2018中考數(shù)學試題分類匯編 考點22 勾股定理（含解析）

2018中考數(shù)學試題分類匯編：考點22 勾股定理一選擇題（共7小題）1（2018濱州）在直角三角形中，若勾為3，股為4，則弦為（）A5B6C7D8【分析】直接根據(jù)勾股定理求解即可【解答】解：在直角三角形中，勾為3，股為4，弦為=5故選：A2（2018棗莊）如圖，在RtABC中，ACB=90°，CDAB，垂足為D，AF平分CAB，交CD于點E，交CB于點F若AC=3，AB=5，則CE的長為（）ABCD【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出CAF+CFA=90°，F(xiàn)AD+AED=90°，根據(jù)角平分線和對頂角相等得出CEF=CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案【解答】解：過點F作FGAB于點G，ACB=90°，CDAB，CDA=90°，CAF+CFA=90°，F(xiàn)AD+AED=90°，AF平分CAB，CAF=FAD，CFA=AED=CEF，CE=CF，AF平分CAB，ACF=AGF=90°，F(xiàn)C=FG，B=B，F(xiàn)GB=ACB=90°，BFGBAC，=，AC=3，AB=5，ACB=90°，BC=4，=，F(xiàn)C=FG，=，解得：FC=，即CE的長為故選：A3（2018瀘州）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b若ab=8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長為（）A9B6C4D3【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長為：ab，根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出小正方形的邊長【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：ab，每一個直角三角形的面積為： ab=×8=4，4×ab+（ab）2=25，（ab）2=2516=9，ab=3，故選：D4（2018溫州）我國古代偉大的數(shù)學家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成，若a=3，b=4，則該矩形的面積為（）A20B24CD【分析】欲求矩形的面積，則求出小正方形的邊長即可，由此可設(shè)小正方形的邊長為x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進而可求出該矩形的面積【解答】解：設(shè)小正方形的邊長為x，a=3，b=4，AB=3+4=7，在RtABC中，AC2+BC2=AB2，即（3+x）2+（x+4）2=72，整理得，x2+7x12=0，解得x=或x=（舍去），該矩形的面積=（+3）（+4）=24，故選：B5（2018婁底）如圖，由四個全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是169，小正方形的面積為49，則sincos=（）ABCD【分析】分別求出大正方形和小正方形的邊長，再利用勾股定理列式求出AC，然后根據(jù)正弦和余弦的定義即可求sin和cos的值，進而可求出sincos的值【解答】解：小正方形面積為49，大正方形面積為169，小正方形的邊長是7，大正方形的邊長是13，在RtABC中，AC2+BC2=AB2，即AC2+（7+AC）2=132，整理得，AC2+7AC60=0，解得AC=5，AC=12（舍去），BC=12，sin=，cos=，sincos=，故選：D6（2018長沙）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶的著作數(shù)書九章里記載有這樣一道題：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為5里，12里，13里，問這塊沙田面積有多大？題中“里”是我國市制長度單位，1里=500米，則該沙田的面積為（）A7.5平方千米B15平方千米C75平方千米D750平方千米【分析】直接利用勾股定理的逆定理進而結(jié)合直角三角形面積求法得出答案【解答】解：52+122=132，三條邊長分別為5里，12里，13里，構(gòu)成了直角三角形，這塊沙田面積為：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）故選：A7（2018東營）如圖所示，圓柱的高AB=3，底面直徑BC=3，現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對角C處捕食，則它爬行的最短距離是（）ABCD【分析】要求最短路徑，首先要把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點之間線段最短，然后利用勾股定理即可求解【解答】解：把圓柱側(cè)面展開，展開圖如右圖所示，點A、C的最短距離為線段AC的長在RtADC中，ADC=90°，CD=AB=3，AD為底面半圓弧長，AD=1.5，所以AC=，故選：C二填空題（共8小題）8（2018吉林）如圖，在平面直角坐標系中，A（4，0），B（0，3），以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交x軸的負半軸于點C，則點C坐標為（1，0）【分析】求出OA、OB，根據(jù)勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC長即可【解答】解：點A，B的坐標分別為（4，0），（0，3），OA=4，OB=3，在RtAOB中，由勾股定理得：AB=5，AC=AB=5，OC=54=1，點C的坐標為（1，0），故答案為：（1，0），9（2018玉林）如圖，在四邊形ABCD中，B=D=90°，A=60°，AB=4，則AD的取值范圍是2AD8【分析】如圖，延長BC交AD的延長線于E，作BFAD于F解直角三角形求出AE、AF即可判斷；【解答】解：如圖，延長BC交AD的延長線于E，作BFAD于F在RtABE中，E=30°，AB=4，AE=2AB=8，在RtABF中，AF=AB=2，AD的取值范圍為2AD8，故答案為2AD810（2018襄陽）已知CD是ABC的邊AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，則BC的長為2或2【分