【名校資料】高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第9章學(xué)案47

+二一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料+學(xué)案47圓的方程導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.掌握確定圓的幾何要素.2.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想自主梳理1圓的定義在平面內(nèi)，到_的距離等于_的點(diǎn)的_叫做圓2確定一個(gè)圓最基本的要素是_和_3圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2 (r>0)，其中_為圓心，_為半徑4圓的一般方程x2y2DxEyF0表示圓的充要條件是_，其中圓心為_，半徑r_.5確定圓的方程的方法和步驟確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為：(1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D、E、F的方程組；(3)解出a、b、r或D、E、F，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程6點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2，點(diǎn)M(x0，y0)，(1)點(diǎn)在圓上：(x0a)2(y0b)2_r2；(2)點(diǎn)在圓外：(x0a)2(y0b)2_r2；(3)點(diǎn)在圓內(nèi)：(x0a)2(y0b)2_r2.自我檢測(cè)1方程x2y24mx2y5m0表示圓時(shí)，m的取值范圍為_2圓心在y軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)(1,2)的圓的方程是_3點(diǎn)P(2，1)為圓(x1)2y225的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程是_4已知點(diǎn)(0,0)在圓：x2y2axay2a2a10外，則a的取值范圍是_5過(guò)圓x2y24外一點(diǎn)P(4,2)作圓的切線，切點(diǎn)為A、B，則APB的外接圓方程為_探究點(diǎn)一求圓的方程例1求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，4)，且與直線l：x3y260相切于點(diǎn)B(8,6)的圓的方程變式遷移1根據(jù)下列條件，求圓的方程(1)與圓O：x2y24相外切于點(diǎn)P(1，)，且半徑為4的圓的方程；(2)圓心在原點(diǎn)且圓周被直線3x4y150分成12兩部分的圓的方程探究點(diǎn)二圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用例2已知圓x2y2x6ym0和直線x2y30交于P，Q兩點(diǎn)，且OPOQ (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑變式遷移2如圖，已知圓心坐標(biāo)為(，1)的圓M與x軸及直線yx分別相切于A、B兩點(diǎn)，另一圓N與圓M外切且與x軸及直線yx分別相切于C、D兩點(diǎn)(1)求圓M和圓N的方程；(2)過(guò)點(diǎn)B作直線MN的平行線l，求直線l被圓N截得的弦的長(zhǎng)度探究點(diǎn)三與圓有關(guān)的最值問(wèn)題例3已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x2y2的最大值和最小值變式遷移3如果實(shí)數(shù)x，y滿足方程(x3)2(y3)26，求的最大值與最小值1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是求出圓心的坐標(biāo)與圓的半徑，借助弦心距、弦、半徑之間的關(guān)系計(jì)算可大大簡(jiǎn)化計(jì)算的過(guò)程與難度2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種情形：點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外，其判斷方法是看點(diǎn)到圓心的距離d與圓半徑r的關(guān)系d<r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)；dr時(shí)，點(diǎn)在圓上；d>r時(shí)，點(diǎn)在圓外3本節(jié)主要的數(shù)學(xué)思想方法有：數(shù)形結(jié)合思想、方程思想(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1(2011·重慶改編)在圓x2y22x6y0內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E(0,1)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為_2方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓，則a的取值范圍是_3圓x2y22x4y10關(guān)于直線2axby20 (a、bR)對(duì)稱，則ab的取值范圍是_4(2011·蘇州模擬)已知點(diǎn)P(2,1)在圓C：x2y2ax2yb0上，點(diǎn)P關(guān)于直線xy10的對(duì)稱點(diǎn)也在圓C上，則實(shí)數(shù)a，b的值分別為_和_5已知兩點(diǎn)A(2,0)，B(0,2)，點(diǎn)C是圓x2y22x0上任意一點(diǎn)，則ABC面積的最小值為_6(2010·天津)已知圓C的圓心是直線xy10與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線xy30相切，則圓C的方程為_7圓心在直線2x3y10上的圓與x軸交于A(1,0)、B(3，0)兩點(diǎn)，則圓的方程為_8設(shè)直線axy30與圓(x1)2(y2)24相交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為2，則a_.