2018年高考數(shù)學(xué)（浙江專用）總復(fù)習(xí)教師用書：第2章 第4講　冪函數(shù)與二次函數(shù) Word版含解析

第4講冪函數(shù)與二次函數(shù)最新考綱1.了解冪函數(shù)的概念；掌握冪函數(shù)yx，yx2，yx3，yx，y的圖象和性質(zhì)；2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問題.知 識(shí) 梳 理1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如yx的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，為常數(shù).(2)常見的5種冪函數(shù)的圖象(3)常見的5種冪函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)特征性質(zhì)yxyx2yx3yxyx1定義域RRR0，)x|xR，且x0值域R0，)R0， )y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0).頂點(diǎn)式：f(x)a(xm)2n(a0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n).零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn).(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)圖象定義域(，)(，)值域單調(diào)性在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減對(duì)稱性函數(shù)的圖象關(guān)于x對(duì)稱診 斷 自 測(cè)1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“×”)(1)函數(shù)y2x是冪函數(shù).()(2)當(dāng)n>0時(shí)，冪函數(shù)yxn在(0，)上是增函數(shù).()(3)二次函數(shù)yax2bxc(xR)不可能是偶函數(shù).()(4)二次函數(shù)yax2bxc(xa，b)的最值一定是.()解析(1)由于冪函數(shù)的解析式為f(x)x，故y2x不是冪函數(shù)，(1)錯(cuò).(3)由于當(dāng)b0時(shí)，yax2bxcax2c為偶函數(shù)，故(3)錯(cuò).(4)對(duì)稱軸x，當(dāng)小于a或大于b時(shí)，最值不是，故(4)錯(cuò).答案(1)×(2)(3)×(4)×2.(2016·全國卷)已知a2，b3，c25，則()A.b<a<c B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b解析因?yàn)閍24，b3，c5又yx在(0，)上是增函數(shù)，所以c>a>b.答案A3.已知f(x)x2pxq滿足f(1)f(2)0，則f(1)的值是()A.5 B.5 C.6 D.6解析由f(1)f(2)0知方程x2pxq0的兩根分別為1，2，則p3，q2，f(x)x23x2，f(1)6.答案C4.(2017·杭州測(cè)試)若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，則f(1)_，若滿足f(4)8f(2)，則f_.解析由題意可設(shè)f(x)x，則f(1)1，由f(4)8f(2)得48×2，解得3，所以f(x)x3，故f.答案15.若冪函數(shù)y(m23m3)xm2m2的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為_.解析由解得m1或2.經(jīng)檢驗(yàn)m1或2都適合.答案1或26.若函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，3上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.解析二次函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸是x1a，由題意知1a3，a2.答案(，2考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例1】 (1)(2017·濟(jì)南診斷測(cè)試)已知冪函數(shù)f(x)k·x的圖象過點(diǎn)，則k等于()A. B.1 C. D.2(2)若(2m1)>(m2m1)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B.C.(1，2) D.解析(1)由冪函數(shù)的定義知k1.又f，所以，解得，從而k.(2)因?yàn)楹瘮?shù)yx的定義域?yàn)?，)，且在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以不等式等價(jià)于解得即m<2.答案(1)C(2)D規(guī)律方法(1)可以借助冪函數(shù)的圖象理解函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性；(2)的正負(fù)：當(dāng)>0時(shí)，圖象過原點(diǎn)和(1，1)，在第一象限的圖象上升；當(dāng)<0時(shí)，圖象不過原點(diǎn)，過(1，1)，在第一象限的圖象下降.(3)在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【訓(xùn)練1】 (1)冪函數(shù)yf(x)的圖象過點(diǎn)(4，2)，則冪函數(shù)yf(x)的圖象是()(2)已知冪函數(shù)f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，)上是減函數(shù)，則n的值為()A.3 B.1 C.2 D.1或2解析(1)設(shè)f(x)x(R)，則42，因此f(x)x，根據(jù)圖象的特征，C正確.