2018年中考數(shù)學試題分類匯編 知識點30 直角三角形、勾股定理

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1、 知識點30 直角三角形、勾股定理 一、選擇題 1. （2018山東濱州，1，3分）在直角三角形中，若勾為3，股為4，則弦為（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】∵三角形為直角三角形，∴三邊滿足勾股定理，∴弦為：＝5． 【知識點】勾股定理 2. （2018四川瀘州，8題，3分） “趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲.如圖3所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形.設直角三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b,若ab=8，大正方形的面積為25,則小

2、正方形的邊長為（ ） A. 9 B.6 C. 4 　 D.3 第8題圖 【答案】D 【解析】因為ab=8，所以三角形的面積為ab=4，則小正方形的面積為25-4×4=9，邊長為3 【知識點】勾股定理，三角形面積，平方根 3. （2018年山東省棗莊市，12，3分）如圖，在中，，，垂足為，平分，交于點，交于點.若，則的長為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路分析】在中， ， 平分，可知CE=CF，過F

3、作FH垂直于AB，F(xiàn)H=CF，在Rt△FBH中設CF=x，利用勾股定理列方程求出CF的長，從而得到CE的長. 【解題過程】解：在中， ，∴∠ACD=∠B，∵平分，∴∠CAF=∠BAF，∴∠CEF=∠CFE，CE=CF，如圖，過點F作FG⊥AB，∵平分，∴CF=FG，AG=AC=3，BG=2，設CF=FG=x， ∵，∴BC=4，則BF=4-x，在Rt△FBG中，，解得，即CE=CF=，故選A. 【知識點】勾股定理；角平分線的性質；等腰三角形 4. （2018湖南長沙，11題，3分）我國南宋著名數(shù)學家秦久韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題目：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，

4、中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三邊長分別為5里，12里，13里，問這塊沙田面積有多大？題中的“里”是我國市制長度單位，1里=500米，則該沙田的面積為（ ） A.7.5平方千米 B.15平方千米 C.75平方千米 D.750平方千米 【答案】A 【解析】將里換算為米為單位,則三角形沙田的三邊長為2.5千米,6千米,6.5千米,因為2.52+62=6.52，所以這個三角形為直角三角形,直角邊長為2.5千米和6千米，所以S=×6×2.5=7.5(平方千米)，故選A 【知識點】勾股定理的逆定理，三角形面積 5. (201

5、8山東青島中考，6，3分)如圖，三角形紙片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點E為AB中點．沿過點E的直線折疊，使點B與點A重合，折痕EF交BC于點F．已知，則BC的長是（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=45°．由折疊的性質可得∠BEF=90°，∴∠BFE=45°，∴BE=EF=． ∵點E為AB中點，∴AB=AC=3．在Rt△ABC中，BC===．故選B． 【知識點】折疊的性質；等腰三角形的性質與判定；勾股定理； 6.（2018山東省淄博市，12，4分）如圖，P

6、為等邊三角形ABC內的一點，且P到三個頂點A、B、C的距離分別為3、4、5，則△ABC的面積為 （A）9+ （B）9+ （C）18+ （D）18+ 【答案】A 【思路分析】將△APB繞點A逆時針旋轉60°得到△AHC，作AI⊥CH交CH延長線于點I，則△APH為等邊三角形，利用已知線段證明△PHC為直角三角形，從而得到∠AHC=150°，∠AHI=30°，求得AI、IH，進而求得IC，利用勾股定理求出AC，再利用正三角形面積公式求出三角形ABC的面積. 【解題過程】將△APB繞點A逆時針旋轉60°得到△AHC，作AI⊥C

7、H交CH延長線于點I，則△APH為等邊三角形，HA=HP=PA=3，HC=PB=4，∵PC=5，∴PC2=PH2+CH2，∴∠PHC=90°，∴∠AHI=30°，∴AI=，HI=，∴CI=+4，∴AC2=（）2+（+4）2=25+12，∴S△ABC=AC2=（25+12）=9+. 【知識點】圖形的旋轉的性質；解直角三角形；正三角形的面積；勾股定理及逆定理 1. （2018湖北黃岡，5題，3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的高，CE為AB邊上的中線，AD=2，CE=5，則CD=（ ） A.2 B.3 C.4 D. 第5題圖 【答案】C

