高中數(shù)學(xué) 第2章 概率 1 離散型隨機(jī)變量及其分布列課件 北師大版選修2-3.ppt

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第二章 概率 1離散型隨機(jī)變量及其分布列 課前預(yù)習(xí)學(xué)案 下列隨機(jī)變量中 某電話亭內(nèi)的一部電話1小時(shí)內(nèi)使用的次數(shù)記為X 某人射擊2次 擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)之和記為X 測量一批電阻 阻值X在950 1200 之間 一個(gè)在數(shù)軸上隨機(jī)運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn) 它在數(shù)軸上的位置記為X 其中X是離散型隨機(jī)變量的是 提示 中變量X所有可能取值是可以一一列舉出來的 是離散型隨機(jī)變量 而 中的結(jié)果不能一一列出 故不是離散型隨機(jī)變量 1 將隨機(jī)現(xiàn)象中試驗(yàn) 或觀測 的每一個(gè)可能的結(jié)果都 這種對應(yīng)稱為一個(gè)隨機(jī)變量 2 隨機(jī)變量通常用大寫的英文字母表示 如 等 隨機(jī)變量的取值能夠 這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量 1 隨機(jī)變量的概念及其表示 2 離散型隨機(jī)變量 對應(yīng)一個(gè)數(shù) X Y 一一列舉出來 隨機(jī)變量概念的理解在隨機(jī)試驗(yàn)中 確定了一個(gè)對應(yīng)關(guān)系 使每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果用一個(gè)確定的數(shù)字表示 這些數(shù)字就隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化 就是隨機(jī)變量 應(yīng)特別注意以下幾點(diǎn) 1 試驗(yàn)是在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行的 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是有限的 明確的 并且不止一個(gè) 2 隨機(jī)變量具有不確定性 即在試驗(yàn)之前不能確定試驗(yàn)結(jié)果 3 若X是隨機(jī)變量 則Y aX b a b是常數(shù) 也是隨機(jī)變量 4 函數(shù)與隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系隨機(jī)變量和函數(shù)一樣 也是一個(gè)映射 隨機(jī)變量是人為地把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果映射為實(shí)數(shù) 這與函數(shù)概念的本質(zhì)是一樣的 只不過函數(shù)是把實(shí)數(shù)映射為實(shí)數(shù) 在這兩種映射之間 試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域 隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域 所以隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化 變量的取值對應(yīng)于隨機(jī)試驗(yàn)的某一個(gè)隨機(jī)事件 1 定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的取值為a1 a2 隨機(jī)變量X取ai的概率為pi i 1 2 記作 或把 式列成如下表格 上述表格或 式稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列 3 離散型隨機(jī)變量的分布列 P X ai pi i 1 2 隨機(jī)變量的分布列的理解1 Pi P xi P Ai i 1 2 n 要求離散型隨機(jī)變量 的分布列 就要求出P xi i 1 2 n 而P xi P Ai 要求基本事件Ai的概率就要運(yùn)用等可能事件的概率 排列組合 分類計(jì)數(shù)原理 分步計(jì)數(shù)原理等知識和方法 故以前的概率知識是求分布列的基礎(chǔ) 2 0 pi 1 i 1 2 n 3 p1 p2 pn 1 這可以用來檢驗(yàn)一個(gè)分布列的正確與否 對任何一個(gè)分布列 所有事件的概率的和為1 1 下列變量中 不是隨機(jī)變量的是 A 一射擊手射擊一次命中的環(huán)數(shù)B 標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下 水沸騰時(shí)的溫度C 拋擲兩枚骰子 所得點(diǎn)數(shù)之和D 某電話總機(jī)在時(shí)間區(qū)間 0 T 內(nèi)收到的呼叫次數(shù)解析 B中水沸騰時(shí)的溫度是一個(gè)確定值 答案 B 2 下列所述 某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X 某無線電尋呼臺一天內(nèi)收到尋呼次數(shù)X 