2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員 第24講 尺規(guī)作圖（含解析）

第24講尺規(guī)作圖1尺規(guī)作圖的作圖工具圓規(guī)和沒有刻度的直尺2基本尺規(guī)作圖類型一：作一條線段等于已知線段步驟：作射線OP；以O(shè)為圓心，a為半徑作弧，交OP于A，OA即為所求線段圖示：類型三：作線段的垂直平分線步驟：分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB長(zhǎng)為半徑，在AB兩側(cè)作弧，兩弧交于M，N點(diǎn)；連接MN，直線MN即為所求垂直平分線圖示：類型四：作一個(gè)角等于已知角：步驟：以O(shè)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，交的兩邊于點(diǎn)P，Q；作射線OA；以O(shè)為圓心，OP長(zhǎng)為半徑作弧，交OA于點(diǎn)M；以點(diǎn)M為圓心，PQ長(zhǎng)為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)N；過點(diǎn)N作射線OB，AOB即為所求角圖示：類型五：過一點(diǎn)作已知直線的垂線步驟：點(diǎn)在直線上：以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交直線于A，B兩點(diǎn)；分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB長(zhǎng)為半徑在直線兩側(cè)作弧，交點(diǎn)分別為M，N；連接MN，MN即為所求垂線點(diǎn)在直線外：在直線另一側(cè)取點(diǎn)M；以PM為半徑畫弧，交直線于A，B兩點(diǎn)；分別以A，B為圓心，以大于AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交M同側(cè)于點(diǎn)N；連接PN，則直線PN即為所求的垂線圖示：3常見幾種基本尺規(guī)作圖作三角形 已知三邊作三角形；已知兩邊及其夾角作三角形；已知兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形4作圖的一般步驟 (1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)證明； (6)討論步驟(5)(6)常不作要求，步驟(3)一般不要求，但作圖中一定要保留作圖痕跡. 考點(diǎn)1：簡(jiǎn)單尺規(guī)作圖 【例題1】尺規(guī)作圖，已知頂角和底邊上的高，求作等腰三角形 已知：如圖，線段a. 求作：ABC，使ABAC，BAC，ADBC于D，且ADa.【解析】：作圖如圖，(1)作EAF；(2)作AG平分EAF，并在AG上截取ADa；(3)過D作MNAG，MN與AE，AF分別交于B，C.則ABC即為所求作的等腰三角形歸納：1熟悉五個(gè)基本的作圖步驟及作圖痕跡2平時(shí)多體會(huì)和理解一些復(fù)雜作圖的依據(jù)及作圖過程3會(huì)在常見的作圖語言與對(duì)應(yīng)的幾何語言之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化4提倡在平時(shí)畫圖時(shí)，采用尺規(guī)作圖，強(qiáng)化自己的作圖意識(shí)和規(guī)范性考點(diǎn)2： 復(fù)雜尺規(guī)作圖【例題2】如圖，在ABC中，已知ABC90°.(1)請(qǐng)?jiān)贐C上找一點(diǎn)P，作P與AC，AB都相切，與AC的切點(diǎn)為Q；(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡)(2)連接BQ，若AB3，(1)中所作圓的半徑為，求sinCBQ.【分析】(1)要求作P與AB、AC相切，根據(jù)切線的性質(zhì)，即點(diǎn)P到AB、AC的距離相等，且點(diǎn)P在邊BC上，想到角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，即作BAC的平分線交BC于P點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PB為半徑作圓即可；(2)由切線長(zhǎng)定理得ABAQ，又PBPQ，則判定AP為BQ的垂直平分線，利用等角的余角相等得到CBQBAP，然后在RtABP中利用正弦函數(shù)求出sinBAP，從而可得到sinCBQ的值解：(1)如圖所示，P即為所求：(2)AB、AQ為P的切線，ABAQ，PBPQ，AP為BQ的垂直平分線，BAPABQ90°，CBQABQ90°，CBQBAP，在RtABP中，AP，sinBAP，sinCBQ考點(diǎn)3： 關(guān)于尺規(guī)作圖的應(yīng)用【例題3】（2019廣西池河8分）如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)C在O上（1）尺規(guī)作圖：作BAC的平分線，與O交于點(diǎn)D；連接OD，交BC于點(diǎn)E（不寫作法，只保留作圖痕跡，且用黑色墨水筆將作圖痕跡加黑）；（2）探究OE與AC的位置及數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論【分析】（1）利用基本作圖作AD平分BAC，然后連接OD得到點(diǎn)E；（2）由AD平分BAC得到BADBAC，由圓周角定理得到BADBOD，則BODBAC，再證明OE為ABC的中位線，從而得到OEAC，OEAC【解答】解：（1）如圖所示；（2）OEAC，OEAC理由如下：AD平分BAC，BADBAC，BADBOD，BODBAC，OEAC，OAOB，OE為ABC的中位線，OEAC，OEAC一、選擇題：1. （2018年湖北省宜昌市3分）尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