高二數(shù)學人教B版選修45講義：第二章 2．1 柯西不等式 Word版含解析

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1、 2．1柯西不等式 [讀教材·填要點] 1．平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式 (1)定理1(柯西不等式的代數(shù)形式) 設a1，a2，b1，b2均為實數(shù)，則 (a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2. 上式等號成立?a1b2＝a2b1. (2)定理2(柯西不等式的向量形式) 設α，β為平面上的兩個向量，則 |α||β|≥|α·β| 上式中等號成立?向量α和β共線(平行)?存在實數(shù)λ≠0，使得α＝λβ. (3)定理3：設a1，a2，b1，b2為實數(shù)，則 ＋≥ 等號成立?存在非負實數(shù)μ及λ，使得 μa1＝λb1，μa2＝λb2. (4)定

2、理4(平面三角不等式) 設a1，a2，b1，b2，c1，c2為實數(shù)，則 ＋≥ . 等號成立?存在非負實數(shù)λ及μ使得： μ(a1－b1)＝λ(b1－c1)，μ(a2－b2)＝λ(b2－c2)． (5)定理5：設α，β，γ為平面向量，則 |α－β|＋|β－γ|≥|α－γ| 當α－β，β－γ為非零向量時，上面不等式中等號成立?存在正常數(shù)λ，使得α－β＝λ(β－γ)?向量α－β與β－γ同向，即夾角為零． 2．柯西不等式的一般形式 定理　設a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn為實數(shù)，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|， 其中等號成立?＝

3、＝…＝(當某bj＝0時，認為aj＝0，j＝1,2，…，n) [小問題·大思維] 1．在平面上的柯西不等式的代數(shù)形式中，取等號的條件可以寫成＝嗎？ 提示：不可以．當a2·b2＝0時，柯西不等式成立， 但＝不成立． 2．在一般形式的柯西不等式的右端中，表達式寫成ai·bi(i＝1,2,3，…，n)，可以嗎？ 提示：不可以，ai·bi的順序要與左側(cè)ai，bi的順序一致． 3．在一般形式的柯西不等式中，等號成立的條件記為ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以嗎？ 提示：不可以．若bi＝0而ai≠0，則k不存在． 利用平面上的柯西不等式證明有關不等式 [例1

4、]　已知a，b，c為正數(shù)，且滿足acos2θ＋bsin2 θ

5、均為正實數(shù)，且a＋b＝2. 求證：＋≥2. 證明：根據(jù)柯西不等式，有 [(2－a)＋(2－b)] ＝[()2＋()2] ≥2 ＝(a＋b)2＝4. ∴＋≥＝2. ∴原不等式成立. 利用一般形式的柯西不等式證明不等式 [例2]　設a，b，c為正數(shù)，且不全相等． 求證：＋＋>. [思路點撥]　本題考查三維形式的柯西不等式的應用．解答本題需要構(gòu)造兩組數(shù)據(jù)，，；，，，然后利用柯西不等式解決． [精解詳析]　構(gòu)造兩組數(shù)，，；，，，則由柯西不等式得 (a＋b＋b＋c＋c＋a)≥(1＋1＋1)2，① 即2(a＋b＋c)≥9， 于是＋＋≥. 由柯西不等式知，①中有等號

6、成立?＝＝?a＋b＝b＋c＝c＋a?a＝b＝c. 因題設，a，b，c不全相等，故①中等號不成立， 于是＋＋>. 柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征可以記為(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2，其中ai，bi均為正實數(shù)(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式時(要注意從整體上把握柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征)，準確地構(gòu)造公式左側(cè)的兩個數(shù)組是解決問題的關鍵． 2．設a，b，c為正數(shù)，求證：＋＋≥a＋b＋c. 證明：∵(a＋b＋c) ＝·[()2＋()2＋()2] ≥2＝(a＋b＋c)2， 即(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2， 又a，b，c為正實數(shù)，∴a＋b＋c>0

