2020年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)考點及題型 專題10 二次根式（含解析）

專題10 二次根式 考點總結(jié) 【思維導(dǎo)圖】 【知識要點】 知識點一 二次根式的有關(guān)概念和性質(zhì) 二次根式概念：一般地，我們把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號。 【注意】 1.二次根式，被開方數(shù)a可以是一個具體的數(shù)，也可以是代數(shù)式。 2.二次根式是一個非負(fù)數(shù)。 3.二次根式與算術(shù)平方根有著內(nèi)在聯(lián)系，（𝑎≥0）就表示a的算術(shù)平方根。 二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a≧0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。 二次根式的性質(zhì)： 1．含有兩種相同的運算，兩者都需要進(jìn)行平方和開方。 2．結(jié)果的取值范圍相同，兩者的結(jié)果都是非負(fù)數(shù)。 3．當(dāng)a≧0時， 考查題型一 利用二次根式非負(fù)性解題 1．（2013·四川中考真題）已知實數(shù)x，y，m滿足，且y為負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（ ） A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣6 【答案】A 【解析】 根據(jù)算術(shù)平方根和絕對值的非負(fù)數(shù)性質(zhì)，得：，解得：。 ∵y為負(fù)數(shù)，∴6﹣m＜0，解得：m＞6。 故選A。 2．（2016·四川中考真題）若+b2﹣4b+4=0，則ab的值等于（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】 試題分析：由，得：a﹣1=0，b﹣2=0．解得a=1，b=2．a(chǎn)b=2．故選D． 3．（2012·湖北中考真題）若與|x﹣y﹣3|互為相反數(shù)，則x+y的值為（　?。? A．3 B．9 C．12 D．27 【答案】D 【解析】 依題意得. ∴x＋y＝27. 故選D. 考查題型二 判斷二次根式有意義的取值范圍 1．（2013·四川中考真題）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（ ） A． B． C． D．且 【答案】D 【解析】 根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)和分式分母不為0的條件，要使在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須且x≠1。故選D。 2．（2018·內(nèi)蒙古中考真題）代數(shù)式中x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【詳解】 由題意，得：3﹣x≥0且x﹣1≠0，解得：x≤3且x≠1，在數(shù)軸上表示如圖： ． 故選A． 3．（2018·山東中考真題）若式子有意義，則實數(shù)m的取值范圍是 A． B．且 C． D．且 【答案】D 【詳解】 由題意可知： ∴m≥﹣2且m≠1 故選D． 考查題型三 根據(jù)二次根式性質(zhì)進(jìn)行化簡 1．（2012·湖南中考真題）實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|a|＞|b|，則化簡的結(jié)果為（ ） A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b 【答案】C 【解析】 試題分析：利用數(shù)軸得出a+b的符號，進(jìn)而利用絕對值和二次根式的性質(zhì)得出即可： ∵由數(shù)軸可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|， ∴. 故選C． 2．（2016·山東中考真題）實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡|a|+的結(jié)果是( ) A．﹣2a-b B．2a﹣b C．﹣b D．b 【答案】A 【詳解】 由圖可知：， ∴， ∴. 故選A. 3．（2011·北京中考真題）如果，則a的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)1可知：，即故答案為B.. 4．（2015·湖北中考真題）當(dāng)1＜a＜2時，代數(shù)式＋|1－a|的值是( ) A．－1 B．1 C．2a－3 D．3－2a 【答案】B 【解析】 試題解析：∵1＜a＜2， ∴=|a-2|=-（a-2），|a-1|=a-1， ∴+|a-1|=-（a-2）+（a-1）=2-1=1． 故選A． 5．（2011·四川中考真題）已知，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題解析：由，得 ，解得．2xy=2×2.5×（-3）=-15，故選A． 知識點二 二次根式的運算 二次根式的乘法法則: 【注意】 1、要注意這個條件，只有a，b都是非負(fù)數(shù)時法則成立。 : 3、乘法交換律在二次根式中仍然適用。 二次根式的乘法法則變形（積的算術(shù)平方根）： 化簡二次根式的步驟（易錯點）： 1.把被開方數(shù)分解因式(或因數(shù)) ； 2.把各因式(或因數(shù))積的算術(shù)平方根化為每個因式(或因數(shù))的算術(shù)平方根的積； 3.如果因式中有平方式(或平方數(shù))，應(yīng)用關(guān)系式(√𝑎)^2=𝑎（𝑎≥0）把這個因式(或因數(shù))開出來，將二次根式化簡。 二次根式的除法法則： 【注意】 1、要注意這個條件，因為b=0時，分母為0，沒有意義。 2、在實際解題時，若不考慮a、b的正負(fù)性，直接得是錯誤的。 二次根式的除法法則變形（商的算術(shù)平方根）： 二次根式的特點： 1.被開方數(shù)不含分母，例： ； 2.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，例： 。 【二次根式運算中的注意事項】 一般將最后結(jié)果化為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式。 