析】分兩種情況：當ABC是銳角三角形，如圖1，當ABC是鈍角三角形，如圖2，分別根據(jù)勾股定理計算AC和BC即可【解答】解：分兩種情況：當ABC是銳角三角形，如圖1，CDAB，CDA=90°，CD=，AD=1，AC=2，AB=2AC，AB=4，BD=41=3，BC=2；當ABC是鈍角三角形，如圖2，同理得：AC=2，AB=4，BC=2；綜上所述，BC的長為2或2故答案為：2或211（2018鹽城）如圖，在直角ABC中，C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分別為邊BC、AB上的兩個動點，若要使APQ是等腰三角形且BPQ是直角三角形，則AQ=或【分析】分兩種情形分別求解：如圖1中，當AQ=PQ，QPB=90°時，當AQ=PQ，PQB=90°時；【解答】解：如圖1中，當AQ=PQ，QPB=90°時，設(shè)AQ=PQ=x，PQAC，BPQBCA，=，=，x=，AQ=當AQ=PQ，PQB=90°時，設(shè)AQ=PQ=yBQPBCA，=，=，y=綜上所述，滿足條件的AQ的值為或12（2018黔南州）如圖，已知在ABC中，BC邊上的高AD與AC邊上的高BE交于點F，且BAC=45°，BD=6，CD=4，則ABC的面積為60【分析】首先證明AEFBEC，推出AF=BC=10，設(shè)DF=x由ADCBDF，推出=，構(gòu)建方程求出x即可解決問題；【解答】解：ADBC，BEAC，AEF=BEC=BDF=90°，BAC=45°，AE=EB，EAF+C=90°，CBE+C=90°，EAF=CBE，AEFBEC，AF=BC=10，設(shè)DF=xADCBDF，=，=，整理得x2+10x24=0，解得x=2或12（舍棄），AD=AF+DF=12，SABC=BCAD=×10×12=60故答案為6013（2018濱州）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點E、F分別在BC、CD上，若AE=，EAF=45°，則AF的長為【分析】取AB的中點M，連接ME，在AD上截取ND=DF，設(shè)DF=DN=x，則NF=x，再利用矩形的性質(zhì)和已知條件證明AMEFNA，利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的長【解答】解：取AB的中點M，連接ME，在AD上截取ND=DF，設(shè)DF=DN=x，四邊形ABCD是矩形，D=BAD=B=90°，AD=BC=4，NF=x，AN=4x，AB=2，AM=BM=1，AE=，AB=2，BE=1，ME=，EAF=45°，MAE+NAF=45°，MAE+AEM=45°，MEA=NAF，AMEFNA，解得：x=，AF=故答案為：14（2018湘潭）九章算術(shù)是我國古代最重要的數(shù)學著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”翻譯成數(shù)學問題是：如圖所示，ABC中，ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的長，如果設(shè)AC=x，則可列方程為x2+32=（10x）2【分析】設(shè)AC=x，可知AB=10x，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論【解答】解：設(shè)AC=x，AC+AB=10，AB=10x在RtABC中，ACB=90°，AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10x）2故答案為：x2+32=（10x）215（2018黃岡）如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長為32cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為20cm（杯壁厚度不計）【分析】將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點A，根據(jù)兩點之間線段最短可知AB的長度即為所求【解答】解：如圖：將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A，連接AB，則AB即為最短距離，AB=20（cm）故答案為20三解答題（共2小題）16（2018杭州）如圖，在ABC中，ACB=90°，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交線段AB于點D；以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交線段AC于點E，連結(jié)CD（1）若A=28°，求ACD的度數(shù)（2）設(shè)BC=a，AC=b線段AD的長是方程x2+2axb2=0的一個根嗎？說明理由若AD=EC，求的值【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出B，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BCD，計算即可；（2）根據(jù)勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比較即可；根據(jù)勾股定理列出算式，計算即可【解答】解：（1）ACB=90°，A=28°，B=62°，BD=BC，BCD=BDC=59°，ACD=90°BCD=31°；（2）由勾股定理得，AB=，AD=a，解方程x2+2axb2=0得，x=a，線段AD的長是方程x2+2axb2=0的一個根；AD=AE，AE=EC=，由勾股定理得，a2+b2=（b+a）2，整理得， =17（2018臺灣）嘉嘉參加機器人設(shè)計活動，需操控機器人在5×5的方格棋盤上從A點行走至B點，且每個小方格皆為正方形，主辦單位規(guī)定了三條行走路徑R1，R2，R3，其行經(jīng)位置如圖與表所示：路徑編號圖例行徑位置第一條路徑R1_ACDB第二條路徑R2AEDFB第三條路徑R3AGB已知A、B、C、D、E、F、G七點皆落在格線的交點上，且兩點之間的路徑皆為直線，在無法使用任何工具測量的條件下，請判斷R1、R2、R3這三條路徑中，最長與最短的路徑分別為何？請寫出你的答案，并完整說明理由【分析】利用勾股定理分別計算出三條路徑的長，比較大小即可得【解答】解：第一條路徑的長度為+=2+，第二條路徑的長度為+1+=+1，第三條路徑的長度為+=2+，2+2+1，最長路徑為AEDFB；最短路徑為AGB13