(2)冪函數(shù)f(x)(n22n2)xn23n在(0，)上是減函數(shù)，n1，又n1時(shí)，f(x)x2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故n1.答案(1)C(2)B考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【例2】 (2017·湖州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)x22ax3，x4，6.(1)當(dāng)a2時(shí)，求f(x)的最值；(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間4，6上是單調(diào)函數(shù)；(3)當(dāng)a1時(shí)，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間.解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)x24x3(x2)21，由于x4，6，f(x)在4，2上單調(diào)遞減，在2，6上單調(diào)遞增，f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對(duì)稱軸是xa，所以要使f(x)在4，6上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有a4或a6，即a6或a4，故a的取值范圍是(，64，).(3)當(dāng)a1時(shí)，f(|x|)x22|x|3其圖象如圖所示，又x4，6，f(|x|)在區(qū)間4，1)和0，1)上為減函數(shù)，在區(qū)間1，0)和1，6上為增函數(shù).規(guī)律方法解決二次函數(shù)圖象與性質(zhì)問題時(shí)要注意：(1)拋物線的開口、對(duì)稱軸位置、定義區(qū)間三者相互制約，常見的題型中這三者有兩定一不定，要注意分類討論；(2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤其是給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)，事半功倍.【訓(xùn)練2】 (1)設(shè)abc>0，二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象可能是()(2)(2017·武漢模擬)若函數(shù)f(x)(xa)(bx2a)(常數(shù)a，bR)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?，4，則該函數(shù)的解析式f(x)_.解析(1)由A，C，D知，f(0)c<0，從而由abc>0，所以ab<0，所以對(duì)稱軸x>0，知A，C錯(cuò)誤，D滿足要求；由B知f(0)c>0，所以ab>0，所以x<0，B錯(cuò)誤.(2)由f(x)是偶函數(shù)知f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，b2，f(x)2x22a2，又f(x)的值域?yàn)?，4，2a24，故f(x)2x24.答案(1)D(2)2x24考點(diǎn)三二次函數(shù)的應(yīng)用(多維探究)命題角度一二次函數(shù)的恒成立問題【例31】 已知二次函數(shù)f(x)ax2bx1(a，bR)，xR.(1)若函數(shù)f(x)的最小值為f(1)0，求f(x)的解析式，并寫出單調(diào)區(qū)間；(2)在(1)的條件下，f(x)>xk在區(qū)間3，1上恒成立，試求k的取值范圍.解(1)由題意知解得所以f(x)x22x1，由f(x)(x1)2知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，1.(2)由題意知，x22x1>xk在區(qū)間3，1上恒成立，即k<x2x1在區(qū)間3，1上恒成立，令g(x)x2x1，x3，1，由g(x)知g(x)在區(qū)間3，1上是減函數(shù)，則g(x)ming(1)1，所以k<1，故k的取值范圍是(，1).規(guī)律方法(1)對(duì)于函數(shù)yax2bxc，若是二次函數(shù)，就隱含著a0，當(dāng)題目未說明是二次函數(shù)時(shí)，就要分a0和a0兩種情況討論.(2)由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，常用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，其依據(jù)是af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.【訓(xùn)練3】 (2016·九江模擬)已知f(x)x22(a2)x4，如果對(duì)x3，1，f(x)0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_.解析因?yàn)閒(x)x22(a2)x4，對(duì)稱軸x(a2)，對(duì)x3，1，f(x)0恒成立，所以討論對(duì)稱軸與區(qū)間3，1的位置關(guān)系得：或或解得a或1a4或a1，所以a的取值范圍為.答案命題角度二二次函數(shù)的零點(diǎn)問題【例32】 (2016·全國卷)已知函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)f(2x)，若函數(shù)y|x22x3|與yf(x)圖象的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，則xi()A.0 B.m C.2m D.4m解析由f(x)f(2x)知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱.又y|x22x3|(x1)24|的圖象也關(guān)于直線x1對(duì)稱，所以這兩函數(shù)的交點(diǎn)也關(guān)于直線x1對(duì)稱.