2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動員 第12講 反比例函數(shù)（含解析）

第12講反比例函數(shù)反比例函數(shù)解析式的確定(1)確定方法：待定系數(shù)法；(2)一般步驟：設(shè)所求的反比例函數(shù)解析式為y(k0)；根據(jù)已知條件，得到反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)P(a，b)；將點(diǎn)P(a，b)代入反比例函數(shù)的解析式得到關(guān)于系數(shù)k的方程；解方程得待定系數(shù)k的值；把k的值代入y即可得反比例函數(shù)解析式考點(diǎn)1： 反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)【例題1】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)反比例函數(shù)y(x0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，點(diǎn)P是一次函數(shù)ykx33k(k0)的圖象與該反比例函數(shù)圖象的一個公共點(diǎn)(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)通過計算，說明一次函數(shù)ykx33k(k0)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)C；(3)對于一次函數(shù)ykx33k(k0)，當(dāng)y隨x的增大而增大時，確定點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍(不必寫出過程)【解析】：(1)B(3，1)，C(3，3)，四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC2，BCx軸ADx軸又A(1，0)，D(1，2)D在反比例函數(shù)y的圖象上，m1×22.反比例函數(shù)的解析式為y.(2)當(dāng)x3時，ykx33k3，一次函數(shù)ykx33k(k0)的圖象一定過點(diǎn)C.(3)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，則a3.歸納：反比例函數(shù)中，y隨x的大小變化的情況，應(yīng)分x0與x0兩種情況討論，而不能籠統(tǒng)地說成“k0時，y隨x的增大而增大”雙曲線上的點(diǎn)在每個象限內(nèi)，y隨x的變化是一致的運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)時，要注意在每一個象限內(nèi)的要求考點(diǎn)2： 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合【例題2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y(x0)的圖象與邊長是6的正方形OABC的兩邊AB，BC分別相交于M，N 兩點(diǎn)(1)若點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)，求反比例函數(shù)y的解析式和點(diǎn)N的坐標(biāo)；(2)若AM2，求直線MN的解析式及OMN的面積【點(diǎn)撥】(1)由已知可知點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出k的值，從而求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；(2)確定點(diǎn)M ，點(diǎn)N的坐標(biāo)，三角形面積就可求出【解答】解：(1)點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)，M(6，3)反比例函數(shù)y經(jīng)過點(diǎn)M，3.k18.反比例函數(shù)的解析式為y.當(dāng)y6時，x3，N(3，6)(2)由題意，知M(6，2)，N(2，6)設(shè)直線MN的解析式為yaxb，則解得直線MN的解析式為yx8.SOMNS正方形OABCSOAMSOCNSBMN3666816.【變式】在例2中，若OMN的面積為10，求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)解：OAOC6，設(shè)M(6，y)，則N(y，6)BMBN6y.SOMN10，36×6×y×2(6y)210，即y216.又y>0，y4，M(6，4)N(4，6)歸納：1確定反比例函數(shù)解析式只要一個合適的條件(如圖象上一個點(diǎn)的坐標(biāo))即可另外將已知點(diǎn)的坐標(biāo)或部分坐標(biāo)代入解析式中，從而確定字母的值是我們經(jīng)常用的方法2雙曲線y中，根據(jù)k的幾何意義求圖形面積常用圖形有：S陰影|k|S陰影S陰影|k|3.第一象限內(nèi)的雙曲線本身是軸對稱圖形，正方形也是軸對稱圖形，所以在本題中，圖形是關(guān)于直線yx的軸對稱圖形，對解答第(2)問提供解題思路考點(diǎn)3：反比例函數(shù)的實際應(yīng)用【例題3】(2018·樂山)某蔬菜生產(chǎn)基地的氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種蔬菜如圖是試驗階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度y()與時間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系，其中線段AB，BC表示恒溫系統(tǒng)開啟階段，雙曲線的一部分CD表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段請根據(jù)圖中信息解答下列問題：(1)求這天的溫度y與時間x(0x24)的函數(shù)關(guān)系式；(2)求恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度；(3)若大棚內(nèi)的溫度低于10 時，蔬菜會受到傷害問這天內(nèi)，恒溫系統(tǒng)最多可以關(guān)閉多少小時，才能使蔬菜避免受到傷害？