《三元一次方程組的解法》教案(優(yōu)質(zhì))

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1、 * 8.4 三元一次方程組的解法 1．理解三元一次方程 (組 )的概念； 2．能解簡單的三元一次方程組． 一、情境導(dǎo)入 《九章算術(shù)》分為 9 章，并因此而得名．其中第 8 章為“方程”，里面有這樣一道題目 ( 用現(xiàn)代漢語表述 )： 3 束上等的稻， 2 束中等的稻， 1 束下等的稻，共出谷 39 斗； 2 束上等 的稻， 3 束中等的稻， 1 束下等的稻，共出谷 34 斗； 1 束上等的稻， 2 束中等的稻， 3 束下 等的稻，共

2、出谷 26 斗． 問：上、中、下三種稻，每束的出谷量各是多少斗？ 二、合作探究 探究點一：三元一次方程組的概念 下列方程組中，是三元一次方程組的是 ( ) 1＋ 1＝ 1， x2－ y＝ 1， x A. y＋ z＝ 0， B. 1＋ z＝ 2， xz＝ 2 y 1＋ x＝ 6

3、 z a＋ b＋c＋ d＝ 1， m＋ n＝18， C. a－ c＝ 2， D. n＋t ＝ 12， b－ d＝3 t＋ m＝ 0 解析： A 選項中，方程 x2－ y＝ 1 與 xz＝ 2 中含未知數(shù)的項的次數(shù)為 2，不符合三元一次 1 1 1 方程組的定義，故 A 選項不是； B 選項中 x， y， z不是整式，故 B 選項不是； C 選項中方程 組含有四個未知數(shù)，故 C 選項不是； D 選項符合三元一次方程組的

4、定義．故答案為 D. 方法總結(jié)： 滿足三元一次方程組的條件： (1) 方程組中一共含有三個未知數(shù)； (2)每個方 程中含未知數(shù)的次數(shù)都是 1； (3) 方程組中共有三個整式方程． 探究點二：三元一次方程組的解法 解下列三元一次方程組： z＝ y＋ x，① (1) 2x－ 3y＋2z＝ 5，② x＋ 2y＋z＝13；③ 第 1頁共4頁 2x＋ 3y＋z＝11，① (2) x＋ y＋ z＝ 0，② 3x－

5、y－z＝－ 2.③ 解析： (1)觀察各個方程的特點，可以考慮用代入法求解，將 ① 分別代入 ② 和③ 中，消 去 z 可得到關(guān)于 x、y 的二元一次方程組； (2)觀察各個方程的特點， 可以考慮用加減法求解， 用 ① 減去 ②可消去 z，用 ① 加上 ③ 也可消去 z，進而得到關(guān)于 x、y 的二元一次方程組． 解： (1)將①代入②、③，消去 z，得 4x－ y＝ 5， x＝ 2， 解得 y＝ 3. 把 x＝2， y＝ 3 代入①， 2x＋ 3y＝ 13. x＝2， 得 z＝ 5.所以原方程組的解為y＝3，

6、z＝5； (2)①－②，得 x＋ 2y＝11.④ ①＋③，得 5x＋2y＝ 9.⑤ ④與⑤組成方程組 x＋2y＝ 11， 5x＋ 2y＝ 9. 1， x＝－ 2 解得 23 y＝ 4 . 1 23 21 把 x＝－ 2， y＝ 4 代入②，得 z＝－ 4 . 1， x＝－ 2 所以原方程組的解是 23， y＝ 4 21

7、 z＝－ 4 . 方法總結(jié)：解三元一次方程組的難點在于根據(jù)方程組中方程的系數(shù)特點選擇較簡便的方 法． (1) 一般地，若某一方程的系數(shù)比較簡單，可選用代入法； (2) 若方程組三個方程中某個 未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或成倍數(shù)時， 可選用加減消元法， 但要注意必須消去同一個未知數(shù)，否則所得的兩個新方程雖然都含兩個未知數(shù)，但由它們組成的方程組仍含三個未知數(shù)，并未達到消元的目的． 探究點三：三元一次方程組的應(yīng)用 【類型一】 三元一次方程組在非負數(shù)中的應(yīng)用 若 |a－ b－1|＋ (b－ 2a＋ c)2＋ |2c－ b|＝ 0，求 a， b， c

