2018-2019學年九年級數(shù)學上冊 第二章 一元二次方程《一元二次方程的解法（三）--公式法因式分解法》知識講解及例題演練 （新版）北師大版

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1、 一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知識講解 【學習目標】 1. 理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，能熟練應用公式法解一元二次方程； 2. 正確理解因式分解法的實質(zhì)，熟練運用因式分解法解一元二次方程； 3. 通過求根公式的推導，培養(yǎng)學生數(shù)學推理的嚴密性及嚴謹性，滲透分類的思想． 【要點梳理】 要點一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 　　　一元二次方程，當時，. 2.一元二次方程根的判別式 一元二次方程根的判別式：． 　　　 ①當時，原方程有兩個不等的實數(shù)根； 　　　 ②當時，原方程有兩個相等的實數(shù)根； 　　　

2、 ③當時，原方程沒有實數(shù)根. 3.用公式法解一元二次方程的步驟 　 用公式法解關于x的一元二次方程的步驟： 　　　 ①把一元二次方程化為一般形式； 　　　 ②確定a、b、c的值（要注意符號）； 　　　 ③求出的值； 　　　 ④若，則利用公式求出原方程的解； 　　　 　若，則原方程無實根. 要點詮釋： （1）雖然所有的一元二次方程都可以用公式法來求解，但它往往并非最簡單的，一定要注意方法的選用. （2）一元二次方程，用配方法將其變形為： ①當時，右端是正數(shù)．因此，方程有兩個不相等的實根： ② 當時，右端是零．因此，方程有兩個相等的實根： ③ 當時，右端是負

3、數(shù)．因此，方程沒有實根. 要點二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步驟 　?。?）將方程右邊化為0； 　　（2）將方程左邊分解為兩個一次式的積； 　　（3）令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程； 　?。?）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要點詮釋： （1）能用分解因式法來解一元二次方程的結構特點：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個一次因式的積； （2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個因式的積為0，那么這兩個因

4、式中至少有一個等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意點：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時除以含有未知數(shù)的代數(shù)式. 【典型例題】 類型一、公式法解一元二次方程 1．解關于x的方程． 【答案與解析】 (1)當m+n＝0且m≠0，n≠0時，原方程可化為． ∵ m≠0，解得x＝1． (2)當m+n≠0時， ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ，． 【總結升華】解關于字母系數(shù)的方程時，應該對各種可能出現(xiàn)的情況進行討論． 舉一反三： 【變式】解關于的方程； 【答案】原方程可化為 ∵ ∴

5、 ∴ ∴ 2． 用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m； 【答案與解析】 方程整理為， ∴ ，∴ a＝1，b＝-2，c＝-13， ∴ ， ∴ ， ∴ ，． 【總結升華】先將原方程化為一般式，再按照公式法的步驟去解. 舉一反三： 【變式】用公式法解下列方程： 【答案】∵ ∴ ∴ ∴ 類型二、因式分解法解一元二次方程 3．已知3是關于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一個實數(shù)根，并且這個方程的兩個實數(shù)根恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長，則△ABC

6、的周長為（　?。? A．7 B．10 C．11 D．10或11 【思路點撥】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通過因式分解法解方程求得該方程的兩根，即等腰△ABC的兩條邊長，由三角形三邊關系和三角形的周長公式進行解答即可． 【答案】D 【解析】 解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0， 解得m=6， 則原方程為x2﹣7x+12=0， 解得x1=3，x2=4， 因為這個方程的兩個根恰好是等腰△ABC的兩條邊長， ①當△ABC的腰為4，底邊為3時，則△ABC的周長為4+4+3=11； ②當△ABC的腰為3，底邊為4時，則△ABC的周長為3+3+4=10． 綜上所述

7、，該△ABC的周長為10或11． 故選：D． 【總結升華】本題考查了一元二次方程的解，考查了解方程，也考查了三角形三邊的關系． 舉一反三： 【變式】解方程 （1）x2-2x-3=0； （2）（x-1）2+2x(x-1)=0． 【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0 ∴x-3=0，x+1=0 ∴x1=3,x2=-1. （2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x）=0 ∴x-1=0，3x-1=0 ∴x1

8、=1,x2=. 4．如果，請你求出的值． 【答案與解析】 設，∴ z(z-2)＝3． 整理得：，∴ (z-3)(z+1)＝0． ∴ z1＝3，z2＝-1． ∵ ，∴ z＝-1(不合題意，舍去) ∴ z＝3． 即的值為3． 【總結升華】如果把視為一個整體，則已知條件可以轉化成一個一元二次方程的形式，用因式分解法可以解這個一元二次方程．此題看似求x、y的值，然后計算，但實際上如果把看成一個整體，那么原方程便可化簡求解。這里巧設再求z值，從而求出的值實際就是換元思想的運用． 易錯提示:忽視，而得或． 5