蘇教版四年級數(shù)學下冊第七單元《三角形、平行四邊形和梯形》知識總結(jié)及點睛導(dǎo)學

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1、 七 三角形、平行四邊形和梯形 一、三角形 1. 認識三角形 : (1)生活中的三角形 :生活中的三角形無處不在 ,如大橋的 橋柱、斜拉索與橋面可以組成三角形。生活中一些物體的包 裝盒的面 ,一些積木的面等都是三角形。 (2)畫三角形 :(步驟 ) ① 先畫一條線段。 ② 再以第一條線段的一個端點為端點畫第二條線段。 ③ 最后連接另兩個端點 ,圍成封閉圖形。 (3)三角形的特點 : ① 三角形有 3 條邊、 3 個角和 3

2、個頂點。 ② 三角形的 3 條邊都是線段。 ③ 三角形的三條線段要首尾相接地圍起來。 (4)三角形的定義 :三條線段首尾相接圍成的圖形叫作三 角形。 (5)三角形各部分的名稱 :  要點提示 :三角形具有穩(wěn)定 性。 三角形是由三條線段首 尾相接圍成的圖形。 易錯點 :過同一條直線上 的 3 個點不能畫出三角形 ;圍 成三角形的 3 個頂點不能在同一條直線上。

3、 要點提示 :如果有三條線 段 ,而沒有說是首尾相接圍成的圖形 ,就不是三角形。 ① 圍成三角形的三條線段就是三角形的邊 ,每兩條邊所 組成的角就是三角形的角 ,每個角的頂點就是三角形的頂點。 ② 三角形有 3 個頂點、 3 條邊和 3 個角。 (6)認識三角形的底和高 : ① 從三角形的一個頂點到對邊的垂直線段是三角形的 高,這條對邊是三角形的底。

4、 (7)三角形高的畫法 :通常用三角尺畫三角形的高。 ① 把三角尺的一條直角邊與指定的底邊重合。 ② 沿底邊平移三角尺 ,直到另一條直角邊與該底邊相對 的頂點重合。 ③ 再從該頂點沿三角尺的另一條直角邊向底邊畫一條 虛線段 ,這條虛線段就是三角形的高。 ④ 最后標上直角符號。 (8)解決問題 : ① 運用類推法解決數(shù)三角形的問題 : 從三角形的一個頂點向?qū)呉舾蓷l線段 ,將三角形分 成了若干個小三角形 ,所分成的三角形的個數(shù)與對邊上的線

5、 段 的 條 數(shù) 相 等 。 如 果 對 邊 被 分 成 n 段 , 則 三 角 形 有 【 n+(n- 1)+(n- 2)+ +1】個。 ② 運用分析法解決求用時最短的路線問題:  三角形的底和高一一對 應(yīng)。 三角形都有高 ,由于三角 形的種類不同 ,三角形高的位 置也就不同。

6、 易錯點 :從三角形的一個 頂點到對邊的線段中 ,只有垂 直線段才是高。 要想使每次走的路線最短 ,就應(yīng)從每個頂點向與對面路 垂直的方向走 ,即點到對邊的垂直線段最短。 2. 三角形的三邊關(guān)系 : 技巧 :要求最短路線就是 (1)在拼成的三角形中 ,任意兩根小棒的長度一定大于第 求三角形的高 ,畫出三條高后 , 三根小棒的長度。 分別量出長度 ,便可比較出哪 判斷給定的三條線段能否圍成三角形 ,只要計算出其中 條路線最短。 兩條較短的線段的長度

7、和 ,若它們的和大于第三條線段的長 度,就一定能圍成三角形。 (2)解決問題 : ① 運用推理法解決圍三角形的問題 : 根據(jù)三角形三邊的關(guān)系“任意兩邊長度的和大于第三 邊”找出最長邊的極限長度 ,其他兩條邊的長度就可以確定 了。  舉例 : ② 運用枚舉法解決圍三角形問題  :  判斷 :任意三根小棒都可 有序思考  ,先不重復(fù)、不遺漏地列舉出所有可能  ,再去掉  以圍成三角形。  (