二、解答題(共42分)9(14分)根據(jù)下列條件，求圓的方程：(1)經(jīng)過(guò)A(6,5)、B(0,1)兩點(diǎn)，并且圓心C在直線3x10y90上；(2)經(jīng)過(guò)P(2,4)、Q(3，1)兩點(diǎn)，并且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6.10(14分)(2011·南京模擬)已知點(diǎn)(x，y)在圓(x2)2(y3)21上(1)求xy的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值11(14分)如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB20米，拱高OP4米，每隔4米需用一支柱支撐，求支柱A2P2的高度(精確到0.01米)(28.72)學(xué)案47圓的方程答案自主梳理1定點(diǎn)定長(zhǎng)集合2.圓心半徑3.(a，b)r4D2E24F>06(1)(2)>(3)<自我檢測(cè)1m<或m>12.x2(y2)213.xy304(，1)(，)5(x2)2(y1)25課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)一可以利用圓的一般式方程，通過(guò)轉(zhuǎn)化三個(gè)獨(dú)立條件，得到有關(guān)三個(gè)待定字母的關(guān)系式求解；二可以利用圓的方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，由條件確定圓心和半徑(2)一般地，求圓的方程時(shí)，當(dāng)條件中給出的是圓上若干點(diǎn)的坐標(biāo)，較適合用一般式，通過(guò)解三元方程組求待定系數(shù)；當(dāng)條件中給出的是圓心坐標(biāo)或圓心在某直線上、圓的切線方程、圓的弦長(zhǎng)等條件，適合用標(biāo)準(zhǔn)式解方法一設(shè)圓心為C，所求圓的方程為x2y2DxEyF0，則圓心C.kCB.由kCB·kl1，·1.又有(2)2(4)22D4EF0，又82628D6EF0.解，可得D11，E3，F(xiàn)30.所求圓的方程為x2y211x3y300.方法二設(shè)圓的圓心為C，則CBl，從而可得CB所在直線的方程為y63(x8)，即3xy180.由A(2，4)，B(8,6)，得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1)又kAB1，AB的垂直平分線的方程為y1(x3)，即xy40.由聯(lián)立后，解得即圓心坐標(biāo)為.所求圓的半徑r.所求圓的方程為22.變式遷移1解(1)設(shè)所求圓的圓心Q的坐標(biāo)為(a，b)，圓Q的方程為(xa)2(yb)242，又OQ6，聯(lián)立方程，解得a3，b3，所以所求圓的方程為(x3)2(y3)216.(2)如圖，因?yàn)閳A周被直線3x4y150分成12兩部分，所以AOB120°，而圓心(0,0)到直線3x4y150的距離d3，在AOB中，可求得OA6.所以所求圓的方程為x2y236.例2解題導(dǎo)引(1)在解決與圓有關(guān)的問(wèn)題中，借助于圓的幾何性質(zhì)，往往會(huì)使得思路簡(jiǎn)捷明了，簡(jiǎn)化思路，簡(jiǎn)便運(yùn)算(2)本題利用方程思想求m值，即“列出m的方程”求m值解方法一將x32y，代入方程x2y2x6ym0，得5y220y12m0.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1、y2滿足條件：y1y24，y1y2.OPOQ，x1x2y1y20.而x132y1，x232y2.x1x296(y1y2)4y1y2.96(y1y2)5y1y20，96×45×0，m3，此時(shí)1363×4>0，圓心坐標(biāo)為，半徑r.方法二如圖所示，設(shè)弦PQ中點(diǎn)為M，O1MPQ，kO1M2.又圓心坐標(biāo)為，O1M的方程為y32，即y2x4.由方程組解得M的坐標(biāo)為(1,2)則以PQ為直徑的圓可設(shè)為(x1)2(y2)2r2.OPOQ，點(diǎn)O在以PQ為直徑的圓上(01)2(02)2r2，即r25，MQ2r2.在RtO1MQ中，O1M2MQ2O1Q2.2(32)25.m3.半徑為，圓心為.變式遷移2解(1)M的坐標(biāo)為(，1)，M到x軸的距離為1，即圓M的半徑為1，則圓M的方程為(x)2(y1)21.設(shè)圓N的半徑為r，連結(jié)MA，NC，OM，則MAx軸，NCx軸，由題意知：M，N點(diǎn)都在COD的平分線上，O，M，N三點(diǎn)共線由RtOAMRtOCN可知，OMONMANC，即r3，則OC3，則圓N的方程為(x3)2(y3)29.(2)由對(duì)稱性可知，所求的弦長(zhǎng)等于過(guò)A點(diǎn)與MN平行的直線被圓N截得的弦的長(zhǎng)度，此弦的方程是y(x)，即xy0，圓心N到該直線的距離d，則弦長(zhǎng)為2.