一天之內(nèi)的溫度X 一位射擊手對目標(biāo)進(jìn)行射擊 擊中目標(biāo)得1分 未擊中目標(biāo)得0分 用X表示該射擊手在一次射擊中的得分 其中X是離散型隨機(jī)變量的是 A B C D 解析 根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義 判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量 就是看這一變量的所有取值是否可以一一列出 中的X可能取的值 可以一一列舉出來 而 中的X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值 屬于連續(xù)型的 故選B 答案 B 3 在8件產(chǎn)品中 有3件次品 5件正品 從中任取一件 取到次品就停止 抽取次數(shù)為 則 3表示的試驗(yàn)結(jié)果是 解析 3表示前2次均是正品 第3次是次品 答案 共抽取3次 前2次均是正品 第3次是次品 4 寫出下列各隨機(jī)變量可能的值 并說明隨機(jī)變量所取的值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果 1 從一個(gè)裝有編號為1號到10號的10個(gè)球的袋中 任取1球 被取出的球的編號為X 2 一個(gè)袋中裝有10個(gè)紅球 5個(gè)白球 從中任取4個(gè)球 其中所含紅球的個(gè)數(shù)為X 3 投擲兩枚骰子 所得點(diǎn)數(shù)之和為X 所得點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)Y 解析 1 X的可能取值為1 2 3 10 X k k 1 2 10 表示取出第k號球 2 X的可能取值為0 1 2 3 4 X k表示取出k個(gè)紅球 4 k個(gè)白球 其中k 0 1 2 3 4 3 X的可能取值為2 3 4 12 若以 i j 表示投擲甲 乙兩枚骰子后骰子甲得i點(diǎn)且骰子乙得j點(diǎn) 則X 2表示 1 1 X 3表示 1 2 2 1 X 4表示 1 3 2 2 3 1 X 12表示 6 6 Y的可能取值為2 4 6 8 10 12 課堂互動講義 指出下列變量中 哪些是隨機(jī)變量 哪些不是隨機(jī)變量 并說明理由 1 濟(jì)南長途客運(yùn)總站侯車廳中一天的旅客數(shù)量 2 每天游覽上海世博會沙特館的人數(shù) 3 黃河立交橋一天經(jīng)過的紅旗牌轎車的輛數(shù) 4 面積為25cm2的圓的半徑 隨機(jī)變量的概念 思路導(dǎo)引 解答本類題目的關(guān)鍵在于清楚隨機(jī)變量的含義 分析變量是否滿足隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果 雖然預(yù)先知道所有可能取的值 但不知道在一次試驗(yàn)中究竟會出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果 隨機(jī)變量會取哪一個(gè)值 解析 1 判斷一個(gè)變量是否為隨機(jī)變量 關(guān)鍵看其試驗(yàn)結(jié)果是否可變 是否能用一個(gè)變量來表示 2 隨機(jī)變量從本質(zhì)上講就是以隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果為自變量的一個(gè)函數(shù) 即隨機(jī)變量的取值實(shí)質(zhì)上是試驗(yàn)結(jié)果對應(yīng)的數(shù) 但這些數(shù)是預(yù)先知道所有可能的值 而不知道究竟是哪一個(gè)值 1 指出下列變量中 哪些是隨機(jī)變量 哪些不是隨機(jī)變量 并說明理由 廣州國際機(jī)場候機(jī)室中一天的旅客數(shù)量 某人射擊一次命中的環(huán)數(shù) 每天游覽北京鳥巢的人數(shù) 從裝有3個(gè)紅球 2個(gè)白球的袋子中隨機(jī)摸取2球 所得紅球的個(gè)數(shù) 某人的性別隨年齡的變化 解析 指出下列隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量 并說明理由 1 白熾燈的壽命X 2 某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差X 3 鄭州至武漢的電氣化鐵道線上 每隔50m有一電線鐵塔 從鄭州至武漢的電氣化鐵道線上將電線鐵塔進(jìn)行編號 而其中某一電線鐵塔的編號X 4 江西九江市長江水位監(jiān)測站所測水位在 0 29 這一范圍內(nèi)變化 該水位站所測水位X 離散型隨機(jī)變量的判定 思路導(dǎo)引 先判斷隨機(jī)變量的取值是否可以一一列出 然后根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義作出判斷 邊聽邊記 1 白熾燈的壽命X的取值是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù) 而所有非負(fù)實(shí)數(shù)不能一一列出 所以X不是離散型隨機(jī)變量 2 實(shí)際測量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出 不是離散型隨機(jī)變量 3 是離散型隨機(jī)變量 