【點(diǎn)撥】(1)用待定系數(shù)法分段求函數(shù)解析式；(2)觀察圖象可得；(3)代入臨界值y10即可【解答】解：(1)設(shè)線段AB解析式為yk1xb(k0)，線段AB過點(diǎn)(0，10)，(2，14)，代入，得解得AB解析式為y2x10(0x5)B在線段AB上，當(dāng)x5時，y20.B坐標(biāo)為(5，20)線段BC的解析式為y20(5x10)設(shè)雙曲線CD的解析式為y(k20)C(10，20)，k2200.雙曲線CD解析式為y(10x24)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y(2)由(1)可知，恒溫系統(tǒng)設(shè)定恒定溫度為20 .(3)把y10代入y中，解得x20.201010.答：恒溫系統(tǒng)最多關(guān)閉10小時，蔬菜才能避免受到傷害歸納：反比例函數(shù)實際應(yīng)用題是近年中考常見的題型，解題時首先要仔細(xì)審讀題目(或圖象)中給予的信息，挖掘題目(或圖象)中隱含的條件，提取有用信息，綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題一、選擇題：1. （2018柳州）已知反比例函數(shù)的解析式為y=，則a的取值范圍是（）Aa2Ba2Ca±2Da=±2【答案】C解析：可得：|a|20，解得：a±2，故選：C2. (2019安徽)（4分）已知點(diǎn)A（1，3）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A'在反比例函數(shù)y的圖象上，則實數(shù)k的值為（）A3BC3D【答案】A【解答】解：點(diǎn)A（1，3）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（1，3），把A（1，3）代入y得k1×33故選：A3. （2018德州）給出下列函數(shù)：y=3x+2；y=；y=2x2；y=3x，上述函數(shù)中符合條作“當(dāng)x1時，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大“的是（）ABCD【答案】B【解析】：y=3x+2，當(dāng)x1時，函數(shù)值y隨自變量x增大而減小，故此選項錯誤；y=，當(dāng)x1時，函數(shù)值y隨自變量x增大而減小，故此選項錯誤；y=2x2，當(dāng)x1時，函數(shù)值y隨自變量x增大而減小，故此選項正確；y=3x，當(dāng)x1時，函數(shù)值y隨自變量x增大而減小，故此選項正確；故選：B4. （2018聊城）春季是傳染病多發(fā)的季節(jié)，積極預(yù)防傳染病是學(xué)校高度重視的一項工作，為此，某校對學(xué)生宿舍采取噴灑藥物進(jìn)行消毒在對某宿舍進(jìn)行消毒的過程中，先經(jīng)過5min的集中藥物噴灑，再封閉宿舍10min，然后打開門窗進(jìn)行通風(fēng)，室內(nèi)每立方米空氣中含藥量y（mg/m3）與藥物在空氣中的持續(xù)時間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系，在打開門窗通風(fēng)前分別滿足兩個一次函數(shù)，在通風(fēng)后又成反比例，如圖所示下面四個選項中錯誤的是（）A經(jīng)過5min集中噴灑藥物，室內(nèi)空氣中的含藥量最高達(dá)到10mg/m3B室內(nèi)空氣中的含藥量不低于8mg/m3的持續(xù)時間達(dá)到了11minC當(dāng)室內(nèi)空氣中的含藥量不低于5mg/m3且持續(xù)時間不低于35分鐘，才能有效殺滅某種傳染病毒此次消毒完全有效D當(dāng)室內(nèi)空氣中的含藥量低于2mg/m3時，對人體才是安全的，所以從室內(nèi)空氣中的含藥量達(dá)到2mg/m3開始，需經(jīng)過59min后，學(xué)生才能進(jìn)入室內(nèi)【答案】C【解答】解：A、正確不符合題意B、由題意x=4時，y=8，室內(nèi)空氣中的含藥量不低于8mg/m3的持續(xù)時間達(dá)到了11min，正確，不符合題意；C、y=5時，x=2.5或24，242.5=21.535，故本選項錯誤，符合題意；D、正確不符合題意，故選：C5. （2018遵義）如圖，直角三角形的直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，OAB=30°，若點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=（x0）的圖象上，則經(jīng)過點(diǎn)B的反比例函數(shù)解析式為（）Ay=By=Cy=Dy=【答案】C解析：點(diǎn)B作BCx軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作ADx軸于點(diǎn)D，BOA=90°，BOC+AOD=90°，AOD+OAD=90°，BOC=OAD，又BCO=ADO=90°，BCOODA，=tan30°=，=，×AD×DO=xy=3，SBCO=×BC×CO=SAOD=1，SAOD=2，經(jīng)過點(diǎn)B的反比例函數(shù)圖象在第二象限，故反比例函數(shù)解析式為：y=故選：C二、填空題：6. （2018·四川宜賓·3分）已知：點(diǎn)P（m，n）在直線y=x+2上，也在雙曲線y=上，則m2+n2的值為6【答案】6【解答】解：點(diǎn)P（m，n）在直線y=x+2上，n+m=2，點(diǎn)P（m，n）在雙曲線y=上，mn=1，m2+n2=（n+m）22mn=4+2=6故答案為：67. （2019浙江紹興5分）如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，C都在曲線y（常數(shù)是0，x0）上，若頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，3），則直線BD的函數(shù)表達(dá)式是yx【答案】yx【解答】解：D（5，3），A（，3），C（5，），B（，），設(shè)直線BD的解析式為ymx+n，把D（5，3），B（，）代入得，解得，直線BD的解析式為yx故答案為yx8. （2018安順）如圖，已知直線y=k1x+b與x軸、y軸相交于P、Q兩點(diǎn)，與y=的圖象相交于A（2，m）、B（1，n）兩點(diǎn)，連接OA、OB，給出下列結(jié)論：k1k20；m+n=0；SAOP=SBOQ；不等式k1x+b的解集是x2或0x1，其中正確的結(jié)論的序號是 