8、  ) 不能圍成三角形的組合是解決此題的關(guān)鍵。  錯解 : 3. 三角形的內(nèi)角和  :  正解 :? (1)三角形的內(nèi)角和  :(教材  78 頁例  4)  此題錯在忽略了三角形 ① 計算三角尺的內(nèi)角和  :  3 條邊的長度關(guān)系  ,誤認為任 意長度都可以圍成三角形。 90°+30°+60°=180° 90°+45°+45°=

9、180° ② 探究任意三角形的內(nèi)角和 : 將三角形的 3 個角向內(nèi) a. 剪出不同的三角形 ,用量角器量出每個三角形的 3 個 內(nèi)角的度數(shù) ,再把各內(nèi)角的度數(shù)相加。 折 ,拼成一個平角的過程體現(xiàn) 從計算結(jié)果中發(fā)現(xiàn) : 任意一個三角形的內(nèi)角和都等于 了轉(zhuǎn)化思想。 轉(zhuǎn)化思想是指在 180° 。 遇到復(fù)雜的、陌生的新問題 b. 將每個三角形的 3 個角都撕下來 ,拼在一起。 時 ,可以根據(jù)題目中存在的相 c. 將每個三角形的 3 個角都向內(nèi)折 ,拼在一起。 等關(guān) 系 ,把新問

10、題通過換角 觀察發(fā)現(xiàn) :三角形的 3 個角拼在一起形成了一個平角 ,平 度、換方式、 換敘述等辦法進 角是 180 °,即 3 個內(nèi)角的度數(shù)之和是 180 °。 行變化 ,使陌生問題熟悉化、 ③ 求三角形中未知角的度數(shù)的方法 :(教材 79 頁“練一 多元問題一元化、 復(fù)雜問題簡 練” ) 單化、抽象問題具體化、 一般 a. 明確解題思路 :已知三角形中兩個內(nèi)角 ∠ 1 和 ∠ 2 的度 數(shù),求 ∠ 3 的度數(shù)。因為在一個三角形中 ,三個內(nèi)角的度數(shù)和是 180° ,所以只要用 180° 減去已知的兩個內(nèi)

11、角的度數(shù)和 ,或連 續(xù)減去已知的兩個內(nèi)角的度數(shù)即可。 b. 歸納總結(jié) :在一個三角形中 ,已知兩個角的度數(shù) ,求第三 個角的度數(shù) ,用內(nèi)角和 180 °連續(xù)減去已知的兩個內(nèi)角的度數(shù) 或減去已知的兩個內(nèi)角的度數(shù)即可。 ④ 鈍角三角形中兩個銳角的度數(shù)和小于 90° ,直角三角形中兩個銳角的度數(shù)和等于 90 °。 (2)解決問題 : ① 運用找中間量法解決求三角形中未知角的度數(shù)問題 : 給出 ∠1 和∠4 的度數(shù) ,求∠2。 巧妙地運用平角及三角形內(nèi)角和的知識是解答此題的關(guān)鍵。 ②

12、 運用推理法解決求角的度數(shù)的問題 :  問題特殊化 ,最終使問題獲得 解決的思維策略。 舉例 : 判斷 :三角形中兩個銳角的度數(shù)和 一定大 于 90 °。 ( ) 錯解 : 正解 :? 這個結(jié)論只適用于銳角三角形 ,在直角三角形和鈍角三角形中不成立。 舉例 : 填空 :把一個大三角形平均分成兩個小三角形 ,每個小 三角形的內(nèi)角和是 ( )。 錯解 :90 ° 正解 :180 ° 任意一個三角形的內(nèi)角和都等于 180 °。 易錯點 :無論什么三角形 , 內(nèi)角和都等于 180 °。

13、 舉例 : 給出 ∠1+∠ 2=∠ 3=57 °,∠ 4=14 °,∠ 5=145 °,求 ∠ 2 的度 數(shù)。 知道三角形的內(nèi)角和等于 180 °是解答此題的關(guān)鍵。 4. 三角形的分類。 (1)回顧角的分類 :等于 90 °的角是直角 ;大于 0 °小于 90° 的角是銳角 ;大于 90° 而小于 180° 的角是鈍角 ; 等于 180° 的角是平角 ;等于 360° 的角是周角。 (2)三角形按角分類 :銳角三角形、 直角三角形、 鈍角三角 形。 (3)各類三角形