因?yàn)殡娋€鐵塔為有限個(gè) 其編號從1開始可一一列出 4 不是離散型隨機(jī)變量 因?yàn)樗辉?0 29 這一范圍內(nèi)變化 對水位值我們不能按一定次序一一列出 判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否為離散型隨機(jī)變量 關(guān)鍵是看隨機(jī)變量的所有可能取值能否一一列出 若能一一列出 該隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量 否則就不是 2 指出下列隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量 并說明理由 1 從10張已編好號碼的卡片 從1號到10號 中任取一張 被取出的卡片的號數(shù) 2 一個(gè)袋子裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球 從中任取3個(gè) 其中所含白球的個(gè)數(shù) 3 某林場樹木最高達(dá)30m 此林場中樹木的高度 4 某加工廠加工的某種鋼管的長度與規(guī)定的長度尺寸之差 解析 1 只要取出一張 便有一個(gè)號碼 因此被取出的卡片號數(shù)可以一一列出 符合離散型隨機(jī)變量的定義 2 從10個(gè)球中取3個(gè)球 所得的結(jié)果有以下幾種 3個(gè)白球 2個(gè)白球和1個(gè)黑球 1個(gè)白球和2個(gè)黑球 3個(gè)黑球 即其白球的個(gè)數(shù)可以一一列出 符合離散型隨機(jī)變量的定義 3 林場樹木的高度是一個(gè)隨機(jī)變量 它可以取 0 30 內(nèi)的一切值 無法一一列舉 不是離散型隨機(jī)變量 4 實(shí)際測量值與規(guī)定值之間差值無法一一列出 不是離散型隨機(jī)變量 12分 寫出下列各隨機(jī)變量的可能取值 并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果 1 拋擲甲 乙兩枚骰子 所得點(diǎn)數(shù)之和Y 2 設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過5盞信號燈 Y表示汽車首次停下時(shí)已通過的信號燈的盞數(shù) 寫出Y所有可能取值并說明這些值所表示的試驗(yàn)結(jié)果 思路導(dǎo)引 寫出隨機(jī)變量的取值表示的試驗(yàn)結(jié)果 要特別注意有時(shí)隨機(jī)變量的一個(gè)值表示多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的情況下 不要漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果 用隨機(jī)變量描述隨機(jī)現(xiàn)象 解答此類問題的關(guān)鍵在于明確隨機(jī)變量所有可能的取值 以及取每一個(gè)值時(shí)對應(yīng)的意義 即一個(gè)隨機(jī)變量的取值可能對應(yīng)一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果 解答過程不要漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果 3 寫出下列各隨機(jī)變量的可能取值 并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果 1 盒中裝有6支白粉筆和8支紅粉筆 從中任意取出3支 其中所含白粉筆的支數(shù)X 2 從4張已編號 1號 4號 的卡片中任意取出2張 被取出的卡片號數(shù)之和X 解析 1 X可取0 1 2 3 X i表示取出i支白粉筆 3 i支紅粉筆 其中i 0 1 2 3 2 X可取3 4 5 6 7 其中 X 3 表示取出分別標(biāo)有1 2的兩張卡片 X 4 表示取出分別標(biāo)有1 3的兩張卡片 X 5 表示取出分別標(biāo)有1 4或2 3的兩張卡片 X 6 表示取出分別標(biāo)有2 4的兩張卡片 X 7 表示取出分別標(biāo)有3 4的兩張卡片 一個(gè)口袋里有5個(gè)同樣大小的球 編號為1 2 3 4 5 從中同時(shí)取出3個(gè)球 以X表示取出的球的最小編號 求離散型隨機(jī)變量X的分布列 思路導(dǎo)引 求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟 1 找出離散型隨機(jī)變量X的所有可能取的值xi i 0 1 2 求出各取值的概率P X xi pi 3 列成表格 求隨機(jī)變量的分布列 求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟 1 找出隨機(jī)變量所有的可能取值xi i 1 2 3 n 2 求出相應(yīng)的概率P x xi Pi i 1 2 3 n 3 列成表格形式 4 一接待中心有A B C D四部熱線電話 已知某一時(shí)刻電話A B占線的概率均為0 5 電話C D占線的概率均為0 4 各部電話是否占線相互之間沒有影響 假設(shè)該時(shí)刻有 部電話占線 試求隨機(jī)變量 的概率分布列 袋中有7個(gè)球 其中有4個(gè)紅球 3個(gè)黑球 從袋中任取3個(gè)小球 求取出的紅球數(shù) 的分布列及P 2