【答案】【解答】解：由圖象知，k10，k20，k1k20，故錯誤；把A（2，m）、B（1，n）代入y=中得2m=n，m+n=0，故正確；把A（2，m）、B（1，n）代入y=k1x+b得，2m=n，y=mxm，已知直線y=k1x+b與x軸、y軸相交于P、Q兩點(diǎn)，P（1，0），Q（0，m），OP=1，OQ=m，SAOP=m，SBOQ=m，SAOP=SBOQ；故正確；由圖象知不等式k1x+b的解集是x2或0x1，故正確；故答案為：9. （2019貴州畢節(jié)5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，一次函數(shù)y4x+4的圖象與x軸、y軸分別交于A.B兩點(diǎn)正方形ABCD的頂點(diǎn)C.D在第一象限，頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)y（k0）的圖象上若正方形ABCD向左平移n個單位后，頂點(diǎn)C恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則n的值是【答案】3【解答】解：過點(diǎn)D作DEx軸，過點(diǎn)C作CFy軸，ABAD，BAODAE，ABAD，BOADEA，ABODAE（AAS），AEBO，DEOA，易求A（1，0），B（0，4），D（5，1），頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)y上，k5，y，易證CBFBAO（AAS），CF4，BF1，C（4，5），C向左移動n個單位后為（4n，5），5（4n）5，n3，故答案為3；三、解答題：10. 甲、乙兩家商場進(jìn)行促銷活動，甲商場采用“滿200減100”的促銷方式，即購買商品的總金額滿200元但不足400元，少付100元；滿400元但不足600元，少付200元乙商場按顧客購買商品的總金額打6折促銷(1)若顧客在甲商場購買了510元的商品，付款時應(yīng)付多少錢？(2)若顧客在甲商場購買商品的總金額為x(400x600)元，優(yōu)惠后得到商家的優(yōu)惠率為p(p)，寫出p與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并說明p隨x的變化情況；(3)品牌、質(zhì)量、規(guī)格等都相同的某種商品，在甲、乙兩商場的標(biāo)價都是x(200x400)元，你認(rèn)為選擇哪家商場購買商品花錢較少？請說明理由【解析】：(1)510200310(元)(2)p(400x600)；p隨x的增大而減小(3)購x元(200x400)在甲商場的優(yōu)惠額是100元，乙商場的優(yōu)惠額是x0.6x0.4x.當(dāng)0.4x100，即200x250時，選甲商場優(yōu)惠；當(dāng)0.4x100，即x250時，選甲、乙商場一樣優(yōu)惠；當(dāng)0.4x100，即250x400時，選乙商場優(yōu)惠11. （2018菏澤）如圖，已知點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=的圖象上，過點(diǎn)D作DBy軸，垂足為B（0，3），直線y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)A（5，0），與y軸交于點(diǎn)C，且BD=OC，OC：OA=2：5（1）求反比例函數(shù)y=和一次函數(shù)y=kx+b的表達(dá)式；（2）直接寫出關(guān)于x的不等式kx+b的解集【分析】（1）由OC、OA、BD之間的關(guān)系結(jié)合點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，由點(diǎn)D的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出a值，進(jìn)而可得出反比例函數(shù)的表達(dá)式，再由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法，即可求出一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）將一次函數(shù)表達(dá)式代入反比例函數(shù)表達(dá)式中，利用根的判別式0可得出兩函數(shù)圖象無交點(diǎn)，再觀察圖形，利用兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系即可找出不等式kx+b的解集解：（1）BD=OC，OC：OA=2：5，點(diǎn)A（5，0），點(diǎn)B（0，3），OA=5，OC=BD=2，OB=3，又點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸，點(diǎn)D在第二象限，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3）點(diǎn)D（2，3）在反比例函數(shù)y=的圖象上，a=2×3=6，反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=將A（5，0）、B（0，2）代入y=kx+b，解得：，一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2（2）將y=x2代入y=，整理得： x22x+6=0，=（2）24××6=0，一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象無交點(diǎn)觀察圖形，可知：當(dāng)x0時，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方，不等式kx+b的解集為x012. (2018·泰安)如圖，矩形ABCD的兩邊AD，AB的長分別為3，8，E是DC的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，與AB交于點(diǎn)F.