線，下列作圖中正確的是（）【答案】B【解答】已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C作法：（1）任意取一點(diǎn)K，使K和C在AB的兩旁（2）以C為圓心，CK的長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E（3）分別以D和E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F，（4）作直線CF直線CF就是所求的垂線故選：B2. （2018襄陽）如圖，在ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN分別交BC，AC于點(diǎn)D，E若AE=3cm，ABD的周長(zhǎng)為13cm，則ABC的周長(zhǎng)為（）A16cmB19cmC22cmD25cm【答案】B【解答】解：DE垂直平分線段AC，DA=DC，AE=EC=6cm，AB+AD+BD=13cm，AB+BD+DC=13cm，ABC的周長(zhǎng)=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，故選：B3. （2019河北3分）根據(jù)圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功找到三角形外心的是（）ABCD【答案】C【解答】解：三角形外心為三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，由基本作圖得到C選項(xiàng)作了兩邊的垂直平分線，從而可用直尺成功找到三角形外心故選：C4. （2019貴陽3分）如圖，在ABC中，ABAC，以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)B和點(diǎn)D，再分別以點(diǎn)B，D為圓心，大于BD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，作射線CM交AB于點(diǎn)E若AE2，BE1，則EC的長(zhǎng)度是（）A2B3CD【答案】D【解答】解：由作法得CEAB，則AEC90°，ACABBE+AE2+13，在RtACE中，CE故選：D5. （2018河南）如圖，已知AOBC的頂點(diǎn)O（0，0），A（1，2），點(diǎn)B在x軸正半軸上按以下步驟作圖：以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑作弧，分別交邊OA，OB于點(diǎn)D，E；分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在AOB內(nèi)交于點(diǎn)F；作射線OF，交邊AC于點(diǎn)G，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（）A（1，2）B（，2）C（3，2）D（2，2）【答案】A【解答】解：AOBC的頂點(diǎn)O（0，0），A（1，2），AH=1，HO=2，RtAOH中，AO=，由題可得，OF平分AOB，AOG=EOG，又AGOE，AGO=EOG，AGO=AOG，AG=AO=，HG=1，G（1，2），故選：A二、填空題：6. （2018南京）如圖，在ABC中，用直尺和圓規(guī)作AB、AC的垂直平分線，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，連接DE若BC=10cm，則DE= cm【答案】5【解答】解：用直尺和圓規(guī)作AB、AC的垂直平分線，D為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，DE是ABC的中位線，DE=BC=5cm故答案為：57. （2019河南3分）如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，D90°，AD4，BC3分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于AC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線BE交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O若點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，則CD的長(zhǎng)為 .【答案】2【解答】解：如圖，連接FC，則AFFCADBC，F(xiàn)AOBCO在FOA與BOC中，F(xiàn)OABOC（ASA），AFBC3，F(xiàn)CAF3，F(xiàn)DADAF431在FDC中，D90°，CD2+DF2FC2，CD2+1232，CD28. （2018淮安）如圖，在RtABC中，C=90°，AC=3，BC=5，分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q，過P、Q兩點(diǎn)作直線交BC于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)是【答案】【解答】解：連接ADPQ垂直平分線段AB，DA=DB，設(shè)DA=DB=x，在RtACD中，C=90°，AD2=AC2+CD2，x2=32+（5x）2，解得x=，CD=BCDB=5=，故答案為三、解答題：9. 2.如圖，在RtABC中，ACB90°. (1)利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母(保留作圖痕跡，不寫作法) 作AC的垂直平分線，交AB于點(diǎn)O，交AC于點(diǎn)D; 以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E. (2)在(1)所作的圖形中，解答下列問題. 