義 在直角坐標(biāo)系中，如果曲線上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解（純粹性）；（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上（完備性）.那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線. 二、求簡單的曲線方程的一般步驟：建設(shè)限代化 （1） 建立直角坐標(biāo)系：利用垂直性和對稱性建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系； （2） 設(shè)點(diǎn)：用有序?qū)崝?shù)對表示曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)（不要把其它的點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)成）； （3） 列出動(dòng)點(diǎn)滿足的限制條件：用坐標(biāo)表示條件,列出方程； （4）

2、代點(diǎn)坐標(biāo)到方程； （5） 化簡：化方程為最簡形式； （6） 檢驗(yàn)：檢驗(yàn)?zāi)承┨厥恻c(diǎn)是否滿足題意，把不滿足的點(diǎn)排除，把滿足的點(diǎn)補(bǔ)充上來.（可以省略） 三、求軌跡方程的四種主要方法 ：軌跡四法 待代直參 （1）待定系數(shù)法：通過對已知條件的分析，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)滿足某個(gè)曲線（圓、圓錐曲線）的定義，然后設(shè)出曲線的方程，求出其中的待定系數(shù)，從而得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程. （2）代入法：如果點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是由于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引起的，可以先用點(diǎn)的坐標(biāo)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入點(diǎn)滿足的方程，即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程. （3）直接法：直接把已知的方程和條件化簡即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程. （4）參數(shù)法：動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)主要是由于某個(gè)參數(shù)的

3、變化引起的，可以選參、設(shè)參，然后用這個(gè)參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即，再消參. 四、軌跡和軌跡方程 軌跡和軌跡方程是兩個(gè)不同的概念，軌跡表示的曲線的簡單特征的描述，而求軌跡方程只求那個(gè)方程即可，不需描述曲線的特征. 【方法講評】 方法一 直接法 使用情景 已知中或圖形中有動(dòng)點(diǎn)滿足的方程. 解題步驟 直接把動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知的方程化簡即可. 【例1】線段與互相垂直平分于點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程． 【解析】 【點(diǎn)評】（1）這種題目由于已知中沒有直角坐標(biāo)系，所以首先要根據(jù)垂直性和對稱性建立直角坐標(biāo)系，由于建立坐標(biāo)系的方法有多種，所以求出的

4、軌跡方程有多種，但是都是對的；（2）這道題是直接用坐標(biāo)化簡已知中的得到的軌跡方程，運(yùn)用的是直接法. 【例2】 已知圓： ，由動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，并且，求點(diǎn)的軌跡. 【點(diǎn)評】（1）這道題運(yùn)用的是直接法，但是它是把已知條件轉(zhuǎn)化得到的一個(gè)等式，不是現(xiàn)存的等式.（2）軌跡和軌跡方程是兩個(gè)不同的概念，軌跡包含軌跡方程和對軌跡方程表示的曲線的簡單特征的描述，而求軌跡方程只求那個(gè)方程即可，不需描述曲線的特征.所以本題要描述軌跡的基本特征. 【反饋檢測1】在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，動(dòng)點(diǎn)滿足:直線與直線的斜率之積為． （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程； （2）設(shè)為

5、動(dòng)點(diǎn)的軌跡的左右頂點(diǎn)，為直線上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不在x軸上），連[交的軌跡于點(diǎn)，連并延長交的軌跡于點(diǎn)，試問直線是否過定點(diǎn)？若成立，請求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不成立，請說明理由． 【反饋檢測2】一條雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)，是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn). （1）求直線與交點(diǎn)的軌跡的方程式； （2）若過點(diǎn)（）的兩條直線和與軌跡都只有一個(gè)交點(diǎn)，且 ,求的值. 方法二 待定系數(shù)法 使用情景 通過已知條件的分析可以得到動(dòng)點(diǎn)滿足某種曲線（圓、圓錐曲線）的定義. 解題步驟 （1）分析出動(dòng)點(diǎn)滿足的方程；（2）證明動(dòng)點(diǎn)滿足某曲線（圓、圓錐曲線）的定義；（3）

