高考數學 一輪復習學案訓練課件北師大版理科： 第4章 平面向量、數系的擴充與復數的引入 第4節(jié) 數系的擴充與復數的引入學案 理 北師大版

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1、 第四節(jié)　數系的擴充與復數的引入 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.理解復數的概念，理解復數相等的充要條件.2.了解復數的代數表示法及其幾何意義.3.能進行復數代數形式的四則運算，了解兩個具體復數相加、減的幾何意義． (對應學生用書第77頁) [基礎知識填充] 1．復數的有關概念 (1)復數的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫復數，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數，若b≠0，則a＋bi為虛數，若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數． (2)復數相等：a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共軛復數：a＋bi與c＋d

2、i共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)復數的模：向量的模r叫作復數z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝. 2．復數的幾何意義 復數z＝a＋bi復平面內的點Z(a，b) 平面向量＝(a，b)． 3．復數的運算 (1)復數的加、減、乘、除運算法則 設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋

3、i(c＋di≠0)． (2)復數加法的運算定律 復數的加法滿足交換律、結合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0沒有解．(　　) (2)復數z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.(　　) (3)復數中有相等復數的概念，因此復數可以比較大小．(　　) (4)在復平面內，原點是實軸與虛軸的交點．(　　) (5)復數的模實質上就是復平面內復數對應的點到原點的距離，也就是復數對應的向量的模．(　　)

4、 [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2. (教材改編)如圖4-4-1，在復平面內，點A表示復數z，則圖中表示z的共軛復數的點是(　　) 圖4-4-1 A．A　　　　　　 B．B C．C D．D B　[共軛復數對應的點關于實軸對稱．] 3．(20xx·全國卷Ⅲ)復平面內表示復數z＝i(－2＋i)的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　[∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴復數z＝－1－2i所對應的復平面內的點為Z(－1，－2)，位于第三象限． 故選C．] 4．(20xx·全國卷Ⅱ)＝(　　) A．1

5、＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i D　[＝＝＝2－i. 故選D．] 5．設i是虛數單位，若復數(2＋ai)i的實部與虛部互為相反數，則實數a的值為________． 2　[因為(2＋ai)i＝－a＋2i，又其實部與虛部互為相反數，所以－a＋2＝0，即a＝2.] (對應學生用書第77頁) 復數的有關概念 　(1)(20xx·合肥一檢)設i為虛數單位，復數z＝的虛部是(　　) A．　　　　　　 B．－ C．1 D．－1 (2)(20xx·全國卷Ⅰ)設有下面四個命題： p1：若復數z滿足∈R，則z∈R； p2：若復數z滿足z2∈R，則z∈R；

6、p3：若復數z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝2； p4：若復數z∈R，則∈R. 其中的真命題為(　　) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 (1)B　(2)B　[(1)復數z＝＝＝－i，則z的虛部為－，故選B． (2)設z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)． 對于p1，若∈R，即＝∈R，則b＝0?z＝a＋bi＝a∈R，所以p1為真命題． 對于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，則ab＝0. 當a＝0，b≠0時，z＝a＋bi＝bi?R，所以p2為假命題．

7、 對于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，則a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2.因為a1b2＋a2b1＝0a1＝a2，b1＝－b2，所以p3為假命題． 對于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，則b＝0?＝a－bi＝a∈R，所以p4為真命題．故選B．] [規(guī)律方法]　與復數概念相關問題的求解方法 (1)復數的概念問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可. (2)解決復數模的問題可以根據

8、模的性質把積、商的模轉化為模的積、商. 易錯警示：解題時一定要先看復數是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部. [跟蹤訓練]　(1)(20xx·全國卷Ⅲ)若z＝1＋2i，則＝(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i (2)(20xx·長沙模擬(二))已知a是實數，是純虛數，則a＝(　　) A． B．－ C．1 D．－1 (1)C　(2)A　[(1)因為z＝1＋2i，則＝1－2i，所以z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，則＝＝i.故選C． (2)復數＝＝－i是純虛數，則＝0且－≠0，解得a＝，故選A．] 復數的幾何意義 　(1)(20xx·石家莊

9、質檢(二))在復平面中，復數對應的點在(　　) 【導學號：79140161】 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)(20xx·全國卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在復平面內對應的點在第四象限，則實數m的取值范圍是(　　) A．(－3,1) B．(－1,3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3) (1)D　(2)A　[(1)復數＝＝＝－i，其在復平面內對應的點為，位于第四象限，故選D． (2)由題意知即－3＜m＜1.故實數m的取值范圍為(－3,1)．] [規(guī)律方法]　對復數幾何意義的理解及應用,(1)復數z、復平面上的點Z及向量相互聯系，即z＝

10、a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?.,(2)由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀. [跟蹤訓練]　(1)若復數z＝(a－1)＋3i(a∈R)在復平面內對應的點在直線y＝x＋2上，則a的值等于(　　) A．1　　 B．2　　　　C．5　　　　D．6 (2)設復數z1，z2在復平面內的對應點關于虛軸對稱，z1＝2＋i，則z1z2＝(　　) A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i (1)B　(2)A　[(1)復數z＝(a－1)＋3i在復平面內對應的點(a－1,3)在直線y＝x＋

11、2上，3＝a－1＋2，a＝2，故選B． (2)∵z1＝2＋i在復平面內的對應點的坐標為(2,1)，又z1與z2在復平面內的對應點關于虛軸對稱，則z2的對應點的坐標為(－2,1)即z2＝－2＋i， ∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.] 復數的代數運算 　(1)(20xx·廣州綜合測試(二))若復數z滿足(3＋4i－z)i＝2＋i，則z＝(　　) A．4＋6i B．4＋2i C．－4－2i D．2＋6i (2)(20xx·石家莊一模)若z是復數，z＝，則z·＝(　　) A． B． C．1 D． (1)D　(2)D　[(1)由題意得3＋4i－z＝＝＝

12、1－2i，所以z＝2＋6i，故選D． (2)因為z＝＝＝－－i，所以＝－＋i，所以z·＝＝，故選D．] [規(guī)律方法]　復數代數運算問題的求解方法 (1)復數的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算，除法關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數，注意要把i的冪寫成最簡形式. (2)記住以下結論，可提高運算速度 ①(1±i)2＝±2i；②＝i；③＝－i；④－b＋ai＝i(a＋bi)；⑤i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1； i4n＋3＝－i(n∈N). [跟蹤訓練]　(1)已知i是虛數單位，＋＝________. 【導學號：79140162】 (2)已知a，b∈R，i是虛數單位，若(1＋i)(1－bi)＝a，則的值為________． (1)1＋i　(2)2　[(1)原式＝＋ ＝i8＋＝i8＋i1 009 ＝1＋i4×252＋1＝1＋i. (2)∵(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R， ∴1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，∴＝2.]