不妨設(shè)x1<x2<<xm，則1，即x1xm2，同理有x2xm12，x3xm22，又xixmxm1xi，所以2xi(x1xm)(x2xm1)(xmx1)2m，所以xim.答案B規(guī)律方法(1)解本題的關(guān)鍵是抓住兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，利用中點(diǎn)公式求解，考查分類討論、數(shù)形結(jié)合思想.(2)涉及二次函數(shù)的零點(diǎn)常與判別式有關(guān)，常借助函數(shù)的圖象的直觀性實(shí)施數(shù)形轉(zhuǎn)化.【訓(xùn)練4】 (2017·麗水一模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x22x，如果函數(shù)g(x)f(x)m(mR)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是_.解析函數(shù)g(x)f(x)m(mR)恰有4個(gè)零點(diǎn)可化為函數(shù)yf(x)的圖象與直線ym恰有4個(gè)交點(diǎn)，作函數(shù)yf(x)與ym的圖象如圖所示，故m的取值范圍是(1，0).答案(1，0)思想方法1.冪函數(shù)yx(R)圖象的特征>0時(shí)，圖象過原點(diǎn)和(1，1)點(diǎn)，在第一象限的部分“上升”；<0時(shí)，圖象不過原點(diǎn)，經(jīng)過(1，1)點(diǎn)在第一象限的部分“下降”，反之也成立.2.求二次函數(shù)的解析式就是確定函數(shù)式f(x)ax2bxc(a0)中a，b，c的值.應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件選用適當(dāng)?shù)谋磉_(dá)形式，用待定系數(shù)法確定相應(yīng)字母的值.3.二次函數(shù)與一元二次不等式密切相關(guān)，借助二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可直觀地解決與不等式有關(guān)的問題.4.二次函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱軸緊密相連，二次函數(shù)的最值問題要根據(jù)其圖象以及所給區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系確定.易錯(cuò)防范1.冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).2.對(duì)于函數(shù)yax2bxc，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足a0，當(dāng)題目條件中未說明a0時(shí)，就要討論a0和a0兩種情況.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1.(2017·鄭州外國語學(xué)校期中)已知1，1，2，3，則使函數(shù)yx的值域?yàn)镽，且為奇函數(shù)的所有的值為()A.1，3 B.1，1C.1，3 D.1，1，3解析因?yàn)楹瘮?shù)yx為奇函數(shù)，故的可能值為1，1，3.又yx1的值域?yàn)閥|y0，函數(shù)yx，yx3的值域都為R.所以符合要求的的值為1，3.答案A2.已知a，b，cR，函數(shù)f(x)ax2bxc.若f(0)f(4)>f(1)，則()A.a>0，4ab0 B.a<0，4ab0C.a>0，2ab0 D.a<0，2ab0解析因?yàn)閒(0)f(4)>f(1)，所以函數(shù)圖象應(yīng)開口向上，即a>0，且其對(duì)稱軸為x2，即2，所以4ab0.答案A3.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)yxa(a0)和yax的圖象可能是()解析若a<0，由yxa的圖象知排除C，D選項(xiàng)，由yax的圖象知應(yīng)選B；若a>0，yxa的圖象知排除A，B選項(xiàng)，但yax的圖象均不適合，綜上選B.答案B4.若函數(shù)f(x)x2axa在區(qū)間0，2上的最大值為1，則實(shí)數(shù)a等于()A.1 B.1C.2 D.2解析函數(shù)f(x)x2axa的圖象為開口向上的拋物線，函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)取得，f(0)a，f(2)43a，或解得a1.答案B5.若關(guān)于x的不等式x24x2a>0在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(，2) B.(2，)C.(6，) D.(，6)解析不等式x24x2a>0在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解等價(jià)于a<(x24x2)max，令f(x)x24x2，x(1，4)，所以f(x)<f(4)2，所以a<2.答案A二、填空題6.已知P2，Q，R，則P，Q，R的大小關(guān)系是_.解析P2，根據(jù)函數(shù)yx3是R上的增函數(shù)，且>>，得>>，即P>R>Q.答案P>R>Q7.若f(x)x22ax與g(x)在區(qū)間1，2上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是_.解析由f(x)x22ax在1，2上是減函數(shù)可得1，2a，)，a1.y在(1，)上為減函數(shù)，由g(x)在1，2上是減函數(shù)可得a>0，故0<a1.答案(0，18.(2017·湖州調(diào)研)已知f(x1)x25x4.(1)f(x)的解析式為_；(2)當(dāng)x0，5時(shí)，f(x)的最大值和最小值分別是_.解析(1)f(x1)x25x4，令x1t，則xt1，f(t)(t1)25(t1)4t27t10，f(x)x27x10.(2)f(x)x27x10，其圖象開口向上，對(duì)稱軸x，x0，5，f，又f(0)10，f(5)0.f(x)的最大值為10，最小值為.答案(1)x27x10(2)10，三、解答題9.