【2022高考必備】2012-2021十年全國高考數學真題分類匯編 三角小題(精解精析)

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1、 2012-2021十年全國高考數學真題分類匯編 三角小題 (精解精析) 一、選擇題 1.(2021年高考全國甲卷理科)若,則 (  ) A. B. C. D. 【答案】A 解析: , ,,,解得, ,. 故選:A. 【點睛】關鍵點睛:本題考查三角函數的化簡問題,解題的關鍵是利用二倍角公式化簡求出. 2.(2021年高考全國乙卷理科)魏晉時劉徽撰寫的《海島算經》是關測量的數學著作,其中第一題是測海島的高.如圖,點,,在水平線上,和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度,稱為“表高”,稱為“表距”,和都稱為“表目距”,與的差稱為“表目距的差”則海島的高 (  )

2、 (  ) A.表高 B.表高 C.表距 D.表距 【答案】A 解析:如圖所示: 由平面相似可知,,而,所以 ,而, 即=. 故選:A. 【點睛】本題解題關鍵是通過相似建立比例式,圍繞所求目標進行轉化即可解出. 3.(2021年高考全國乙卷理科)把函數圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變,再把所得曲線向右平移個單位長度,得到函數的圖像,則 (  ) A. B. C. D. 【答案】把函數圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變,再把所得曲線向右平移個單位長度,得到函數的圖像,則( ) A. B. C. D.

3、 4.(2021年高考全國甲卷理科)2020年12月8日,中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86(單位:m),三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個示意圖,現有A.B.C三點,且A.B.C在同一水平面上的投影滿足,.由C點測得B點的仰角為,與的差為100;由B點測得A點的仰角為,則A.C兩點到水平面的高度差約為() (  ) A.346 B.373 C.446 D.473 【答案】B 解析: 過作,過作, 故, 由題,易知為等腰直角三角形,所以. 所以. 因為,所以 在中,由正弦定理得: , 而, 所以, 所以.

4、 故選:B. 【點睛】本題關鍵點在于如何正確將的長度通過作輔助線的方式轉化為. 5.(2020年高考數學課標Ⅰ卷理科)設函數在的圖像大致如下圖,則f(x)的最小正周期為 (  ) (  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由圖可得:函數圖象過點, 將它代入函數可得: 又是函數圖象與軸負半軸的第一個交點, 所以,解得: 所以函數的最小正周期為 故選:C 【點睛】本題主要考查了三角函數的性質及轉化能力,還考查了三角函數周期公式,屬于中檔題. 6.(2020年高考數學課標Ⅱ卷理科)若α為第四象限角,則 (  ) A.cos2α>0 B.cos2α<0 C.s

5、in2α>0 D.sin2α<0 【答案】D 解析:方法一:由α為第四象限角,可得, 所以 此時的終邊落在第三、四象限及軸的非正半軸上,所以 故選:D. 方法二:當時,,選項B錯誤; 當時,,選項A錯誤; 由在第四象限可得:,則,選項C錯誤,選項D正確; 故選:D. 【點睛】本題主要考查三角函數的符號,二倍角公式,特殊角的三角函數值等知識,意在考查學生的轉化能力和計算求解能力. 7.(2020年高考數學課標Ⅰ卷理科)已知,且,則 (  ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】,得, 即,解得或(舍去), 又. 故選:A. 【點睛】本題考查三角恒等變換

6、和同角間的三角函數關系求值,熟記公式是解題的關鍵,考查計算求解能力,屬于基礎題. 8.(2020年高考數學課標Ⅲ卷理科)已知2tanθ–tan(θ+)=7,則tanθ= (  ) A.–2 B.–1 C.1 D.2 【答案】D 解析:,, 令,則,整理得,解得,即. 故選:D. 【點睛】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡求值,屬于中檔題. 9.(2020年高考數學課標Ⅲ卷理科)在△ABC中,cosC=,AC=4,BC=3,則cosB= (  ) A. B. C. D. 【答案】A 解析:在中,,, 根據余弦定理: 可得 ,即 由 故. 故選:A. 【點

7、睛】本題主要考查了余弦定理解三角形,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎題. 10.(2019年高考數學課標Ⅲ卷理科)設函數(>0),已知在有且僅有5個零點,下述四個結論: ①在有且僅有3個極大值點②在有且僅有2個極小值點 ③在單調遞增④的取值范圍是 其中所有正確結論的編號是 (  ) A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④ 【答案】D 【解析】在有且僅有3個極大值點,分別對應,故①正確. 在有2個或3個極小值點,分別對應和,故②不正確. 因為當時,,由在有且僅有5個零點.則,解得,故④正確. 由,得,,所以在單調遞增,故③正確. 綜上所述,本題選D. 【點評】本題為

