第一講 數(shù)與式的運(yùn)算

第一講 數(shù)與式的運(yùn)算在初中，我們已學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)，知道字母可以表示數(shù)用代數(shù)式也可以表示數(shù)，我們把實(shí)數(shù)和代數(shù)式簡稱為數(shù)與式代數(shù)式中有整式（多項(xiàng)式、單項(xiàng)式）、分式、根式它們具有實(shí)數(shù)的屬性，可以進(jìn)行運(yùn)算在多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算中，我們學(xué)習(xí)了乘法公式（平方差公式與完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多項(xiàng)式的運(yùn)算簡便由于在高中學(xué)習(xí)中還會遇到更復(fù)雜的多項(xiàng)式乘法運(yùn)算，因此本節(jié)中將拓展乘法公式的內(nèi)容，補(bǔ)充三個數(shù)和的完全平方公式、立方和、立方差公式在根式的運(yùn)算中，我們已學(xué)過被開方數(shù)是實(shí)數(shù)的根式運(yùn)算，而在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會接觸到被開方數(shù)是字母的情形，但在初中卻沒有涉及，因此本節(jié)中要補(bǔ)充基于同樣的原因，還要補(bǔ)充“繁分式”等有關(guān)內(nèi)容一、乘法公式【公式1】證明： 等式成立【例1】計(jì)算：解：原式=說明：多項(xiàng)式乘法的結(jié)果一般是按某個字母的降冪或升冪排列【公式2】(立方和公式)證明: 說明:請同學(xué)用文字語言表述公式2.【例2】計(jì)算：解：原式=我們得到：【公式3】(立方差公式)請同學(xué)觀察立方和、立方差公式的區(qū)別與聯(lián)系，公式1、2、3均稱為乘法公式【例3】計(jì)算：（1）（2）（3）（4）解：（1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原式=說明：（1）在進(jìn)行代數(shù)式的乘法、除法運(yùn)算時，要觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是否滿足乘法公式的結(jié)構(gòu) （2）為了更好地使用乘法公式，記住1、2、3、4、20的平方數(shù)和1、2、3、4、10的立方數(shù)，是非常有好處的【例4】已知，求的值解： 原式=說明：本題若先從方程中解出的值后，再代入代數(shù)式求值，則計(jì)算較煩瑣本題是根據(jù)條件式與求值式的聯(lián)系，用整體代換的方法計(jì)算，簡化了計(jì)算請注意整體代換法本題的解法，體現(xiàn)了“正難則反”的解題策略，根據(jù)題求利用題知，是明智之舉【例5】已知，求的值解：原式= ，把代入得原式=說明：注意字母的整體代換技巧的應(yīng)用引申：同學(xué)可以探求并證明： 二、根式式子叫做二次根式，其性質(zhì)如下：(1) (2) (3) (4) 【例6】化簡下列各式：(1) (2) 解：(1) 原式=(2) 原式=說明：請注意性質(zhì)的使用：當(dāng)化去絕對值符號但字母的范圍未知時，要對字母的取值分類討論【例7】計(jì)算(沒有特殊說明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù))：(1) (2) (3) 解：(1) 原式=(2) 原式=(3) 原式=說明：(1)二次根式的化簡結(jié)果應(yīng)滿足：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式(2)二次根式的化簡常見類型有下列兩種：被開方數(shù)是整數(shù)或整式化簡時，先將它分解因數(shù)或因式，然后把開得盡方的因數(shù)或因式開出來；分母中有根式(如)或被開方數(shù)有分母(如)這時可將其化為形式(如可化為) ，轉(zhuǎn)化為 “分母中有根式”的情況化簡時，要把分母中的根式化為有理式，采取分子、分母同乘以一個根式進(jìn)行化簡(如化為，其中與叫做互為有理化因式)【例8】計(jì)算：(1) (2) 解：(1) 原式=(2) 原式= 說明：有理數(shù)的的運(yùn)算法則都適用于加法、乘法的運(yùn)算律以及多項(xiàng)式的乘法公式、分式二次根式的運(yùn)算【例9】設(shè)，求的值解：原式=說明：有關(guān)代數(shù)式的求值問題：(1)先化簡后求值；(2)當(dāng)直接代入運(yùn)算較復(fù)雜時，可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，倒推幾步，再代入條件，有時整體代入可簡化計(jì)算量三、分式當(dāng)分式的分子、分母中至少有一個是分式時，就叫做繁分式，繁分式的化簡常用以下兩種方法：(1) 利用除法法則；(2) 利用分式的基本性質(zhì)【例10】化簡解法一：原式=解法一：原式=說明：解法一的運(yùn)算方法是從最內(nèi)部的分式入手，采取通分的方式逐步脫掉繁分式，解法二則是利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡一般根據(jù)題目特點(diǎn)綜合使用兩種方法【例11】化簡解：原式=說明：(1) 分式的乘除運(yùn)算一般化為乘法進(jìn)行，當(dāng)分子、分母為多項(xiàng)式時，應(yīng)先因式分解再進(jìn)行約分化簡；(2) 分式的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是最簡分式或整式練 習(xí) A 組1二次根式成立的條件是()ABCD是任意實(shí)數(shù)2若，則的值是()ABCD3計(jì)算：(1) (2) (3) (4) 4化簡(下列的取值范圍均使根式有意義)：(1) (2) (3) (4) 5化簡：(1) (2) B 組1若，則的值為()：ABCD2計(jì)算：(1) (2) 3設(shè)，求代數(shù)式的值4當(dāng)，求的值5設(shè)、為實(shí)數(shù)，且，求的值6已知，求代數(shù)式的值7設(shè)，求的值8展開9計(jì)算10計(jì)算11化簡或計(jì)算：(1) (2) (3) (4) 第一講 習(xí)題答案A組1 C 2 A3 (1) (2) (3) (4) 45B組1 D 2 3 456 3 7891011