已知冪函數(shù)f(x)x(m2m)1(mN*)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，)，試確定m的值，并求滿足條件f(2a)>f(a1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍.解冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，)，2(m2m)1，即22(m2m)1.m2m2.解得m1或m2.又mN*，m1.f(x)x，則函數(shù)的定義域?yàn)?，)，并且在定義域上為增函數(shù).由f(2a)>f(a1)得解得1a<.a的取值范圍為.10.已知函數(shù)f(x)x2(2a1)x3.(1)當(dāng)a2，x2，3時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)f(x)在1，3上的最大值為1，求實(shí)數(shù)a的值.解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)x23x3，x2，3，對(duì)稱軸x2，3，f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，值域?yàn)?(2)對(duì)稱軸為x.當(dāng)1，即a時(shí)，f(x)maxf(3)6a3，6a31，即a滿足題意；當(dāng)>1，即a<時(shí)，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即a1滿足題意.綜上可知，a或1.能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)11.(2016·浙江卷)已知函數(shù)f(x)x2bx，則“b<0”是“f(f(x)的最小值與f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析f(x)x2bx，當(dāng)x時(shí)，f(x)min.又f(f(x)(f(x)2bf(x)，當(dāng)f(x)時(shí)，f(f(x)min，當(dāng)時(shí)，f(f(x)可以取到最小值，即b22b0，解得b0或b2，故“b<0”是“f(f(x)的最小值與f(x)的最小值相等”的充分不必要條件.答案A12.(2017·長沙一中期中測(cè)試)函數(shù)f(x)(m2m1)·x4m9m51是冪函數(shù)，對(duì)任意的x1，x2(0，)，且x1x2，滿足>0，若a，bR，且ab>0，則f(a)f(b)的值()A.恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.無法判斷解析依題意，冪函數(shù)f(x)在(0，)上是增函數(shù)，解得m2，則f(x)x2 015.函數(shù)f(x)x2 015在R上是奇函數(shù)，且為增函數(shù).由ab>0，得a>b，f(a)>f(b)，則f(a)f(b)>0.答案A13.已知函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.解析作出函數(shù)yf(x)的圖象如圖.則當(dāng)0<k<1時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)k有兩個(gè)不同的實(shí)根.答案(0，1)14.已知函數(shù)f(x)ax2bxc(a>0，bR，cR).(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(xiàn)(x)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在區(qū)間(0，1上恒成立，試求b的取值范圍.解(1)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2，f(x)(x1)2.F(x)F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)由a1，c0，得f(x)x2bx，從而|f(x)|1在區(qū)間(0，1上恒成立等價(jià)于1x2bx1在區(qū)間(0，1上恒成立，即bx且bx在(0，1上恒成立.又x的最小值為0，x的最大值為2.2b0.故b的取值范圍是2，0.15.(2016·嘉興模擬)已知mR，函數(shù)f(x)x2(32m)x2m.(1)若0<m，求|f(x)|在1，1上的最大值g(m)；(2)對(duì)任意的m(0，1，若f(x)在0，m上的最大值為h(m)，求h(m)的最大值.解(1)f(x)，則對(duì)稱軸為x，由0<m，得0<2m1，則1<，故函數(shù)f(x)在1，1上為增函數(shù)，則當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，f(1)4m；當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值f(1)3m2.又0<m，0<3m，2<3m2，則|f(1)|3m2|，|f(1)|4m|4m，則|f(1)|>|f(1)|，即|f(x)|在1，1上的最大值g(m)f(1)4m.(2)由(1)知函數(shù)的對(duì)稱軸為x，且函數(shù)開口向下，由0<m1，則0<2m2，所以<，若m，即0<m時(shí)，函數(shù)f(x)在0，m上單調(diào)遞增，則最大值h(m)f(m)3m24m2.若m>，即<m1時(shí)，函數(shù)f(x)在0，m上不單調(diào)，此時(shí)當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值h(m)m22m，即h(m)當(dāng)0<m時(shí)，h(m)3m24m2的對(duì)稱軸為m，即當(dāng)m時(shí)，函數(shù)h(m)取得最大值h3×4×2.當(dāng)<m1時(shí)，h(m)m22m的對(duì)稱軸為m1，此時(shí)函數(shù)h(m)在上為減函數(shù)，則函數(shù)h(m)<h2×<.所以h(m)的最大值為.