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1、1數(shù)列的概念數(shù)列的概念收斂數(shù)列的性質收斂數(shù)列的性質小結小結 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) 數(shù)列極限的概念數(shù)列極限的概念概念的引入概念的引入第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限2一、概念的引入一、概念的引入 極限概念是從常量到變量極限概念是從常量到變量,從有限到無限從有限到無限, 即從初等數(shù)學過渡到高等數(shù)學的關鍵即從初等數(shù)學過渡到高等數(shù)學的關鍵. 極限的思想源遠流長極限的思想源遠流長.莊子莊子(約公元前約公元前355275年年)在在天下篇天下篇 “一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,萬世不竭萬世不竭”.意思是意思是:一尺長的棍子一尺長的棍子,第一天取其一半第一天取其一半
2、, 第二第二天取其剩下的一半天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一以后每天都取其剩下的一半半,這樣永遠也取不完這樣永遠也取不完.數(shù)列的極限數(shù)列的極限 中寫道中寫道:3劉徽劉徽(三世紀三世紀)的的“割圓術割圓術”中說中說:意思是意思是:設給定半徑為設給定半徑為1尺的圓尺的圓,從圓內接正從圓內接正6邊邊形開始形開始,每次把邊數(shù)加倍每次把邊數(shù)加倍,屢次用勾股定理屢次用勾股定理.求出求出正正12邊形、邊形、等等正多邊形的邊長等等正多邊形的邊長,正正24邊形邊形.邊數(shù)越多邊數(shù)越多, 圓內接正多邊形越與圓接近圓內接正多邊形越與圓接近,最后與最后與圓周重合圓周重合, 則正多邊形周長與圓周長就沒有誤則正多邊
3、形周長與圓周長就沒有誤差了差了.數(shù)列的極限數(shù)列的極限 “割之彌細割之彌細,所失彌少所失彌少.割之又割割之又割,以至不可以至不可割割,則與圓周合體則與圓周合體,而無所失矣而無所失矣.”4正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAASR數(shù)列的極限數(shù)列的極限5如如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n定義定義 按照自然數(shù)的順序排列的一列數(shù)按照自然數(shù)的順序排列的一列數(shù),21nxxx簡記為簡記為的的稱為數(shù)列稱為數(shù)列其中其中nnxx通項通項(generalterm),或者或者一般項一般項.,nx數(shù)
4、列的極限數(shù)列的極限二、數(shù)列二、數(shù)列 (sequence of number) 的概念的概念6可看作一動點在數(shù)軸上依次取可看作一動點在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn 數(shù)列的數(shù)列的(兩種兩種)幾何表示法幾何表示法:數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)數(shù)列可看作自變量為正整數(shù) n的函數(shù)的函數(shù): )(nfxn 整標函數(shù)整標函數(shù)或或下標函數(shù)下標函數(shù)(1)數(shù)列對應著數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列數(shù)軸上一個點列.數(shù)列的極限數(shù)列的極限7(2) 在平面上在平面上畫出自變量坐標軸和因變量坐標軸畫出自變量坐標軸和因
5、變量坐標軸,注注 不可將這串點連成曲線不可將這串點連成曲線.onxn 1 2 3 4則數(shù)列的幾何意義是則數(shù)列的幾何意義是數(shù)列的極限數(shù)列的極限平面上平面上一串分離一串分離的點的點. .8三、數(shù)列極限三、數(shù)列極限的概念的概念.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當研究數(shù)列研究數(shù)列 nnn即即,511,411,311,211, 11 56,43,34,21, 2問題問題當當 無限增大無限增大時時, 是否是否無限接近無限接近于某一于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?nxn如果是如果是,當當n無限增大無限增大時時, nx無限接近無限接近于于1.數(shù)列的極限數(shù)列的極限如何確定如何確定?9如何用數(shù)學語言刻劃它如何用數(shù)
6、學語言刻劃它.1 nx1)1)1(1(1 nn1 nx可以要多么小就多么小可以要多么小就多么小,則要看則要看1 nx“無限接近無限接近” 意味著什么意味著什么?|.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當研究數(shù)列研究數(shù)列 nnnn1 只要只要n充分大充分大,小到什么要求小到什么要求.數(shù)列的極限數(shù)列的極限當當n無限增大無限增大時時, 無限接近無限接近于于1.nx10,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時時只只要要 n,100011 nx有有, 0