例3解題導(dǎo)引與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，常見的有以下幾種類型：(1)形如形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題；(2)形如taxby形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題；(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題解(1)yx可看作是直線yxb在y軸上的截距，當(dāng)直線yxb與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)，解得b2±.所以yx的最大值為2，最小值為2.(2)x2y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)與圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值又圓心到原點(diǎn)的距離為2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.變式遷移3解(1)設(shè)P(x，y)，則P點(diǎn)的軌跡就是已知圓C：(x3)2(y3)26.而的幾何意義就是直線OP的斜率，設(shè)k，則直線OP的方程為ykx.當(dāng)直線OP與圓相切時(shí)，斜率取最值因?yàn)辄c(diǎn)C到直線ykx的距離d，所以當(dāng)，即k3±2時(shí)，直線OP與圓相切即的最大值為32，最小值為32.課后練習(xí)區(qū)110解析圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x1)2(y3)210，由圓的性質(zhì)可知最長(zhǎng)弦|AC|2，最短弦BD恰以E(0,1)為中心，設(shè)點(diǎn)F為其圓心，坐標(biāo)為(1,3)故EF，BD22，S四邊形ABCDAC·BD10.2(2，)3.403解析圓的方程可化為2(y1)21b，由題知圓心在直線xy10上，110，a0，又點(diǎn)(2,1)在圓上，所以b3.53解析lAB：xy20，圓心(1,0)到lAB的距離d，AB邊上的高的最小值為1.又AB2.Smin×2×3.6(x1)2y22解析直線xy10與x軸的交點(diǎn)為(1,0)，即圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)又圓C與直線xy30相切，圓C的半徑為r.圓C的方程為(x1)2y22.7(x2)2(y1)22解析所求圓與x軸交于A(1,0)，B(3,0)兩點(diǎn)，故線段AB的垂直平分線x2過(guò)所求圓的圓心，又所求圓的圓心在直線2x3y10上，所以，兩直線的交點(diǎn)即為所求圓的圓心坐標(biāo)，解之得為(2,1)，進(jìn)一步可求得半徑為，所以，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)22.80解析由于弦AB的長(zhǎng)為2，則圓心(1,2)到直線axy30的距離等于1，即1，解得a0.9解(1)AB的中垂線方程為3x2y150，由解得(3分)圓心為C(7，3)又CB，故所求圓的方程為(x7)2(y3)265.(7分)(2)設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，將P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得(8分)又令y0，得x2DxF0，由|x1x2|6有D24F36.由解得D2，E4，F(xiàn)8或D6，E8，F(xiàn)0.故所求圓的方程為x2y22x4y80或x2y26x8y0.(14分)10解(1)設(shè)txy，則yxt，t可視為直線yxt的縱截距，所以xy的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)的縱截距由直線與圓相切，得圓心到直線的距離等于半徑，即1，解得t1或t1，所以xy的最大值為1，最小值為1.(5分)(2)可視為點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)連線的斜率，的最大值和最小值就是過(guò)原點(diǎn)的直線與該圓有公共點(diǎn)時(shí)斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)的斜率設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線方程為ykx，由直線與圓相切，得圓心到直線的距離等于半徑，即1，解得k2或k2，所以的最大值為2，最小值為2.(10分)(3)，即，其最值可視為點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(1,2)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為圓心(2，3)到定點(diǎn)(1,2)的距離與半徑的和或差又因?yàn)閳A心到定點(diǎn)(1,2)的距離為，所以的最大值為1，最小值為1.(14分)11解建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)該圓拱所在圓的方程為x2y2DxEyF0，由于圓心在y軸上，所以D0，那么方程即為x2y2EyF0.(3分)下面用待定系數(shù)法來(lái)確定E、F的值因?yàn)镻、B都在圓上，所以它們的坐標(biāo)(0,4)、(10,0)都是這個(gè)圓的方程的解，于是有方程組(7分)解得F100，E21.這個(gè)圓的方程是x2y221y1000.(10分)把點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)x2代入這個(gè)圓的方程，得(2)2y221y1000，y221y960.P2的縱坐標(biāo)y>0，故應(yīng)取正值，y3.86(米)所以支柱A2P2的高度約為3.86米(14分)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品