點(diǎn)B與O的位置關(guān)系是_；(直接寫出答案) 若DE2，AC8，求O的半徑 解：(1)如圖所示：(2)連接OC，如圖，OD垂直平分AC，OAOC，AACO，AB90°，OCBACO90°，BOCB，OCOB，OBOA，點(diǎn)B在O上；ODAC，且點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，ADAC4，設(shè)O的半徑為r，則OAOEr，ODOEDEr2，在RtAOD中，OA2AD2OD2，即r242(r2)2，解得r5.O的半徑為510. （2018安徽分） 如圖，O為銳角ABC的外接圓，半徑為5.（1）用尺規(guī)作圖作出BAC的平分線，并標(biāo)出它與劣弧BC的交點(diǎn)E(保留作圖痕跡，不寫作法)；（2）若（1）中的點(diǎn)E到弦BC的距離為3，求弦CE的長(zhǎng).【答案】（1）畫圖見解析；（2）CE=【解析】【分析】（1）以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別與AB、AC有交點(diǎn)，再分別以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)距離的一半為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，過點(diǎn)A與這點(diǎn)作射線，與圓交于點(diǎn)E ，據(jù)此作圖即可；（2）連接OE交BC于點(diǎn)F，連接OC、CE，由AE平分BAC，可推導(dǎo)得出OEBC，然后在RtOFC中，由勾股定理可求得FC的長(zhǎng)，在RtEFC中，由勾股定理即可求得CE的長(zhǎng).【詳解】（1）如圖所示，射線AE就是所求作的角平分線；（2）連接OE交BC于點(diǎn)F，連接OC、CE，AE平分BAC， OEBC，EF=3，OF=5-3=2，在RtOFC中，由勾股定理可得FC=，在RtEFC中，由勾股定理可得CE=.11. （2019江蘇泰州8分）如圖，ABC中，C90°，AC4，BC8（1）用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）若（1）中所作的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，求BD的長(zhǎng)【分析】（1）分別以A，B為圓心，大于AB為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，作直線MN即可（2）設(shè)ADBDx，在RtACD中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題【解答】解：（1）如圖直線MN即為所求（2）MN垂直平分線段AB，DADB，設(shè)DADBx，在RtACD中，AD2AC2+CD2，x242+（8x）2，解得x5，BD512. （2018·廣東·6分）如圖，BD是菱形ABCD的對(duì)角線，CBD=75°，（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，作AB的垂直平分線EF，垂足為E，交AD于F；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）條件下，連接BF，求DBF的度數(shù)【分析】（1）分別以A、B為圓心，大于AB長(zhǎng)為半徑畫弧，過兩弧的交點(diǎn)作直線即可；（2）根據(jù)DBF=ABDABF計(jì)算即可；【解答】解：（1）如圖所示，直線EF即為所求；（2）四邊形ABCD是菱形，ABD=DBC=ABC=75°，DCAB，A=CABC=150°，ABC+C=180°，C=A=30°，EF垂直平分線線段AB，AF=FB，A=FBA=30°，DBF=ABDFBE=45°13. （2019湖北孝感8分）如圖，RtABC中，ACB90°，一同學(xué)利用直尺和圓規(guī)完成如下操作：以點(diǎn)C為圓心，以CB為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)G；分別以點(diǎn)G、B為圓心，以大于GB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)K，作射線CK；以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)M，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N；分別以點(diǎn)M、N為圓心，以大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作直線BP交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交射線CK于點(diǎn)E請(qǐng)你觀察圖形，根據(jù)操作結(jié)果解答下列問題；（1）線段CD與CE的大小關(guān)系是CDCE；（2）過點(diǎn)D作DFAB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AC12，BC5，求tanDBF的值 【分析】（1）由作圖知CEAB，BD平分CBF，據(jù)此得123，結(jié)合CEB+32+CDE90°知CEBCDE，從而得出答案；（2）證BCDBFD得CDDF，從而設(shè)CDDFx，求出AB13，知sinDAF，即，解之求得x，結(jié)合BCBF5可得答案【解答】解：（1）CDCE，由作圖知CEAB，BD平分CBF，123，CEB+32+CDE90°，CEBCDE，CDCE，故答案為：CDCE；（2）BD平分CBF，BCCD，BFDF，BCBF，CBDFBD，在BCD和BFD中，BCDBFD（AAS），CDDF，設(shè)CDDFx，在RtACB中，AB13，sinDAF，即， 解得x，BCBF5，tanDBF×15