(1)若點(diǎn)B坐標(biāo)為(6，0)，求m的值及圖象經(jīng)過A，E兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式；(2)若AFAE2，求反比例函數(shù)的解析式【解析】：(1)點(diǎn)B坐標(biāo)為(6，0)，AD3，AB8，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)A(6，8)，E(3，4)函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)E，m3×412.設(shè)AE的解析式為ykxb，將點(diǎn)A，E坐標(biāo)代入，得解得一次函數(shù)的解析式為yx.(2)AD3，DE4，AE5.AFAE2，AF7，BF1.設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為(a，4)，則點(diǎn)F坐標(biāo)為(a3，1)，E，F(xiàn)兩點(diǎn)在函數(shù)y圖象上，4aa3，解得a1.E(1，4)m1×44.反比例函數(shù)的解析式為y.13. （2018·山東青島·8分）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過三個點(diǎn)A（4，3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m0（1）當(dāng)y1y2=4時，求m的值；（2）如圖，過點(diǎn)B、C分別作x軸、y軸的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)D，點(diǎn)P在x軸上，若三角形PBD的面積是8，請寫出點(diǎn)P坐標(biāo)（不需要寫解答過程）【分析】（1）先根據(jù)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，3），利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式為y=，再由反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出y1=，y2=，然后根據(jù)y1y2=4列出方程=4，解方程即可求出m的值；（2）設(shè)BD與x軸交于點(diǎn)E根據(jù)三角形PBD的面積是8列出方程PE=8，求出PE=4m，再由E（2m，0），點(diǎn)P在x軸上，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)【解答】解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，3），k=4×（3）=12，反比例函數(shù)的解析式為y=，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（2m，y1），C（6m，y2），y1=，y2= ，y1y2=4，=4，m=1；（2）設(shè)BD與x軸交于點(diǎn)E點(diǎn)B（2m，），C（6m，），過點(diǎn)B、C分別作x軸、y軸的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)D，D（2m，），BD=三角形PBD的面積是8，BDPE=8，PE=8，PE=4m，E（2m，0），點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)P坐標(biāo)為（2m，0）或（6m，0）14.( 2018·保定二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，ABO的邊AB垂直于x軸，垂足為點(diǎn)B，反比例函數(shù)y(x0)的圖象經(jīng)過AO的中點(diǎn)C，且與AB相交于點(diǎn)D，OB4，AD3.(1)求反比例函數(shù)y的解析式；(2)求cosOAB的值；(3)求經(jīng)過C，D兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式【解析】：(1)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，m)(m0)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，3m)點(diǎn)C為線段AO的中點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，)點(diǎn)C，D均在反比例函數(shù)y的圖象上，解得反比例函數(shù)的解析式為y.(2)m1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，4)，OB4，AB4.RtAOB是等腰直角三角形cosOABcos45°.(3)m1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，2)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，1)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)C，D的一次函數(shù)的解析式為yaxb，則有解得經(jīng)過C，D兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為yx3.16