8、 【解析】在Rt△ABC中，CE為AB邊上的中線，所以CE=AB=AE，因為CE=5，AD=2，所以DE=3，因為CD為AB邊上的高，所以在Rt△CDE中，=4，故選C 【知識點】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理 2. （2018四川涼山州，3，4分）如圖，數(shù)軸上點A對應的數(shù)為2，AB⊥OA于A，且AB＝1，以O為圓心，OB長為半徑作弧，交數(shù)軸于點C，則OC長為（ ） A.3 B. C. D. 【答案】D 【解析】∵AB⊥OA于A，∴∠OAB=90°.在Rt△OAB中，由勾股

9、定理得OB=.∴OC=OB=.故選擇D. 【知識點】直角三角形的判定，勾股定理，尺規(guī)作圖. 二、填空題 1. （2018年山東省棗莊市，15，4分） 我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》一書中，給出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求積公式.即：如果一個三角形的三邊長分別為，則該三角形的面積為 ，已知的三邊長分別為，則的面積為 . 【答案】1 【解析】方法一：把代入三角形的面積得，故填 1. 方法二：由的三邊長分別為，根據(jù)勾股定理的逆定理得是直角三角形，其面積為，故填 1. 【知識點】二次根式；勾股定理的逆定理 2. （2018四川省成都市，14，

10、4）如圖，在矩形ABCD中，按以下步驟作圖：①分別以點A和C為圓心，以大于AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N；②作直線MN交CD于點E，若DE＝2，CE＝3，則矩形的對角線AC的長為 ． 【答案】 【思路分析】因為由作圖可知MN為線段AC的垂直平分線，則有AE＝CE＝3，在Rt△ADE中，由勾股定理可以求出AD的長，然后再在Rt△ADC中用勾股定理求出AC即可． 【解析】解：連接AE，由作圖可知MN為線段AC的垂直平分線，∴AE＝CE＝3，在Rt△ADE中，＝＋，∴AD＝＝，在Rt△ADC中，＝＋，∵CD＝DE＋CE＝5，∴AC＝＝． 【知識點】尺規(guī)作圖；線段

11、垂直平分線的性質；勾股定理 3. （2018天津市，18，3）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點A，B，C均在格點上. （1）∠ACB的大小為 （度）； （2）在如圖所示的網(wǎng)格中，P是BC邊上任意一點.A為中心，取旋轉角等于∠BAC，把點P逆時針旋轉，點P的對應點為P′.當CP′最短時，請用無刻度的直尺，畫出點P′，并簡要說明點P′的位置是如何找到的（不要求證明） ． 【答案】90°; 如圖，取格點D，E，連接DE交AB于點T；取格點M，N，連接MN交BC延長線于點G；取格點F，連接FG交TC延長線于點P′，則點P′即

12、為所求. 【解析】分析：本題考查了勾股定理及其逆定理．解題的關鍵是分析題意并構造出如圖所示的三對格點． 解：(1)在網(wǎng)格中由勾股定理得： ∴△ABC為直角三角形， ∴∠ACB=90° (2) 如圖，取格點，，連接交于點；取格點，，連接交延長線于點；取格點，連接交延長線于點，則點即為所求. 【知識點】勾股定理定理及逆定理；格點作圖 4. （2018浙江湖州，16，4）在每個小正方形的邊為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點為格點．以頂點都是格點的正方形ABCD的邊為斜邊，向內作四個全等的直角三角形，使四個直角頂點E，F(xiàn)，G，H都是格點，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣

13、的圖形稱為格點弦圖．例如，在圖1所示的格點弦圖中，正方形ABCD的邊長為，此時正方形EFGH的面積為5．問：當格點弦圖中的正方形ABCD的邊長為時，正方形EFGH的面積的所有可能值是 （不包括5）． 圖1 【答案】9，13和49 【解析】設圖中直角三角形的長直角邊為a，短直角邊為b，則a2+b2＝65．小正方形的面積為（a－b）2．∴只要能把長為a和b的線段在網(wǎng)格中畫出來，并且a和b的端點都在格點上即可．∵65可以寫作64+1或49+16，所以a，b的值分別為8，1或7，4．此時小正方形的面積為49或9

