【2022高考必備】2012-2021十年全國高考數學真題分類匯編 導數小題（精解精析）

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1、 2012-2021十年全國卷高考數學真題分類精編 導數小題 （精解精析） 一、選擇題 1．(2021年高考全國乙卷理科)設，若為函數的極大值點，則 (　　) AB．C．D． 【答案】D 解析：若，則為單調函數，無極值點，不符合題意，故． 有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的．依題意，為函數的極大值點，在左右附近都是小于零的． 當時，由，，畫出的圖象如下圖所示： 由圖可知，，故． 當時，由時，，畫出的圖象如下圖所示： 由圖可知，，故． 綜上所述，成立． 故選：D 【點睛】本小題主要考查三次函數的圖象與性質，利用數形結合的數學思想方法

2、可以快速解答． 2．(2020年高考數學課標Ⅰ卷理科)函數的圖像在點處的切線方程為 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，， 因此，所求切線的方程為，即． 故選：B． 【點睛】本題考查利用導數求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎題 3．(2020年高考數學課標Ⅲ卷理科)若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為 (　　) A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 【答案】D 解析：設直線在曲線上的切點為，則， 函數的導數為，則直線的斜率， 設直線的方程為，即， 由于直線與圓相切，則， 兩邊平方并整理得，

3、解得，（舍）， 則直線的方程為，即． 故選：D． 【點睛】本題主要考查了導數的幾何意義的應用以及直線與圓的位置的應用，屬于中檔題． 4．(2019年高考數學課標Ⅲ卷理科)已知曲線在點處的切線方程為，則 (　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，根據導數的幾何意義易得，解得，從而得到切點坐標為，將其代入切線方程，得，解得，故選D． 【點評】準確求導是進一步計算的基礎，本題易因為導數的運算法則掌握不熟，二導致計算錯誤．求導要“慢”，計算要準，是解答此類問題的基本要求．另外對于導數的幾何意義要注意給定的點是否為切點，若為切點，牢記三條：①切點處的導數即為切線的斜率；②

4、切點在切線上；③切點在曲線上。 5．(2018年高考數學課標卷Ⅰ（理）)設函數，若為奇函數，則曲線在點處的切線方程為 (　　) A． B． C． D． 【答案】D 解析：函數，若為奇函數，可得，所以函數，可得，曲線在點處的切線的斜率為：1，則曲線在點處的切線方程為：，故選D． 6．(2017年高考數學課標Ⅱ卷理科)若是函數的極值點，則的極小值為 (　　) A． B． C． D．1 【答案】A 【命題意圖】本題主要考查導數的極值概念及其極大值與極小值判定條件，意在考查考生的運 算求解能力． 【解析】解法一：常規(guī)解法 ∵ ∴ 導函數 ∵ ∴ ∴ 導函數 令，∴

5、， 當變化時，，隨變化情況如下表： + 0 - 0 + 極大值 極小值 從上表可知：極小值為． 【知識拓展】導數是高考重點考查的對象，極值點的問題是非常重要考點之一，大題﹑小題都 會考查，屬于壓軸題，但難度在逐年降低． 【考點】 函數的極值；函數的單調性 【名師點睛】(1)可導函數y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側與右側f′(x)的符號不同。 (2)若f(x)在(a，b)內有極值，那么f(x)在(a，b)內絕不是單調函數，即在某區(qū)間上單調增或減的函數沒有極值。 7．(2015高考數學

6、新課標2理科)設函數是奇函數的導函數，，當時，，則使得成立的的取值范圍是 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 解析：記函數，則，因為當時，，故當時，，所以在單調遞減；又因為函數是奇函數，故函數是偶函數，所以在單調遞減，且．當時，，則；當時，，則，綜上所述，使得成立的的取值范圍是，故選A． 考點：導數的應用、函數的圖象與性質． 8．(2015高考數學新課標1理科)設函數,其中，若存在唯一的整數，使得0，則的取值范圍是 (　　) A．B．C．D． 【答案】D 解析：設=，，由題知存在唯一的整數，使得在直線的下方． 因為，所以當時，＜0，當時，＞0，所以當時，=， 當

7、時，=-1，，直線恒過（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故選D． 考點：本題主要通過利用導數研究函數的圖像與性質解決不等式成立問題 9．(2014高考數學課標2理科)設曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x，則a= A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 解析：因為，所以切線的斜率為，解得，選D 考點：（1）導數的基本運算；（2）導數的幾何意義。 難度：B 備注：?？碱} 10．(2014高考數學課標1理科)已知函數=,若存在唯一的零點,且>0,則的取值范圍為 (　　) A．(2,+∞) B．(-∞,-2) C．(1,+∞) D．(-∞,