14、之間的聯(lián)系 : 各類三角形之間的聯(lián)系可以用下圖表示 ,把所有的三角形看作一個整體 ,銳角三角形、 直角三角形和鈍角三角形都是這個整體的一部分。 3 個角都是銳角的三角形是銳角三角形 ;有 1 個角是直角 的三角形是直角三角形 ;有 1 個角是鈍角的三角形是鈍角三角形。 (4)運用有序分割法解決把多邊形分成三角形的問題 : 把一個五邊形分成 3 個三角形 ,要以一個頂點為起點 ,向和它不相鄰的頂點連線。 5. 等腰三角形和等邊三角形 : (1)等腰三角形及其特征 : ① 定義 :兩條邊相等

15、的三角形是等腰三角形。 ② 等腰三角形各部分的名稱 :在等腰三角形中 ,相等的兩邊叫作腰 ,另一條邊叫作底 ,兩腰的夾角叫作頂角 ,底邊與兩腰的兩個夾角叫作底角。 ③ 特征 :等腰三角形的兩個底角相等 ,等腰三角形是軸對稱圖形 ,底邊上的高在它的對稱軸上。 (2)等邊三角形及其特征 : ① 定義 :3 條邊都相等的三角形是等邊三角形 ,也叫作正 三角形。  判斷 :有 2 個角是銳角的三角形是銳角三角形。 ( ) 錯解 : 正解 :? 3 個角都是銳角的三角形是銳角三角形。 三角形按角分

16、類時 ,每一類三角形中都至少有 2 個銳角。 要點提示 :一個三角形中至少有 2 個角是銳角 ,最多有 1 個直角或鈍角。 知識巧記 兩等邊為腰 , 兩腰夾頂角。 另邊為底邊 , 與腰成底角。 底角等底角 , 特征掌握好。 知識點 : 等邊三角形 是特殊的等腰三角形。 舉例 : 判斷 :等腰三角形上面的 一個角叫頂角。 ( ) 錯解 : 正解 :? 等腰三角形兩腰所夾的角叫頂角。 知識點 :兩條邊相等的三角形叫等腰三角形 ,與角的大小無關(guān)。在鈍角三角形和直角三角

17、形中 ,如果有兩條邊相等 , 就可以成為等腰三角形。 易錯點 :平行四邊形有無數(shù)條高 ,但過一個頂點向每條對邊都只能畫一條高 ;平行四邊形的高和底是相互依存的 ② 特征 :等邊三角形的 3 個角相等 ,等邊三角形是軸對稱圖形 ,等邊三角形有 3 條對稱軸。 ③ 三角形按邊分類 : 二、認識平行四邊形 1. 定義 :兩組對邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形。 2. 特征 : (1)平行四邊形有 4 條邊、 4 個角。 (2)平行四邊形的兩組對邊分別平行。 (3)平行四邊形的兩組

18、對邊分別相等。 3. 平行四邊形的底和高的認識 : 從平行四邊形一條邊上的一點到它對邊的垂直線段 ,是 平行四邊形的高 ,這條對邊是平行四邊形的底。 三、認識梯形 1. 定義 :只有一組對邊平行的四邊形叫作梯形。 2. 認識梯形的底和高 : 互相平行的一組對邊分別是梯形的上底和下底 ,不平行 的一組對邊是梯形的腰。從梯形一條底邊上的一點到它對邊的垂直線段叫作梯形的高。 3. 梯形的分類 : (1)直角梯形 :如果梯形的一條腰和梯形的底互相垂直 ,那 么這條腰就是梯形的高 ,這樣的梯形叫作直角梯形。 (2)等腰梯形 :兩腰相等的梯形叫作等腰梯形。  關(guān)系。 知識巧記 對邊平行且相等 , 形狀易變不穩(wěn)定。 防盜鋼窗伸縮門 , 日常生活廣泛用。 在梯形中可以畫出無數(shù) 條高 ,所有高的長度都相等 ,且 互相平行。 等腰梯形中 , 腰的長度可以和一條底的長度相等 ,即等腰梯形可以有 3 條邊的長度相等。