14、． 另外，∵長為13和5的線段也可以在網(wǎng)格中畫出，所以65還可以寫成52+13或45+20，此時a，b的值分別為2，和3，2．此時小正方形的面積為13和5． 小正方形的面積為9，13和49對應的圖形分別為下圖的①②③．故填9，13和49. 【知識點】勾股定理 1. （2018湖北黃岡，13題，3分）如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長為32cm，在杯內壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離為______cm（杯壁厚度不計） 第13題圖 【答案】20

15、【解析】如圖，點E與點A關于直線l對稱，連接EB，即為螞蟻爬行的最短路徑，過點B做BC⊥AE于點C，則Rt△EBC中，BC=32÷2=16cm，EC=3+14-5=12cm，所以 第13題解圖 【知識點】軸對稱，勾股定理 2. （2018·重慶A卷，16，4）如圖，把三角形紙片折疊，使點B、點C都與點A重合，折痕分別為DE、FG，得到∠AGE＝30°，若AE＝EG＝厘米，則△ABC的邊BC的長為 厘米． 【答案】4＋6． 【解析】如下圖，過點E作EM⊥AG于點M，則由AE＝EG，得AG＝2MG． ∵∠AGE＝3

16、0°，EG＝厘米， ∴EM＝EG＝（cm）． 在Rt△EMG中，由勾股定理，得MG＝＝3（cm），從而AG＝6cm． 由折疊可知，BE＝AE＝（cm），GC＝AG＝6cm． ∴BC＝BE＋EG＋GC＝＋＋6＝4＋6（cm）． 【知識點】翻折；軸對稱；勾股定理；直角三角形的性質；等腰三角形 3. （2018江蘇淮安，15，3） 如圖，在份Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3, BC=5,分別以A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧交點分別為點P、Q,過P

17、、Q兩點作直線交BC于點D，則CD 的長是 . (第15題） 【答案】1.6 【解析】本題考查勾股定理和基本作圖，連結AD,由線段的垂直平分線的性質可知AD=BD,再由勾股定理可求得CD. 解：連結AD 由作法可知AD=BD, 在Rt△ACD中設CD=x,則AD=BD=5-x,AC=3. 由勾股定理得，CD2+AC2=AD2 即x2+32=(5-x)2 解得x=1.6 故答案為1.6 【知識點】勾股定理；軸對稱；線段的垂直平分線；基本作圖 4. （2018山東德州，15，4分）如圖,為的平分線，，，，則點到射線的距離為

18、． 【答案】3 【解析】因為，，，所以CM=3，過點C作CM⊥OA于N，又因為為的平分線，所以CN= CM=3，即點到射線的距離為3． 【知識點】勾股定理，角平分線的性質 5. （2018福建A卷，13，4）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D為AB的中點，則CD= _______． 【答案】3 【思路分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得出CD的值. 【解析】解：在△ABC中，以∠ACB為直角的直角三角形的斜邊AB=6，∵CD是AB邊上的中線，∴CD=AB=3. 【知識點】直角三角形 6.（2018福建A卷，15，

19、4）把兩個相同大小的含45°角的三角板如圖所示放置，其中一個三角板的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A，另外三角板的銳角頂點B、C、D在同一直線上，若AB=，則CD=_______． 【答案】 【思路分析】首先利用勾股定理計算出BC、AD的長，過點A作AF⊥BC，由“三線合一”及等腰直直角三角形的性質易求得AF=CF，在直角三角形ADF中，再次利用勾股定理計算出DF的長度，問題便獲得解決. 【解析】解：過點A作AF⊥BC，垂足為點F，∵ AB=AC，∴CF=，∵ AB=AC=，∴AD=，∴CF=1，∵∠C=45°，∴AF=CF=1，∴，∴. 【知識點】等腰三角形的性質，勾股定理

20、 7. （2018福建B卷，13，4）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D為AB的中點，則CD= _______． 【答案】3 【思路分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得出CD的值. 【解題過程】解：在△ABC中，以∠ACB為直角的直角三角形的斜邊AB=6，∵CD是AB邊上的中線，∴CD=AB=3. 【知識點】直角三角形 8. （2018福建B卷，15，4）把兩個相同大小的含45°角的三角板如圖所示放置，其中一個三角板的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A，另外三角板的銳角頂點B、C、D在同一直線上，若AB=，則CD=_______．