8、 的值． 解析： 本題考查非負數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，要使等式成立必須使每個非負數(shù)都為 0. 解： 因為三個非負數(shù)的和等于 0，所以每個非負數(shù)都為 0. 第 2頁共4頁 a－ b－ 1＝ 0， a＝－ 3， 可得方程組 b－ 2a＋ c＝0，解得 b＝－ 4， 2c－ b＝ 0. c＝－ 2. 方法總結(jié)： 非負數(shù)之和為 0，隱含著每個非負數(shù)都為 0，從而可列方程組求解． 【類型二】 利用三元一次方程組求數(shù)字問題 3 一個三位數(shù)， 十位上的數(shù)字是個位上的數(shù)字的 4，百位上的數(shù)字與十位

9、上的數(shù)字之 和比個位上的數(shù)字大 1.將百位與個位上的數(shù)字對調(diào)后得到的新三位數(shù)比原三位數(shù)大 495，求 原三位數(shù)． 解析：設(shè)原三位數(shù)百位、 十位、個位上的數(shù)字分別為 x，y，z，則原三位數(shù)可表示為 100x ＋ 10y＋ z. 解 ： 設(shè) 原 三 位 數(shù) 百 位 、 十 位 、 個 位 上 的 數(shù) 字 分 別 為 x 、 y 、 z. 由 題 意 ， 得 3 y＝4z， x＋ y＝ z＋ 1， 100z＋ 10y＋ x＝ 100x＋ 10y＋z＋495， x＝ 3， 解得 y＝ 6， z＝ 8.

10、 答：原三位數(shù)是 368. 方法總結(jié)： 解數(shù)字問題的關(guān)鍵是正確地用代數(shù)式表示數(shù)． 如果一個兩位數(shù)的十位上的數(shù) 字為 a，個位上的數(shù)字為 b，那么這個兩位數(shù)可表示為 10a＋b.如果一個三位數(shù)的百位上的數(shù) 字為 a，十位上的數(shù)字為 b，個位上的數(shù)字為 c，那么這個三位數(shù)可表示為 100a＋ 10b＋c， 依此類推． 【類型三】 列三元一次方程組解決實際問題 某汽車在相距 70km 的甲、乙兩地往返行駛，因途中有一坡度均勻的小山．該汽 車從甲地到乙地需要 2.5h，而從乙地到甲

11、地需要 2.3h.假設(shè)汽車在平路、上坡路、下坡路的 時速分別是 30km、20km 、 40km，則從甲地到乙地的過程中，上坡路、平路、下坡路的長 度各是多少？ 解析： 題中有三個等量關(guān)系： ①上坡路長度＋平路長度＋下坡路長度＝ 70km； ② 從甲 地到乙地的過程中，上坡時間＋平路時間＋下坡時間＝ 2.5h；③ 從乙地到甲地的過程中，上 坡時間＋平路時間＋下坡時間＝ 2.3h. 解：設(shè)從甲地到乙地的過程中，上坡路、平路、下坡路的長度分別是 xkm ，ykm 和 zkm. x＋ y＋ z＝ 70，

12、 x ＋ y ＋ z ＝ 2.5， x＝ 12， 由題意，得 20 30 40 解得 y＝ 54， z ＋ y ＋ x ＝2.3. z＝ 4. 20 30 40 答：從甲地到乙地的過程中，上坡路是 12km ，平路是 54km ，下坡路是 4km. 方法總結(jié)： 解此題的關(guān)鍵是理解汽車在往返行駛的過程中， 如果從甲地到乙地是上坡路 段，那么從乙地到甲地時就變成了下坡路段． 第 3頁共4頁

13、 三、板書設(shè)計 三元一次方程組的概念 三元一次方程組 三元一次方程組的解法 三元一次方程組的應(yīng)用 通過對二元一次方程組的類比學(xué)習(xí)， 讓學(xué)生感受把新知轉(zhuǎn)化為已知， 把不會的問題轉(zhuǎn)化 為學(xué)過的問題， 把難度大的問題轉(zhuǎn)化為難度較小的問題這一化歸思想． 感受數(shù)學(xué)知識之間的密切聯(lián)系， 增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識， 初步培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決問題的良好思維習(xí)慣 第 4頁共4頁