二次根式的加減：先將二次根式化為最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）進(jìn)行合并。（合并方法為：將系數(shù)相加減，二次根式部分不變），不能合并的直接抄下來。 二次根式比較大小： 1、若，則有； 2、若，則有． 3、將兩個根式都平方，比較平方后的大小，對應(yīng)平方前的大小。 二次根式混合運算順序：先計算括號內(nèi)，再乘方（開方），再乘除，再加減。 注意：運算結(jié)果是根式的，一般應(yīng)表示為最簡二次根式。 考查題型四 二次根式化簡的方法 1．（2016·甘肅中考真題）下列根式中是最簡二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【詳解】 A．=，故此選項錯誤； B．是最簡二次根式，故此選項正確； C．=3，故此選項錯誤； D．=，故此選項錯誤； 故選B． 2．（2018·甘肅中考真題）下列二次根式中，是最簡二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【詳解】 A、不是最簡二次根式，錯誤； B、是最簡二次根式，正確； C、不是最簡二次根式，錯誤； D、不是最簡二次根式，錯誤， 故選B． 3．（2011·廣東中考真題）下列二次根式中，最簡二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【詳解】 A、=，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式；故A選項錯誤； B、=，被開方數(shù)為小數(shù)，不是最簡二次根式；故B選項錯誤； C、，是最簡二次根式；故C選項正確； D．=，被開方數(shù)，含能開得盡方的因數(shù)或因式，故D選項錯誤； 故選C． 考查題型五 二次根式乘除運算的方法 1．（2015·安徽中考真題）計算×的結(jié)果是（ ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【解析】 試題解析：.故選B. 2.（2013·海南中考真題）下列各數(shù)中，與的積為有理數(shù)的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：根據(jù)實數(shù)運算的法則對各選項進(jìn)行逐一計算作出判斷： A、，是無理數(shù)，故本選項錯誤； B、，是無理數(shù)，故本選項錯誤； C、，是有理數(shù)，故本選項正確； D、，是無理數(shù)，故本選項錯誤。 故選C。 3．（2018·江蘇中考真題）計算：=_____． 【答案】2 【詳解】 ==2，故答案為：2. 4.（2018·湖南中考真題）________. 【答案】6 【詳解】 原式=2×=6．故答案為：6． 5．（2019·安徽中考真題）計算的結(jié)果是__________. 【答案】3 【詳解】 解：，故答案為3 6．（2015·廣西中考真題）計算：_________. 【答案】 【解析】 試題分析：原式===3．故答案為3． 7.（2016·山東中考真題）計算：= ． 【答案】12 【解析】 試題分析：直接利用二次根式乘除運算法則化簡求出答案． =3×÷=3=12． 考察題型六 二次根式加減運算的方法 1．（2018·山東中考真題）與最簡二次根式5是同類二次根式，則a=_____． 【答案】2 【解析】 詳解：∵與最簡二次根式5是同類二次根式，且=2， ∴a+1=3，解得：a=2． 故答案為2． 2．（2019·江蘇中考真題）計算：． 【答案】 【解析】 3．（2018·黑龍江中考真題）計算6﹣10的結(jié)果是_____． 【答案】 【解析】 原式=6-10×=6-2=4， 故答案為4． 4．（2018·遼寧中考真題）計算：﹣=__． 【答案】 【解析】 詳解：原式=3-2 =．故答案為． 5．（2018·湖北中考真題）計算的結(jié)果是_____ 【答案】 【詳解】 = =， 故答案為：. 考查題型七 分母有理化的方法 1．（2015·江蘇中考真題）計算的結(jié)果是 ． 【答案】5． 【詳解】 . 故答案為5. 2．（2019·江蘇中考真題）計算的結(jié)果是_____________． 【答案】0 【詳解】 解：原式＝2-2＝0． 故答案為0． 3．（2015·湖南中考真題）把進(jìn)行化簡，得到的最簡結(jié)果是 （結(jié)果保留根號）。 【答案】2 【解析】 首先將其進(jìn)行分母有理數(shù)，然后再進(jìn)行二次根式求和.原式==+=2. 4．（2019·山東中考真題）計算：＝___________． 【答案】 【詳解】 . 故答案為. 考查題型八 二次根式混合運算 1．（2019·山東中考真題）計算：_________． 【答案】 【詳解】 解：原式， 故答案為：． 2．（2015·遼寧中考真題）計算的值是__． 【答案】﹣1 【詳解】 原式==． 故答案為． 3．（2015·內(nèi)蒙古中考真題）計算：= ． 【答案】8． 【解析】 原式==9﹣1=8，故答案為8． 4．（2015·山東中考真題）計算（+）（﹣）的結(jié)果為 ． 【答案】﹣1 【解析】 此題是整式的乘法運算，其符合平方差公式，因此根據(jù)公式可直接計算，. 考查題型九 二次根式化簡求值的方法 1．（2014·四川中考真題）已知，則x12+x22= ． 【答案】10． 【解析】 ∵， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=． 2．（2019·山東中考真題）已知，那么的值是_____． 【答案】4 【詳解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案為：4 3．（2016·湖北中考真題）當(dāng)a=﹣1時，代數(shù)式的值是 ． 【答案】 【解析】 ∵a=﹣1， ∴a+b=+1+﹣1=2，a﹣b=+1﹣+1=2， ∴===； 4．（2015·吉林中考真題）先化簡，再求值：，其中． 【答案】，5． 【解析】 式==， 當(dāng)時，原式=6﹣1=5． 考查題型十 二次根式比較大小的方法 1．（2018·河南中考模擬）比較大?。?____3（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】＞ 【解析】 詳解：∵， ∴． 2．（2019·陜西中考模擬）比較大小：5_____． 【答案】＞ 【詳解】 解：∵5= ∴5 故答案為＞． 3．（2019·陜西中考模擬）比較大?。篲_____． 【答案】 【詳解】 ，， ， 故答案為：． 14