8、三角函數與零點結合問題,難度中等,可數形結合,分析得出答案,考查數形結合思想.在本題中,極小值點個數動態(tài)的,易錯,③正確性考查需認真計算,易出錯. 11.(2019年高考數學課標全國Ⅱ卷理科)已知,,則 (  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵,∴.,∴,, ∴,又,∴,,又,∴,故選B. 【點評】利用二倍角公式得到正余弦關系,利用角范圍及正余弦平方和為關系得出答案.本題為三角函數中二倍角公式、同角三角函數基本關系式的考查,中等難度,判斷正余弦正負,運算準確性是關鍵,題目不難,需細心,解決三角函數問題,研究角的范圍后得出三角函數值的正負,很關鍵,切記不能憑感覺.

9、12.(2019年高考數學課標全國Ⅱ卷理科)下列函數中,以為周期且在區(qū)間單調遞增的是 (  ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因為圖象如下圖,知其不是周期函數,排除D;因為,周期為,排除C,作出圖象,由圖象知,其周期為,在區(qū)間單調遞增,A正確;作出的圖象,由圖象知,其周期為,在區(qū)間單調遞減,排除B,故選A. 【點評】本題主要考查三角函數圖象與性質,滲透直觀想象、邏輯推理等數學素養(yǎng).畫出各函數圖象,即可做出選擇.利用二級結論:①函數的周期是函數周期的一半;②不是周期函數;③函數,再利用降冪公式及三角函數公式法求三角函數的周期,例如,,所以周期. 13.(201

10、9年高考數學課標全國Ⅰ卷理科)關于函數有下述四個結論: ①是偶函數②在區(qū)間單調遞增 ③在有4個零點④的最大值為2 其中所有正確結論的編號是 (  ) A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 【答案】C 解析:作出函數的圖象如圖所示, 由圖可知,是偶函數,①正確,在區(qū)間單調遞減,②錯誤, 在有3個零點,③錯誤;的最大值為2,④正確,故選C. 14.(2018年高考數學課標Ⅲ卷(理))的內角的對邊分別為,若的面積為,則 (  ) A. B. C. D. 【答案】C 解析:由余弦定理可得, 所以由 所以,而,所以,故選C. 15.(2018年高考數學課標

11、Ⅲ卷(理))若,則 (  ) A. B. C. D. 【答案】B 解析:,故選B. 16.(2018年高考數學課標Ⅱ卷(理))若在是減函數,則的最大值是 (  ) A. B. C. D. 【答案】A 解析:由已知,得,即,解得,即,所以,得, 所以的最大值是,故選A. 17.(2018年高考數學課標Ⅱ卷(理))在中,,,,則 (  ) A. B. C. D. 【答案】A 解析:因為, 所以,所以,故選A. 18.(2017年高考數學新課標Ⅰ卷理科)已知曲線,,則下面結論正確的是 (  ) A.把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移個單

12、位長度,得到曲線 B.把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線 C.把上各點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線 D.把上各點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線 【答案】 D 【解析】因為函數名不同,所以先將利用誘導公式轉化成與相同的函數名,則,則由上各點的橫坐標縮短到原來的倍變?yōu)?再將曲線向左平移個單位得到,故選D. 【考點】三角函數圖像變換. 【點評】對于三角函數圖像變換問題,首先要將不同名函數轉換成同名函數,利用誘導公式,需要重點

13、記住;另外,在進行圖像變換時,提倡先平移后伸縮,而先伸縮后平移在考試中經常出現,無論哪種變換,記住每一個變換總是對變量而言. 19.(2017年高考數學課標Ⅲ卷理科)設函數,則下列結論錯誤的是 (  ) A.的一個周期為 B.的圖像關于直線對稱 C.的一個零點為 D.在單調遞減 【答案】 D 【解析】函數的周期為,,故A正確;又函數的對稱軸為,即,,當時,得,故B正確;由,所以函數的零點為,當時,,故C正確;由,解得,所以函數的單調遞減區(qū)間為,而,故D錯誤. 【考點】函數的性質 【點評】(1)求最小正周期時可先把所給三角函數式化為或的形式,則最小正周期為;奇偶性的判斷關鍵

