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1、專題42圓錐曲線知識點與典型例題(解版)
第一、知識儲備：
1.直線方程的形式
(1)直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、微距式、一般式。
(2)與直線相關(guān)的重要內(nèi)容
①傾斜角與斜率Z = tana,i ￡[0,]) k =———
x2 -x1
②點 P(Xo，%)到直線 Ax + ￡y + C = O 的距離 d= +￡
Va2 + B2
… /. :y = k.x+b. \k.-kA
③夾角公式：直線? ' 夾角為a, 則tana = |———L
l2'.y = k、x+b2 11 + k2k[ |
(3)弦長公式
直線y = Ax+6上兩點4與，,),
2、8(工2，月)間的距離
①|(zhì)+(y2-yl)2 ②|= Jl + 公 \xt-x^ = ^(l + k2)^ +x2)2-4x1x2]
③ |AB| =，1 + 5|弘一、2|
(4)兩條直線的位置關(guān)系
/. : y = k,x + h,
(1) 1 1 1
/2: y = k2x-^b2
①11tl2 =及卜2=?1 ②4 〃，2 =占=無2且"l W "2
(H)4：Ax+&y+G=。
I、: A^x + B->y 4- C*2 = 0
① Z1 _L 11 A Af + = 0
ABC
② /,///-, <=> ^^一人月二0 且w 0 或--=―-w --者(
3、A,B,C)w 0)
4 B] C2
-IC-CJ 距離d =匕2=^^
兩平行線距離公式
1] : y = kx-^h]
l2: y = kx + b2
…14al 距離d = -?
J1 + —2
4 : Ar + By + G = 0 /2: Av+ By + C2 =0
二、橢圓、雙曲線、拋物線:
橢圓
雙曲線
拋物線
定義
1 .到兩定點件,七的距離之 和為定值2a(2a>|FFz|)的 點的軌跡
2 .與定點和直線的距離之 比為定值e的點的軌跡. (0
4、Fzl) 的點的軌跡
2 .與定點和直線的距離之比為 定值e的點的軌跡.(e>l)
與定點和直線的距離相等的 點的軌跡.
軌跡條件
點集:({Ml | MFi+ 1 MF2 1 =2a, I F iF2 1 <2a}.
點集：{M 1 1 MF, 1 - 1 MF2 1 . = ±2a, I FzFz 1 >2a}.
點集｛Ml 到直
線1的距離｝.
圖形
* M
一 qrb 一
31 L
￡
*
1
了一,
a,
一
一
方 程
標(biāo)準(zhǔn) 方程
2 2
—-+ 二^ = 1 (a > b >0)
5、a2 b2
v2 V2
—— — 1 (a>0, b>0)
a2 h2
y2 = 2px
參數(shù) 方程
[x = acosff
[y = Osin。
(參數(shù)以離心角)
fx = asecO
= Otan。
(參數(shù)處/離心角)
lx = ipt' (t 為參數(shù)) [y = 2pt
范圍
-a a, yeR
x>0
中心
原點0 (0, 0)
原點0 (0, 0)
頂點
(a,0), (—a,0), (0,b) , (0,—b)
(a,0), (—a,0)
(0,0)
對稱軸
x軸，y軸； 長軸長2a,短軸長
6、2b
x軸，y軸； 實軸長2a,虛軸長2b.
X軸
焦點
Fi(c,O), F2(—c,0)
Fi(c,O), Fz(—c,0)
F(f，O) 2
準(zhǔn)線
a2 x=± — c
準(zhǔn)線垂直于長軸，且在橢圓 外.
a2 x=± — c
準(zhǔn)線垂直于實軸，且在兩頂點的 內(nèi)側(cè).
_ p x-
2
準(zhǔn)線與焦點位于頂點兩側(cè)， 且到頂點的距離相等.
焦距
2c (c=yla2 -h~ )
2c Cc=\la2 +b2 )
離心率
e = ￡(O 1) a
e=l
焦半徑
P(x。，y。)為圓錐曲線上一點，F(xiàn)? Fz分別為左、右
7、焦點
PFi |=a+exo 1 PF2| =a-exo
P在右支時： P在左支時：
| PFi =a+exo PFi | 二-a-exo
1 PF21 =-a+ex0 IPF21 =a-ex0
|PF|=xo+E
2
【備注1]雙曲線:
⑶等軸雙曲線：雙曲線/-丫2=±/稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為丫 =出，離心率e =后.
⑷共朝雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共朝雙曲線.W-4 = /l與
a2 b2
互為共朝雙曲線，它們具有共同的漸近線：4-4=0-
a2 b2 a2 b2
2 2 2 2
⑸共漸近線的雙曲線系方程
8、：的漸近線方程為二-二=。如果雙曲線的漸近線為±±2 = 0時,
a2 b2 a2 b2 a b
它的雙曲線方程可設(shè)為
a" b~
【備注2】拋物線: (1)拋物線y2=2px(p>0)的焦點坐標(biāo)是(§,°)，準(zhǔn)線方程X=/，開口向右；拋物線y2=-2px(p〉0)的焦點坐
標(biāo)是(-3,0),準(zhǔn)線方程*=￡,開口向左；拋物線x2=2py(p>0)的焦點坐標(biāo)是(0, K),準(zhǔn)線方程丫=-￡ ,開
2 2 2 2
口向上；
拋物線/=-2py (p>0)的焦點坐標(biāo)是(0,--),準(zhǔn)線方程丫="，開口向下. 2 2
(2)拋物線 y2 =2px(p>0)上的點 M(x0, y0)與
9、焦點 F 的距離 |A/F| = x0 4--^ ；拋物線 y2 =-2px(p>0)上的點 M(xO, yO)
與焦點F的距離
(3)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),則拋物線的焦點到其頂點的距離為K,頂點到準(zhǔn)線的距離K,焦點
2 2
到準(zhǔn)線的距離為p.
(4)已知過拋物線y2 =2px(p〉0)焦點的直線交拋物線于A,B兩點，則線段AB稱為焦點弦，設(shè)A(xl.yl) ,B(x2,y2), 則弦長|A耳=X|+尤2+p或|Aq =」^*(a為直線ab的傾斜角)，y}y2=-p2 -尤氏=?，|af| = x+](|af|
叫做焦半徑).
橢圓典型例題
一、已知橢圓焦點的位置，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
例1：已知橢圓的焦點是Q(O, —1)、B(0,D，P是橢圓上一點，并且尸B + PF2=2QB，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 解：由 FQ + PB=2FiF2=2X2=4,得 2。=4.又 c=1,所以從=3.
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是'+1=1.
2.已知橢圓的兩個焦點為凡(一 1,0),卬,0)，且2a=10,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
2 2
解：由橢圓定義知c=L .?"=/=!=弧. ???橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程端+就=1.
二、未知橢圓焦點的位置，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題 專題42 圓錐曲線知識點與典型例題