8、-1) 【答案】B 解析1:由已知,,令,得或, 當時,; 且,有小于零的零點,不符合題意． 當時, 要使有唯一的零點且>0,只需,即,．選B 解析2:由已知,=有唯一的正零點,等價于 有唯一的正零根,令,則問題又等價于有唯一的正零根,即與有唯一的交點且交點在在y軸右側記,,由,,, ,要使有唯一的正零根,只需,選B 考點:(1)利用導數的定義求函數的導數(2)導數與函數零點、方程的根 (3)分類討論思想 難度:C 備注:一題多解 11．(2013高考數學新課標2理科)已知函數，下列結論中錯誤的是 (　　) A． B．函數的圖象是中心對

9、稱圖形 C．若是的極小值點，則在區(qū)間上單調遞減 D．若是的極值點，則 【答案】C 解析：由三次函數的圖象可知，若是的極小值點，則極大值點在的左側，所以函數在區(qū)間單調遞減是錯誤的，選C． 考點：（1）3．2．3導數與函數極值；（2）3．2．2導數與函數單調性 難度： B 備注：高頻考點 12．(2013高考數學新課標1理科)已知函數=，若||≥，則的取值范圍是 (　　) A． B． C．[-2,1] D．[-2,0] 【答案】Ｄ 解析：∵||=，∴由||≥得，且， 由可得，則≥-2，排除Ａ，Ｂ， 當=1時，易證對恒成立，故=1不適合，排除C，故選D． 考點:（1）3

10、．3．1利用導數研究“恒能恰”成立及參數求解問題；（2）7．2．2一元二次不等式恒能恰成立問題． 難度：Ｃ 備注：高頻考點、易錯題 二、填空題 13．(2021年高考全國甲卷理科)曲線在點處的切線方程為__________． 【答案】 解析：由題，當時，，故點在曲線上． 求導得：，所以． 故切線方程為． 故答案為：． 14．(2019年高考數學課標全國Ⅰ卷理科)曲線在點處的切線方程為 ． 【答案】 解析：， 所以曲線在點處的切線方程為． 15．(2018年高考數學課標Ⅲ卷（理）)曲線在點處的切線的斜率為，則 ． 【答案】

11、 解析：記，則 依題意有，即，解得． 16．(2018年高考數學課標Ⅱ卷（理）)曲線在點處的切線方程為__________． 【答案】 解析：因為，所以，切線方程為，即． 17．(2018年高考數學課標卷Ⅰ（理）)已知函數,則的最小值是 ． 【答案】 解法一：先求的最大值，設 ， 即， 故根據奇函數知， 解法二：導數法+周期函數 當；； 解法三：均值不等式法 當且僅當時， 此時， 18．(2017年高考數學新課標Ⅰ卷理科)如圖,圓形紙片的圓心為,半徑為,該紙片上的等邊三角形的中心為為圓上的點,,,分別是以為底邊的等腰三角

12、形．沿虛線剪開后,分別以為折痕折起,,,使得重合,得到三棱錐．當的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:)的最大值為__________． 【答案】 【解析】如下圖,設正三角形的邊長為x,則． , 三棱錐的體積 ． 令,則, 令, ,, ． 【考點】簡單幾何體的體積 【點評】對于三棱錐最值問題,肯定需要用到函數的思想進行解決,本題解決的關鍵是設好未知量,利用圖形特征表示出三棱錐體積．當體積中的變量最高次是2次時可以利用二次函數的性質進行解決,當變量是高次時需要用到求導得方式進行解決． 19．(2016高考數學課標Ⅲ卷理科)已知為偶函數,當時,,,則曲線在點處的切線方程是_______________. 【答案】 【解析】當時,,則.又因為是偶函數,所以,所以,則切線斜率為,所以切線方程為,即. 20．(2016高考數學課標Ⅱ卷理科)若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則 ． 【答案】 【解析】設直線與曲線的切點為 ，與曲線的切點為 則 ，所以 所以，所以，所以． 【點評】此題考查了導數的幾何意義，以及公切線的基本求法，本解法主要體現(xiàn)了通性通法，即設切點，表示切線方程，利用導數的幾何意義，切點與曲線、切線位置關系構建方程組，利用消元，解方程的辦法獲解．