14、是解析式是否為或的形式. (2)求的對稱軸,只需令,求;求的對稱中心的橫坐標,只需令即可. 20.(2016高考數學課標Ⅲ卷理科)在△ABC中,,邊上的高等于,則 (  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】設邊上的高線為,則,所以,.由余弦定理,知,故選C. 21.(2016高考數學課標Ⅲ卷理科)若,則 (  ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由,得,或, 所以,故選A. 22.(2016高考數學課標Ⅱ卷理科)若,則 (  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵,,故選D. 23.(2016高考數學課標Ⅱ卷理科)若將函數的圖像

15、向左平移個單位長度,則平移后圖象的對稱軸為 (  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】將函數的圖像向左平移個單位長度的到 的圖像,令 則,故選B. 24.(2016高考數學課標Ⅰ卷理科)已知函數為的零點,為圖像的對稱軸,且在單調,則的最大值為 (  ) (A)11(B)9(C)7(D)5 【答案】B 【解析】由題意知:,則,其中 在單調, 接下來用排除法:若,此時 在遞增,在遞減,不滿足在單調 若,此時,滿足在單調遞減 故選B. 25.(2015高考數學新課標1理科)函數=的部分圖像如圖所示,則的單調遞減區(qū)間為 (  ) A. B. C. D.

16、【答案】D 解析:由五點作圖知,,解得,,所以,令,解得<<,,故單調減區(qū)間為(,),,故選D. 考點:三角函數圖像與性質 26.(2015高考數學新課標1理科) (  ) A. B. C. D. 【答案】D 解析:原式= ==,故選D. 考點:本題主要考查誘導公式與兩角和與差的正余弦公式. 27.(2014高考數學課標2理科)設函數.若存在的極值點滿足,則m的取值范圍是 (  ) A. B. C. D. 【答案】C 解析:的極值為,即, ,解得,故選C。 考點:(1)利用導數研究函數的極值;(2)正弦函數的圖像; (3)一元二次不等式恒能恰成立問題;。 28.

17、(2014高考數學課標2理科)鈍角三角形ABC的面積是,AB=1,BC=,則AC= (  ) A.5 B. C.2 D.1 【答案】B 解析:有面積公式得:,解得,因為鈍角三角形,所以, 由余弦定理得:,所以,選B。 考點:(1)余弦定理;(2)三角形的面積公式。 難度:B 備注:??碱} 29.(2014高考數學課標1理科)設,,且,則 (  ) A. B. C. D. 【答案】 B 解析:∵,∴ , ∴,即,選B 考點:(1)三角函數的基本關系式(2)兩角和與差的公式的應用(3)誘導公式的應用 (4)化歸于轉化思想 難度:B 備注:高頻考點

18、 30.(2012高考數學新課標理科)已知,函數在上單調遞減。則的取值范圍是 (  ) A. B. C. D. 【答案】A 解析:∵y=sinx在上單調遞減 ∴ ∴ 而函數在上單調遞減 ∴ 即得且,根據答案特征只能是k=0, 考點:(1)4.3.2三角函數的單調性與周期性;(2)4.4.3y=Asin(wx+φ)的圖像與性質的綜合應用. 難度:B 備注:高頻考點 二、填空題 31.(2021年高考全國甲卷理科)已知函數的部分圖像如圖所示,則滿足條件的最小正整數x為________. 【答案】2 解析:由圖可知,即,所以; 由五點法可得,即; 所以. 因

19、為,; 所以由可得或; 因為,所以, 方法一:結合圖形可知,最小正整數應該滿足,即, 解得,令,可得, 可得的最小正整數為2. 方法二:結合圖形可知,最小正整數應該滿足,又,符合題意,可得的最小正整數為2. 故答案為:2. 【點睛】關鍵點睛:根據圖象求解函數的解析式是本題求解的關鍵,根據周期求解,根據特殊點求解. 32.(2021年高考全國乙卷理科)記的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為,,,則________. 【答案】 解析:由題意,, 所以, 所以,解得(負值舍去). 故答案為:. 33.(2020年高考數學課標Ⅰ卷理科)如圖,在三棱錐P–A

20、BC的平面展開圖中,AC=1,,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,則cos∠FCB=______________. 【答案】 【解析】,,, 由勾股定理得, 同理得,, 在中,,,, 由余弦定理得, , 在中,,,, 由余弦定理得. 故答案為:. 【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形,考查計算能力,屬于中等題. 34.(2020年高考數學課標Ⅲ卷理科)關于函數f(x)=有如下四個命題: ①f(x)的圖像關于y軸對稱. ②f(x)的圖像關于原點對稱. ③f(x)的圖像關于直線x=對稱. ④f(x)的最小值為2. 其中所有真命題的序號是________