7、. ∴＋＋≥a＋b＋c. 利用柯西不等式求最值 [例3]　設2x＋3y＋5z＝29，求函數(shù)u＝＋＋ 的最大值． [思路點撥]　本題考查三維柯西不等式的應用，解答本題需要利用好特定條件，設法去掉根號． [精解詳析]　根據(jù)柯西不等式 120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)] ≥(1×＋1×＋1×)2， 故＋＋≤2. 當且僅當2x＋1＝3y＋4＝5z＋6， 即x＝，y＝，z＝時等號成立， 此時umax＝2. 利用柯西不等式求最值時，關鍵是對原目標函數(shù)進行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果．同時，要注意等號成立的條件． 3．設x，y，z∈R，且滿足：x2＋

8、y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，則x＋y＋z＝________. 解析：根據(jù)柯西不等式可得，(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2＝14，所以要取到等號，必須滿足＝＝，結(jié)合x＋2y＋3z＝，可得x＋y＋z＝. 答案： [對應學生用書P30] 一、選擇題 1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，則a＋b的取值范圍是(　　) A．[－2，2]　　　　　 B．[－2，2] C．[－，] D．(－，] 解析：∵a2＋b2＝10， ∴(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2， 即20≥(a＋b)2， ∴－2≤a＋b≤2. 答案：A

9、 2．已知x，y∈R＋，且xy＝1，則的最小值為(　　) A．4 B．2 C．1 D． 解析：≥2＝4，故選A. 答案：A 3．已知4x2＋5y2＝1，則2x＋y的最大值是(　　) A. B．1 C．3 D．9 解析：∵2x＋y＝2x·1＋y·1≤·＝·＝. ∴2x＋y的最大值為. 答案：A 4．設a1，a2，…，an為實數(shù)，P＝，Q＝，則P與Q的大小關系為(　　) A．P>Q B．P≥Q C．P

10、∴ ·≥a1＋a2＋…＋an. 即得 ≥，∴P≥Q. 答案：B 二、填空題 5．設a，b，c，d，m，n都是正實數(shù)，P＝＋，Q＝·，則P與Q的大小________． 解析：由柯西不等式，得 P＝＋≤×＝× ＝Q. 答案：P≤Q 6．(陜西高考)設a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，則 的最小值為________． 解析：由柯西不等式得(ma＋nb)2≤(m2＋n2)(a2＋b2)，即m2＋n2≥5，當且僅當＝時等號成立，∴≥，∴所求最小值為. 答案： 7．函數(shù)y＝2cos x＋3的最大值為________． 解析：y＝2cos x＋3＝2cos x＋3

11、≤＝. 當且僅當＝，即tan x＝±時，函數(shù)有最大值. 答案： 8．已知x，y，z均為正實數(shù)，且x＋y＋z＝1，則＋＋的最小值為________． 解析：利用柯西不等式． 由于(x＋y＋z)≥ 2＝36， 所以＋＋≥36. 當且僅當x2＝y(tǒng)2＝z2，即x＝，y＝，z＝時，等號成立．∴＋＋的最小值為36. 答案：36 三、解答題 9．已知實數(shù)a、b、c滿足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1. 求證：－≤c≤1. 證明：因為a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1， 所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2. 由柯西不等式得： (12＋22)(a2＋b2)≥(a

12、＋2b)2， 5(1－c2)≥(1－c)2， 整理得，3c2－c－2≤0， 解得－≤c≤1.∴－≤c≤1. 10．已知x，y，z∈R，且x－2y－3z＝4，求x2＋y2＋z2的最小值． 解：由柯西不等式，得 [x＋(－2)y＋(－3)z]2≤[12＋(－2)2＋(－3)2](x2＋y2＋z2)， 即(x－2y－3z)2≤14(x2＋y2＋z2)， 即16≤14(x2＋y2＋z2)． 所以x2＋y2＋z2≥，當且僅當x＝＝，即當x＝，y＝－，z＝－時，x2＋y2＋z2的最小值為. 11．已知實數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，求a的最值． 解：由柯西不等式，有 (2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2， 即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2， 由條件可得，5－a2≥(3－a)2， 解得1≤a≤2，當且僅當＝＝時等號成立， 代入b＝，c＝，d＝時，amax＝2， 代入b＝1，c＝，d＝時，amin＝1.