高中數(shù)學(xué) 2 雙曲線的參數(shù)方程課件 新人教版選修44

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1、二、圓錐曲線的參數(shù)方程二、圓錐曲線的參數(shù)方程2 2、雙曲線的參數(shù)方程、雙曲線的參數(shù)方程baoxy)MBABAOBBy在中，( , )M x y設(shè)| | tanBBOBtan .bOAAx在中，|cosOAOAcosasec ,asec()tanxaMyb所以的軌跡方程是為參數(shù)所以的軌跡方程是為參數(shù)2a22222 2xyxy消去參數(shù)后，得-=1,消去參數(shù)后，得-=1,b b這是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線。這是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線。雙曲線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程 雙曲線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程 baoxy)MBABAsec()tanxayb為參數(shù)2a222xy-=1(a0,b

2、0)的參數(shù)方程為：b3 ,2 )22o通 常 規(guī) 定且，。 雙曲線的參數(shù)方程可以由方程雙曲線的參數(shù)方程可以由方程 與三角恒等式與三角恒等式22221xyab22sec1tan 相比較而得到，所以雙曲線的參數(shù)方程相比較而得到，所以雙曲線的參數(shù)方程 的實(shí)質(zhì)是三角代換的實(shí)質(zhì)是三角代換.說明：說明： 這里參數(shù)這里參數(shù) 叫做雙曲線的離心角與直線叫做雙曲線的離心角與直線OM的傾斜角不同的傾斜角不同.例例2、2222100 xyMabOabMABMAOB(,) 如如圖圖，設(shè)設(shè)為為雙雙曲曲線線任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)，為為原原點(diǎn)點(diǎn)，過過點(diǎn)點(diǎn)作作雙雙曲曲線線兩兩漸漸近近線線的的平平行行線線，分分別別與與兩兩漸漸近近線線

3、交交于于 ， 兩兩點(diǎn)點(diǎn)。探探求求平平行行四四邊邊形形的的面面積積，由由此此可可以以發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)什什么么結(jié)結(jié)論論？OBMAxy.byxa 雙曲線的漸近線方程為：解：解：tan(sec ).MbybxaaA 不妨設(shè)M為雙曲線右支上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為,則直線的方程為（asec ,btan ）： b將y=x代入，解得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為aAax = （sectan ）2.Bax = （se同理可得，點(diǎn)B的橫坐cta2標(biāo)n為）.ba設(shè) AOx= ,則tan.MAOB所以的面積為MAOBS=|OA|OB|sin2 =ABxxsin2coscos2222a (sec-tan)=sin24costan.2baba22aa=

4、22MAOB由此可見，平行四邊形的面積恒為定值，與點(diǎn)M在雙曲線上的位置無關(guān)。復(fù)習(xí)：已學(xué)圓錐曲線的參數(shù)方程復(fù)習(xí)：已學(xué)圓錐曲線的參數(shù)方程1、橢圓的參數(shù)方程2、雙曲線的參數(shù)方程2222cos1(0,2 )sinxaxyybab 橢圓為參數(shù),)222230,2 )sec1(,2t2anxaxyybab 雙曲線為參數(shù)且)注意:探究探究P21 如圖，一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面如圖，一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面500m高處以高處以100m/s的速度的速度作水平直線飛行。為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面作水平直線飛行。為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面（不記空氣阻力），飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)呢？（不記空

5、氣阻力），飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)呢？xy500o物資投出機(jī)艙后，它的運(yùn)動(dòng)由下列兩種運(yùn)動(dòng)合成：物資投出機(jī)艙后，它的運(yùn)動(dòng)由下列兩種運(yùn)動(dòng)合成：（1）沿）沿ox作初速為作初速為100m/x的勻速直線運(yùn)動(dòng)；的勻速直線運(yùn)動(dòng)；（2）沿）沿oy反方向作自由落體運(yùn)動(dòng)。反方向作自由落體運(yùn)動(dòng)。txy解：物資出艙后，設(shè)在時(shí)刻 ，水平位移為 ， 垂直高度為 ，所以2100 ,)1500.2xtygt2（g=9.8m/s思考：思考： 對(duì)于一般的拋物線，怎樣對(duì)于一般的拋物線，怎樣建立相應(yīng)的參數(shù)方程呢？建立相應(yīng)的參數(shù)方程呢？oyx)HM(x，y)M設(shè) （x,y）為拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，以射線OM為終邊的角記作 。ta

