福師大網絡教育《復變函數》網絡作業(yè)答案.doc

復變函數作業(yè)一 一、判斷（對的用T表示，錯的用F表示）1、如果存在，那么在解析。（ F ）2、。（ F ）3、當且僅當為實數時，為實數。（ F ）4、設在區(qū)域內是解析的，如果是實常數，那么在整個內是常數；如果是實常數，那么在內也是常數。（ T ）2、 填空1、= ；= 。2、設是1的次根，則= 0 。3、在映射下，扇形區(qū)域的像區(qū)域為 。4、若，則= 。三、計算1、 計算下列函數值：1）；2）。1）、解：主值 ,2）、解： 設3+4i的平方根是x+yi，x、yR，則有 x2-y2=3，且 2xy=4，求得 x=2，y=1，或x=-2 y=-1，故3+4i的平方根是 2+i，或-2-i，故答案為：2+i，或-2-i 2、下列函數在復平面上何處可導？何處解析？1）；2）。1）；解：因為 f(z)=|z| 當趨于0-時 f(z)=|-1； 當趨于0+時 f(z)=|1； 右極限不等于左極限。所以f(z)=|z|在z=0處不可導，而在除0以外的其他地方都可導且解析。2）。解：僅在直線上可導，在復平面上處處不解析。3、函數是否為解析函數？求出其導數。解：不是解析函數，因為滿足條件的只有兩個點，不成區(qū)域4、已知，求。解：5、計算積分 1）；解：1）； 2）；解：在內只有一個極點，所以令，所以3） ；解: 4） 。解： 四、證明：若積分路徑不經過，則。證明：如果積分路徑不經過，且不繞過， 則由柯西定理得，若積分繞z=轉 圈，則積分值為 若繞z = -i轉 圈，則積分值為故在一般情況下，積分值為五、證明：設是的共軛調和函數，問下列各對函數中后者是不是前者的共軛調和函數？判斷并給出理由：1）（為常數）；2）。1）證明：2） 不是 的共軛調和函數證明： 因為在某區(qū)域內的調和函數一定是該區(qū)域內某解析函數(可能多值)的實部或虛部，反之，某區(qū)域內的解析函數其實部與虛部都是該區(qū)域內的調和函數。和不滿足此條件，應該是2uv是的共軛調和函數。綜上所述，不是 的共軛調和函數。復變函數作業(yè)二一、判斷1、在z=0收斂，在z=3發(fā)散。（ F）2、在區(qū)域內解析，且在區(qū)間（-R，R）取實數值的函數f(z)展開成z的冪級數時，展開式的系數都是實數。（ T）3、在圓環(huán)區(qū)域內不能展開成羅朗級數。（ F）4、z=0是的本性奇點。（ T）二、填空1、的收斂半徑為 。2、展開成z的冪級數的收斂半徑= 。3、z=0是的 3 級零點。4、以z=a為m級和n級極點，則z=a為的 m+n 級 極 點。三、計算1、求在處的泰勒展開式。解：2、 求解：3、 求在z=1處的泰勒展開式。解：當z=1時，此函數的泰勒展開式為：（z-1）3-(z-1)2-3(z-1)4、將在以為中心的圓環(huán)域內展開為羅朗級數。解: 四、若為整函數，且，則是不高于n 次的多項式。證明：當時，令當時，復變函數作業(yè)三一、 判斷題（對的用“T”表示，錯的用“F”表示）1、若在區(qū)域內單葉解析，則在內。（F）2、線性變換將平面上的圓周變?yōu)閳A周或直線。（T ）3、解析函數具有保形性。（F）4、函數在可去奇點處的留數為0。（ F ）二、 填空題1、方程在單位圓內有 6 個根。2、關于的對稱點為 x+(y-1)=1 。3、，則= 4 。4、在點處的旋轉角為 ，伸縮率為 20 。三、 計算題1、解：設f1(z)=1/(z-2)(z-48)(z-50)，f2(z)=1/(z-1)(z-48)(z-50)，f3(z)=1/(z-1)(z-2)(z-50)，則答案為 2if1(1)+f2(2)+f3(48)2、解：3、解： 4、求把平面的單位圓變?yōu)槠矫娴膯挝粓A，并使1成為不動點，使變?yōu)闊o窮遠點的線性變換。解：依題意得，設 ，因為1+i關于單位圓的對稱點為 ，無窮遠點關于單位圓的對稱點是0，5、 求把平面的單位圓 變?yōu)槠矫娴膯挝粓A的線性變換，使。解：設圓周內部一點Z=a()變?yōu)閣=0,點a(a0)關于單位圓周 對稱點 ，應該變?yōu)閣=0 關于單位圓周 的對稱點 ，因此所求變換具有形式為： 其中 為常數，當 時， ，故取z=1，對應點w滿足 因此令 從而所求的變換為