6、設(shè)出該曲線的待定系數(shù)方程；（4）求出待定系數(shù)，即得所求的軌跡方程. 【例3】 已知?jiǎng)訄AP與兩定圓和都外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程． 【點(diǎn)評】（1）此道題通過對已知的分析得到，即動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差是一個(gè)常數(shù)，與雙曲線的定義相符，所以其軌跡是雙曲線的一支，利用的是待定系數(shù)法；（2）利用待定系數(shù)法求軌跡方程時(shí)，一定要比較全面地分析條件和曲線的定義，看是曲線的全部，還是曲線的部分，此題也不是雙曲線的全部，是雙曲線的一支. 【例4】已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到點(diǎn)到直線的距離小4； （Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程； （Ⅱ）若曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l:對稱，求直線的方程. 【解析】（1）結(jié)合圖形知

7、，點(diǎn)不可能在軸的左側(cè)，即到點(diǎn)的距離等于到直線的距離的軌跡是拋物線，為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的軌跡方程是： （2）設(shè)則 相減得 又的斜率為－4則 中點(diǎn)的坐標(biāo)為， 即 經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)，與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，滿足題意． 【點(diǎn)評】（1）本題的第一問利用的就是待定系數(shù)法，通過對動(dòng)點(diǎn)的分析，發(fā)現(xiàn)它滿足拋物線的定義,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線.(2)第二小問利用了點(diǎn)差法，可以提高解題效率. 【反饋檢測3】已知垂直平分線與交于點(diǎn). （1）求點(diǎn)的軌跡方程； （2）已知點(diǎn)， 過點(diǎn)且斜率為（）的直線與點(diǎn)的軌跡相交于兩點(diǎn)，直線，分別交直線于點(diǎn),，線段的中點(diǎn)為，記直線的斜率為.求證:為定值.

8、 方法三 代入法 使用情景 某被動(dòng)點(diǎn)之所以在運(yùn)動(dòng)，是因?yàn)橹鲃?dòng)點(diǎn)在某曲線上運(yùn)動(dòng)引起的. 解題步驟 （1）先利用被動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示主動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）把動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入它滿足的方程化簡. 【例5】已知拋物線和點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且，當(dāng)點(diǎn)在該拋物線上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程． 【點(diǎn)評】點(diǎn)之所以在動(dòng)，就是因?yàn)辄c(diǎn)在動(dòng)，所以點(diǎn)是被動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是主動(dòng)點(diǎn)，這種情景，應(yīng)該利用代入法求軌跡方程. 【反饋檢測4】 已知的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，求的重心的軌跡方程． 方法四 消參法 使用情景 如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)主要是由于某個(gè)參數(shù)的變化引起的.

9、 解題步驟 （1）選參設(shè)參；（2）用這個(gè)參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即；（3）消去參數(shù)，化簡. 【例6】已知曲線 （1）證明:當(dāng)時(shí)，曲線是一個(gè)圓； （2）求證圓心在一條定直線上. 【點(diǎn)評】（1）此題求圓心在一定直線上，就是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條直線；（2）圓心的運(yùn)動(dòng)主要是因?yàn)閰?shù)引起的，所以選用消參法解答. 【反饋檢測5】 已知線段，直線垂直平分于，在上取兩點(diǎn)，使有向線段滿足，求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程． 高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第77講: 軌跡方程的求法參考答案 【反饋檢測1答案】（1）；（2）直線恒過定點(diǎn)．

10、 【反饋檢測2答案】（1）；（2）. 【反饋檢測2詳細(xì)解析】由雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為得. 所以 兩式相乘得 而點(diǎn)在雙曲線上，所以即 故，即. （2）設(shè)，則由知，. 將代入得 ，即， 由與E只有一個(gè)交點(diǎn)知，，即. 同理，由與E只有一個(gè)交點(diǎn)知，，消去得，即，從而，即. 【反饋檢測3答案】（1）;（2）. （2）設(shè)過點(diǎn)（1,0），且斜率為（）的直線方程為，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn), 將直線方程代入橢圓： ， 整理得：， 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以直線和橢圓都相交，恒成立， 且. 直線的方程為，直線的方程為， 令，得點(diǎn)，點(diǎn)， 所以點(diǎn)的坐 直線的斜率為 . 將代入上式得， . 所以為定值. 【反饋檢測4答案】 【反饋檢測5答案】 【反饋檢測5詳細(xì)解析】如圖2，以線段所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系． 設(shè)點(diǎn)，則由題意，得． 由點(diǎn)斜式得直線的方程分別為． 兩式相乘，消去，得． 這就是所求點(diǎn)的軌跡方程． 10