6、n .M因?yàn)辄c(diǎn) （x,y）在 的終邊上，y根據(jù)三角函數(shù)定義可得x.2又y =2px,().y22px=tan解出x,y得到拋物線（不包括頂點(diǎn)）的參數(shù)方程：為參數(shù)2ptan1如果設(shè)t=,t (- ,0) (0,+ ),則有tan,().ty2x=2pt為參數(shù)2pt0t 當(dāng)時(shí)，參數(shù)方程表示的點(diǎn)正好就是拋物線的頂點(diǎn)（0，0）。,().ttRy2x=2pt所以，為參數(shù)，表示整條拋物線。2pt思考：思考：參數(shù)參數(shù)t的幾何意義是什么？的幾何意義是什么？。表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離其中設(shè)拋物線的普通方程為ppxy,22拋物線的參數(shù)方程拋物線的參數(shù)方程oyx)HM(x，y)2拋物線y =2px(p0)的參數(shù)方程為:

7、1其中參數(shù)t=，幾何意義為：tan,().ttRy2x=2pt為參數(shù)，2pt拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)。思考：思考：P33 怎樣根據(jù)拋物線的定義選取參數(shù)，建立拋物線怎樣根據(jù)拋物線的定義選取參數(shù)，建立拋物線x2=2py(p0)的的參數(shù)方程？參數(shù)方程？.x即P(x,y)為拋物線上任意一點(diǎn),則有t=y20p 推導(dǎo)拋物線x =2py的參數(shù)方程：,M x y設(shè)是拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)， Mox=2tanyx則x =2py22tan2tanxpyp得tant令222xpttypt則為參數(shù)oyxHM(x，y)t的幾何意義為：拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率。.y即P(x,

8、y)為拋物線上任意一點(diǎn),則有t=x21.y =2px(p0)的參數(shù)方程為,().ttRy2x=2pt為參數(shù)，2pt2y =-2px(p0)的參數(shù)方程為:,().ttRy2x=-2pt為參數(shù)，2pt20p 2.x =2py的參數(shù)方程：222xpttypt為參數(shù),tR20px =-2py的參數(shù)方程：222xpttypt 為參數(shù),tR結(jié)論推廣結(jié)論推廣21.(3,)4(),()4 .2.3 .4.5PmFxttPFytABCD 例 若點(diǎn)在以點(diǎn) 為焦點(diǎn)的拋物線為參數(shù) 上 則等于 C22()2 .0.1 .2.3xttytABCD 關(guān)于曲線為參數(shù) 下列說法正確的個(gè)數(shù)是 ( )1.是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線;2

9、.開口向上的拋物線;3.是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為2的拋物線. 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)A2OABy例2：如圖，是直角坐標(biāo)原點(diǎn)， ， 是拋物線=2px(p0)上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，且OAOB，OMAB并與AB相交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程。,0 .2112221212解：根據(jù)條件，設(shè)M（x,y）,A(2pt ,2pt ),B(2pt ,2pt )(tt 且t t）OBMAxyOMOAOBAB 211222222121則=（x,y）， =(2pt ,2pt ),=(2pt ,2pt )， =(2p(t -t ),2p(t -t ).,OAOB ,OMAB (0)yxx12即t +t。AMMBA M B 221122

10、因?yàn)?（x-2pt ,y-2pt）， =（2pt -x,2pt -y）,且 ， ， 三點(diǎn)共線，221212（x-2pt )(2pt -y）=(y-2pt )(2pt -x)，121 2化簡(jiǎn)，得y(t +t )-2pt t -x=0.yy(-)+2p-x=0,x220(0)ypxxM2即x，這就是點(diǎn)的軌跡方程。1 221 21 21 2即(2pt t ) +（2p） t t =0, t t。0,OA OB ()0 xy22 2212112即2px(t -t ) +2py(t -t )=0,t +t。0,OM AB 3,?A BAOB探究：在例 中，點(diǎn)在什么位置時(shí)，的面積最??？最小值是多少2221

11、1(2)(2)OAptpt22222(2)(2)OBptpt2221222ptt2221 2122(1) (1)AOBSp t ttt22122()4ptt24p122,4.ttA BxAOBp 當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)點(diǎn)關(guān)于 軸對(duì)稱時(shí)，的面積最小，最小值為OBMAxy,30 .AB2211221212解：， 的坐標(biāo)分別為(2pt ,2pt ),(2pt ,2pt )(tt 且t t例 可得）由21121p tt22221p tt1 1 2t t2121212121212122()2, , 11 xpttyptMMt tM MAttBttCDtttt2、若曲線為參數(shù) 上異于原點(diǎn)的不同兩點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是則弦所在直線的斜率是、( )C12121222111222,(2,2),(2,2)M MttMMMptptMptpt解：由于兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程分別是 和 ，則可得點(diǎn)和的坐標(biāo)分別為112222121222122M Mptptkptpttt21.y =2px(p0)的參數(shù)方程為,().ttRy2x=2pt為參數(shù)，2pt2y =-2px(p0)的參數(shù)方程為:,().ttRy2x=-2pt為參數(shù)，2pt20p 2.x =2py的參數(shù)方程：222xpttypt為參數(shù),tR20px =-2py的參數(shù)方程：222xpttypt 為參數(shù),tR小結(jié)小結(jié)