21、【答案】 【思路分析】首先利用勾股定理計算出BC、AD的長，過點A作AF⊥BC，由“三線合一”及等腰直直角三角形的性質易求得AF=CF，在直角三角形ADF中，再次利用勾股定理計算出DF的長度，問題便獲得解決. 【解析】解：過點A作AF⊥BC，垂足為點F，∵ AB=AC，∴CF=，∵ AB=AC=，∴AD=，∴CF=1，∵∠C=45°，∴AF=CF=1，∴，∴. 【知識點】等腰三角形的性質，勾股定理 9.（2018湖北省襄陽市，15，3分）已知CD是△ABC的邊AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，則BC的長為= ▲ . 【答案】 【解析】解：分兩種情況討

22、論： ①當CD在△ABC內部時，如圖 在Rt△ACD中，由勾股定理得AC==2. ∴AB=2AC=4， ∴BD=AB-AD=3. 在Rt△BCD中，由勾股定理得，BC==. ②當CD在△ABC外部時，如圖 此時，AB=4，BD=BA+AD=5, 在Rt△ABD中，由勾股定理得，BC==. 綜上所述，BC的長為. 故答案為. 【知識點】勾股定理，分類討論思想 10. （2018廣西玉林，17題，3分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，則AD的取值范圍是_______ 第17題圖 【答案】2

23、∠A=60°，AB=4，已確定，AD的長度可以變化，如下圖（1），是AD最短的情況，此時AD=ABcos60°=2，如下圖（2），是AD最長的情況，此時AD=AB/cos60°=8，而這兩種情況四邊形ABCD就變成了三角形，故都不能達到，故AD的取值范圍是2

24、必須與方格紙中小正方形的頂點重合，具體要求如下： （1）畫一個直角邊為4，面積為6的直角三角形. （2）畫一個底邊為4，面積為8的等腰三角形. （3）畫一個面積為5的等腰直角三角形. （4）畫一個邊長為2，面積為6的等腰三角形. 第24題圖 【思路分析】對于（1），根據(jù)面積公式求出兩條直角邊即可畫出圖形； 對于（2），根據(jù)面積公式求出底邊上的高，再畫出圖形即可； 對于（3），根據(jù)面積公式求出直角邊，即可畫出圖形； 對于（4）根據(jù)腰長為2不成立，可知以2為底邊，再求出底邊上的高，可畫出圖形. 【解題過程】如圖所示.（1）直角邊為4，3的直角三角形；………………………….2

25、分 （2）底邊為4，底邊上的高為4的等腰三角形；………………………………………..4分 （3）直角邊為的等腰直角三角形；…………………………………………………..6分 （4）底邊為2，底邊上的高為3的等腰三角形……………………………………8分 第24題答圖 【知識點】勾股定理，三角形的面積 1. （2018湖北荊門，19，9分） 如圖，在中，，，為邊的中點，以為邊作等邊，連接，. （1）求證：； （2）若，在邊上找一點，使得最小，并求出這個最小值. 【思路分析】（1）首先根據(jù)E為AB邊的中點可得BC=AE，根據(jù)△DEB為等邊三角形可得DB=DE，∠DEA=∠DB

26、C，然后根據(jù)全等三角形的判定即可證明出結論； （2）作點E關于直線AC對稱點E′，連接BE′交AC于點H，由作圖可知：EH+BH=BE′，根據(jù)勾股定理計算即可. 【解題過程】（1）證明：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，E為AB邊為中點， ∴BC=EA，∠ABC=60°. ∵△DEB為等邊三角形， ∴DB=DE，∠DEB=∠DBE=60°， ∴∠DEA=120°，∠DBC=120°， ∴∠DEA=∠DBC， ∴△ADE≌△CDB. （2） 解：如圖，作點E關于直線AC對稱點E′，連接BE′交AC于點H. 則點H即為符合條件的點. 由作圖可知：EH+BH=BE′，AE′=AE，∠E′AC=∠BAC=30°， ∴∠EAE′=60°， ∴△EAE′為等邊三角形， ∴EE′=EA=AB， ∴∠AE′B=90°， 在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=， ∴AB=2，AE′=AE=， ∴BE′==3， ∴BH+EH的最小值為3. 【知識點】等邊三角形的性質，含30°角的直角三角形的性質，全等三角形的判定，利用軸對稱作圖，勾股定理 18