（浙江專用）2018年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理、概率 第8講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差學(xué)案

《（浙江專用）2018年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理、概率 第8講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2018年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理、概率 第8講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差學(xué)案（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第8講　離散型隨機(jī)變量的均值與方差 最新考綱　1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念；2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題. 知 識(shí) 梳 理 1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差 若離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平. (2)方差 稱D(X)＝__(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫(huà)了隨機(jī)變量

2、X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差. 2.均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù)). 3.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差 (1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 診 斷 自 測(cè) 1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)期望值就是算術(shù)平均數(shù)，與概率無(wú)關(guān).(　　) (2)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量.(　　) (3)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值

3、偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平均程度越小.(　　) (4)均值與方差都是從整體上刻畫(huà)離散型隨機(jī)變量的情況，因此它們是一回事.(　　) 解析　均值即期望值刻畫(huà)了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，而方差刻畫(huà)了離散型隨機(jī)變量的取值偏離期望值的平均程度，因此它們不是一回事，故(1)(4)均不正確. 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.(選修2－3P68T1改編)已知X的分布列為 X －1 0 1 P 設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為(　　) A. B.4 C.－1 D.1 解析　E(X)＝－＋＝－， E(Y)＝E(2X＋3

4、)＝2E(X)＋3＝－＋3＝. 答案　A 3.已知某離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表，則隨機(jī)變量X的方差D(X)等于(　　) X 0 1 P m 2m A. B. C. D. 解析　由已知得m＋2m＝1得m＝，由于X服從兩點(diǎn)分布，所以D(X)＝m·2m＝. 答案　B 4.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝(k＝2，4，6，8，10)，則D(X)等于________. 解析　∵E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6， ∴D(X)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8. 答案　8 5.(2015·廣東卷)已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)

5、，若E(X)＝30，D(X)＝20，則p＝________. 解析　由于X～B(n，p)，且E(X)＝30，D(X)＝20. 所以解之得p＝. 答案　 6.某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為社區(qū)志愿者，若用隨機(jī)變量X表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示). 解析　隨機(jī)變量X只能取0，1，2三個(gè)數(shù)， 因?yàn)镻(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，故E(X)＝1×＋2×＝. 答案　 考點(diǎn)一　一般分布列的均值與方差 【例1】 (2017·臺(tái)州調(diào)研)為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑

6、雪場(chǎng)開(kāi)展滑雪促銷活動(dòng).該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來(lái)該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過(guò)1小時(shí)離開(kāi)的概率分別為，；1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)離開(kāi)的概率分別為，；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí). (1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率； (2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ)，方差D(ξ). 解　(1)兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0，40，80元， 兩人都付0元的概率為P1＝×＝， 兩人都付40元的概率為P2＝×＝， 兩人都付80元的

7、概率為 P3＝×＝×＝， 則兩人所付費(fèi)用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝. (2)設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為ξ，ξ可能取值為0，40，80，120，160，則： P(ξ＝0)＝×＝； P(ξ＝40)＝×＋×＝； P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝； P(ξ＝120)＝×＋×＝； P(ξ＝160)＝×＝. ξ的分布列為 ξ 0 40 80 120 160 P E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80. D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝. 規(guī)律方法

8、　(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算. (2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的應(yīng)用. 【訓(xùn)練1】 根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對(duì)工期的影響如下表： 降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延誤天數(shù)Y 0 2 6 10 歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，求： (1)工程延誤天數(shù)Y的均值與方差； (2)在降水量X至少是30

9、0 mm的條件下，工期延誤不超過(guò)6天的概率. 解　(1)由條件和概率的加法公式有：P(X<300)＝0.3， P(300≤X＜700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2， P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y的分布列為： Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3； D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×

10、0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8. (2)由概率加法公式， 得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7， 又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6. 由條件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝＝＝. 故在降水量X至少是300 mm的條件下，工期延誤不超過(guò)6天的概率是. 考點(diǎn)二　與二項(xiàng)分布有關(guān)的均值、方差 【例2】 (2017·北京海淀區(qū)模擬)某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為，中

