高中數(shù)學 第2章 變化率與導數(shù) 5 簡單復合函數(shù)的求導法則課件 北師大版選修2-2.ppt

5簡單復合函數(shù)的求導法則 課前預習學案 觀察下列幾個函數(shù) 1 y 5x 4 3 2 y log3 x2 2x 3 3 y sin2 3x 5 它們是基本初等函數(shù)嗎 如果不是 那么 能看作由哪幾個基本初等函數(shù)復合而成呢 提示 它們都不是基本初等函數(shù) 其中 1 由y u3和u 5x 4復合而成 2 由y log3u和u x2 2x 3復合而成 3 由y u2和u sinv和v 3x 5復合而成 一般地 對于兩個函數(shù)y f u 和u g x ax b 給定x的一個值 就得到了 的值 進而確定了 的值 這樣y可以表示成x的函數(shù) 我們稱這個函數(shù)為函數(shù)y f u 和u g x 的復合函數(shù) 記作y 其中u為 1 復合函數(shù) u y f g x 中間變量 2 理解復合函數(shù)的結(jié)構(gòu)規(guī)律 判斷復合函數(shù)的復合關(guān)系的一般規(guī)律是 從外向里分析 最外層的主體函數(shù)結(jié)構(gòu)是以基本函數(shù)為主要形式 各層的中間變量結(jié)構(gòu)也都是基本函數(shù)關(guān)系 這樣一層一層分析 最里層應是關(guān)于自變量x的基本函數(shù)或關(guān)于自變量x的基本函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算而得到的函數(shù) 復合函數(shù)y f g x 的導數(shù)和函數(shù)y f u u g x 的導數(shù)間的關(guān)系為y x 即y對x的導數(shù)等于 乘積 2 復合函數(shù)的導數(shù) y u u x y對u的導數(shù)與u對x導數(shù)的 求復合函數(shù)的導數(shù)要處理好以下環(huán)節(jié) 1 中間變量的選擇應是基本函數(shù)結(jié)構(gòu) 2 關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復合層次 3 一般是從最外層開始 由外及里 一層層地求導 4 善于把一部分表達式作為一個整體 5 最后要把中間變量換成自變量的函數(shù) 1 函數(shù)y 3x 4 2的導數(shù)是 A 4 3x 2 B 6xC 6x 3x 4 D 6 3x 4 解析 原函數(shù)由y t2和t 3x 4復合而成 y t 2t t x 3 y x 2t 3 6 3x 4 答案 D 2 函數(shù)y sin 2x 1 的導數(shù)是 A cos 2x 1 B 2xsin 2x 1 C 2cos 2x 1 D 2sin 2x 1 解析 y cos 2x 1 2 2cos 2x 1 答案 C3 函數(shù)y e2x e x的導數(shù)為 答案 2 e2x e x 課堂互動講義 求簡單復合函數(shù)的導數(shù) 2 引入中間變量u x 2012x 8 則函數(shù)y cos 2012x 8 是由函數(shù)f u cosu與u x 2012x 8復合而成的 查導數(shù)公式表可得f u sinu x 2012 根據(jù)復合函數(shù)求導法則可得 cos 2012x 8 f u x sinu 2012 2012sinu 2012sin 2012x 8 3 引入中間變量u x 1 3x 則函數(shù)y 21 3x是由函數(shù)f u 2u與u x 1 3x復合而成的 查導數(shù)公式表得f u 2uln2 x 3 根據(jù)復合函數(shù)求導法則可得 21 3x f u x 2uln2 3 3 2uln2 3 21 3xln2 復合函數(shù)求導的關(guān)鍵是選擇中間變量 正確分析復合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復合而成的 分清之間的復合關(guān)系 求導時需要記住中間變量 注意逐層求導 最后是中間變量對自變量求導 不遺漏 不越級 求導后 要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù) 導數(shù)的綜合運算問題 思路導引 應用指數(shù) 對數(shù)函數(shù)的求導公式 結(jié)合函數(shù)四則運算求導法則及復合函數(shù)的求導法則進行解題 求導過程中 可先適當進行變形化簡 將對數(shù)的真數(shù)位置轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)形式后再求導 當然變形化簡時要注意等價性 解決此類問題關(guān)鍵是分析函數(shù)式的結(jié)構(gòu) 要分清原函數(shù)是哪幾個函數(shù)的和 差 積 商 其中的復合函數(shù)又是如何復合而成 然后才能正確地運用導數(shù)的四則運算法則 復合函數(shù)求導法則以及基本初等函數(shù)的求導公式 得到正確結(jié)果 已知函數(shù)y f x xln 2x 1 1 求這個函數(shù)的導數(shù) 2 求這個函數(shù)在x 1處的切線方程 思路導引 1 綜合利用乘積函數(shù)與復合函數(shù)的求導法則求導 2 函數(shù)在x 1處的導數(shù)值為切線斜率 利用點斜式求切線方程 求切線方程 求較為復雜的函數(shù)圖像的切線 關(guān)鍵在于正確求導 復合函數(shù)求導時 要特別注意每層函數(shù)分別是對哪個變量求導 錯因 只注意到應用乘積的導數(shù)法則 而忽視了e x與sin x也是復合型函數(shù) 導致了在求 e x 和 sin x 出現(xiàn)錯誤