21、__. 【答案】②③ 解析:對于命題①,,,則, 所以,函數的圖象不關于軸對稱,命題①錯誤; 對于命題②,函數的定義域為,定義域關于原點對稱, , 所以,函數的圖象關于原點對稱,命題②正確; 對于命題③,, ,則, 所以,函數的圖象關于直線對稱,命題③正確; 對于命題④,當時,,則, 命題④錯誤. 故答案為:②③. 【點睛】本題考查正弦型函數的奇偶性、對稱性以及最值的求解,考查推理能力與計算能力,屬于中等題. 35.(2019年高考數學課標全國Ⅱ卷理科)的內角,,的對邊分別為,,.若,,,則的面積為 ?。? 【答案】 【解析】由余弦定理得,所以,即, 解得(舍去

22、),所以, 【點評】本題首先應用余弦定理,建立關于的方程,應用的關系、三角形面積公式計算求解,本題屬于常見題目,難度不大,注重了基礎知識、基本方法、數學式子的變形及運算求解能力的考查.本題涉及正數開平方運算,易錯點往往是余弦定理應用有誤或是開方導致錯誤.解答此類問題,關鍵是在明確方法的基礎上,準確記憶公式,細心計算. 36.(2018年高考數學課標Ⅲ卷(理))函數在的零點個數為 . 【答案】 解析:由,,解得, 由即 由,可得,故函數在的零點個數為. 37.(2018年高考數學課標Ⅱ卷(理))已知,,則__________. 【答案】 解析:因為, 所以,

23、, 相加得,所以. 38.(2017年高考數學課標Ⅱ卷理科)函數()的最大值是 . 【答案】1 【命題意圖】本題考查三角函數同角基本關系及函數性質—最值,意在考查考生轉化與化歸思 想和運算求解能力 【解析】解法一:換元法 ∵ , ∴ 設,,∴ 函數對稱軸為,∴ 【點評】本題經三角函數式的化簡將三角函數的問題轉化為二次函數的問題,二次函數、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個二次”,學科*網它們常結合在一起,有關二次函數的問題,數形結合,密切聯系圖象是探求解題思路的有效方法。一般從:①開口方向;②對稱軸位置;③判別式;④端點函數值符號四個方面分析。 【知識

24、拓展】此類問題屬于熱點題型,2016年二卷(文11)﹑2010年和2014廣西卷均出現此 題型,解決方法相同,但二卷近幾年不會再出了. 39.(2016高考數學課標Ⅲ卷理科)函數的圖像可由函數的圖像至少向右平移_____________個單位長度得到. 【答案】 【解析】因為,,所以函數的圖像可由函數的圖像至少向右平移個單位長度得到. 40.(2016高考數學課標Ⅱ卷理科)的內角的對邊分別為,若,,,則 . 【答案】 【解析】由平方關系可得: 所以 再由正弦定理得:. 41.(2015高考數學新課標1理科)在平面四邊形中,,B,則的取值范圍是

25、 . 【答案】(,) 解析:如圖所示,延長BA,CD交于E,平移AD,當A與D重合與E點時,AB最長,在△BCE中,∠B=∠C=75°,∠E=30°,BC=2,由正弦定理可得,即,解得=,平移AD ,當D與C重合時,AB最短,此時與AB交于F,在△BCF中,∠B=∠BFC=75°,∠FCB=30°,由正弦定理知,,即,解得BF=,所以AB的取值范圍為(,). 考點:正余弦定理;數形結合思想 42.(2014高考數學課標2理科)函數的最大值為_________. 【答案】1 解析: 所以最大值為1 考點:(1)兩角和與差

26、的公式的應用;(2)三角函數的最值。 難度:B 備注:常考題 43.(2014高考數學課標1理科)已知分別為的三個內角的對邊,=2,且,則面積的最大值為__________. 【答案】 解析:由且 , 即,由及正弦定理得: ∴,故,∴,∴ ,∴, 考點:(1)正(余)弦定理的應用(2)三角形面積公式的應用(3)化歸于轉化的思想 難度:B 備注:高頻考點 44.(2013高考數學新課標2理科)設為第二象限角,若,則=________. 【答案】 解析:由得到,解得,所以 考點:(1)4.5.3兩角和與差的公式的應用;(2)4.2.1同角三角函數的基本關系式的應用 難度: B 備注:高頻考點 45.(2013高考數學新課標1理科)設當時,函數取得最大值,則 =______. 【答案】 解析:∵== 令=,,則==, 當=,即=時,取最大值,此時=,∴===. 考點:(1)4.2.2三角函數的誘導公式的應用;(2)4.5.2兩角和與差的公式的應用. 難度:C 備注:高頻考點、易錯題

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