11、獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分.每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品. (1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為X，求X≤3的概率； (2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問(wèn)：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？ 解　(1)由已知得，小明中獎(jiǎng)的概率為，小紅中獎(jiǎng)的概率為，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響. 記“這2人的累計(jì)得分X≤3”的事件為A， 則事件A的對(duì)立事件為“X＝5”， 因?yàn)镻(X＝5)＝×＝， 所以P(A)＝1－P(X＝5)＝， 即這2人的累計(jì)得分X≤3的概率為. (2)法一　設(shè)小

12、明、小紅都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X2). 由已知可得，X1～B，X2～B， 所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝， 因此E(2X1)＝2E(X1)＝， E(3X2)＝3E(X2)＝. 因?yàn)镋(2X1)>E(3X2)， 所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大. 法二　設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為Y1，都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分為Y2，則Y1，Y2的分布列為： Y1 0 2 4 P 　

13、Y2 0 3 6 P ∴E(Y1)＝0×＋2×＋4×＝， E(Y2)＝0×＋3×＋6×＝， 因?yàn)镋(Y1)>E(Y2)， 所以二人都選擇方案甲抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大. 規(guī)律方法　二項(xiàng)分布的期望與方差. (1)如果ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大減少計(jì)算量. (2)有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，這時(shí)，可以綜合應(yīng)用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同樣還可求出D(aξ＋b). 【訓(xùn)練2】 (2017·諸暨模擬)甲、乙、丙三人準(zhǔn)備報(bào)考

14、某大學(xué)，假設(shè)甲考上的概率為，甲、丙都考不上的概率為，乙、丙都考上的概率為，且三人能否考上相互獨(dú)立. (1)求乙、丙兩人各自考上的概率； (2)設(shè)X表示甲、乙、丙三人中考上的人數(shù)與沒(méi)考上的人數(shù)之差的絕對(duì)值，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望. 解　(1)設(shè)A表示“甲考上”，B表示“乙考上”，C表示“丙考上”， 則P(A)＝，且 解得P(C)＝，P(B)＝. ∴乙考上的概率為，丙考上的概率為. (2)由題意X的可能取值為1，3， P(X＝1)＝××＋××＋××＋××＋××＋××＝， P(X＝3)＝××＋××＝， ∴X的分布列為： X 1 3 P EX＝1×＋3×＝. 考

15、點(diǎn)三　均值與方差在決策中的應(yīng)用 【例3】 計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站.過(guò)去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過(guò)120的年份有35年，超過(guò)120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立. (1)求未來(lái)4年中，至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率； (2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系： 年入流量X 40120

16、 發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù) 1 2 3 若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤(rùn)為5 000萬(wàn)元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)元.欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？ 解　(1)依題意，p1＝P(40120)＝＝0.1. 由二項(xiàng)分布，在未來(lái)4年中至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率為 p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝＋4××＝0.947 7. (2)記水電站年總利潤(rùn)為Y(單位：萬(wàn)元). ①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形. 由于水庫(kù)年入流量總大于40，故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概

17、率為1， 對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000. ②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形. 依題意，當(dāng)40

18、0時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y＝5 000－1 600＝3 400，因此P(Y＝3 400)＝P(40120時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.因此得Y的分布列如下： Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1

19、＝8 620. 綜上，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái). 規(guī)律方法　隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫(huà)了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值，若均值相同，再用方差來(lái)決定. 【訓(xùn)練3】 (2017·貴州調(diào)研)某投資公司在2018年年初準(zhǔn)備將1 000萬(wàn)元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇： 項(xiàng)目一：新能源汽車.據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和； 項(xiàng)目二：通信設(shè)備.據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲

20、利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為，和. 針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說(shuō)明理由. 解　若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X1萬(wàn)元.則X1的分布列為 X1 300 －150 P ∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(萬(wàn)元). 若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利X2萬(wàn)元， 則X2的分布列為： X2 500 －300 0 P ∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(萬(wàn)元). D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000， D(X2)＝(500

21、－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000. 所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)