7、 給給定定,)1(時時只要只要 Nn.1成成立立有有 nxnxn1|1| 數(shù)列的極限數(shù)列的極限11定義定義 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) (不論它多么小不論它多么小), 總存在正整數(shù)總存在正整數(shù)N, 使得對于使得對于 時的一切時的一切Nn ,nx不等式不等式 axn成立成立. 收斂收斂于于a (converge to a) . nx或稱數(shù)列或稱數(shù)列 記為記為,limaxnn 或或).( naxn那末就稱常數(shù)那末就稱常數(shù)a是數(shù)列是數(shù)列nx的的極限極限(limit),如果數(shù)列沒有極限如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列就說數(shù)列發(fā)散發(fā)散(diverge).數(shù)列的極限數(shù)列的極限12,有有關關與與
8、給給定定的的 N注注xn有沒有極限有沒有極限, 一般地說一般地說,是是任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) 但是一旦給出之后但是一旦給出之后,它就是確定了它就是確定了;主要看主要看“后面后面”的無窮多項的無窮多項. axn有有,時時當當Nn , 0 , 0 NN 定義定義 采用采用邏輯符號邏輯符號將將axnn lim的定義可縮寫為的定義可縮寫為:數(shù)列的極限數(shù)列的極限(1)(2)(3)(4)“前面前面” 的有限項不起作用的有限項不起作用,;的無限接近的無限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axaxnn ;,將越大將越大越小越小 N 13x1x2x2 Nx1 Nx3x數(shù)列極限的幾何意義數(shù)列極限的幾何意義 2
9、 a aa,時時當當Nn 數(shù)列極限的定義通常是用來進行推理數(shù)列極限的定義通常是用來進行推理注注需要預先知道極限值是多少需要預先知道極限值是多少.和證明極限和證明極限,而不是用來求極限而不是用來求極限, 因為這里因為這里.)(落落在在其其外外個個至至多多只只有有只只有有有有限限個個N數(shù)列的極限數(shù)列的極限 axan)(Nn ),( aUxn axn即即)(Nn ,),(內內都落在都落在所有的點所有的點 aaxn14例例. 1)1(lim1 nnnn證證明明1)1(1 nnnn1 , 0 ,1 nx要要,1 n只只要要 1n或或所以所以,1 N取取,時時則當則當Nn 1)1(1nnn有有. 1)1(
10、lim1 nnnn即即證證1 nx 雖然是可以任意小的正數(shù)雖然是可以任意小的正數(shù),但使用定義證題但使用定義證題時時,對于給定的對于給定的 總暫時認為它是固定的總暫時認為它是固定的,按照這按照這個個 找出使不等式成立的找出使不等式成立的N. , 解不等式解不等式 數(shù)列的極限數(shù)列的極限15例例證明數(shù)列證明數(shù)列 以以 0為為極限極限.）、321(2cos1 nnnxn , 0 證證要使要使02cos10 nnxn由于由于02cos1 nn,1 n只只要要,1 n或或,1 N取取,時時則當則當Nn 有有.02cos1 nn02cos1lim nnn即即 為了簡化解不等式的運算為了簡化解不等式的運算,常
11、常常把常把 作適當?shù)胤糯笞鬟m當?shù)胤糯?axn . 2cos1 nnn1 數(shù)列的極限數(shù)列的極限用定義證數(shù)列極限存在時用定義證數(shù)列極限存在時,關鍵是任意給關鍵是任意給定定 尋找尋找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 16例例.lim),(CxCCxnnn 證證明明為為常常數(shù)數(shù)設設證證Cxn CC ,成立成立 ,0 任任給給所以所以,0 ,n對于一切自然數(shù)對于一切自然數(shù).limCxnn 說明說明 常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).數(shù)列的極限數(shù)列的極限17例例. 10, 0lim qqnn其其中中證證明明證證0 ,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,時時則則當
12、當Nn ,0 nq有有. 0lim nnq,lnlnqn 為了使為了使只需使只需使),10( 不妨設不妨設數(shù)列的極限數(shù)列的極限181. 有界性有界性如如,1 nnxn數(shù)數(shù)列列nnx2 數(shù)數(shù)列列有界有界;無界無界.定義定義,nx對對數(shù)數(shù)列列若存在正數(shù)若存在正數(shù)M,|成成立立Mxn 數(shù)數(shù)n,恒有恒有稱為無界稱為無界.則稱數(shù)列則稱數(shù)列 有界有界;nx 數(shù)軸上對應于有界數(shù)列的點數(shù)軸上對應于有界數(shù)列的點 都落在都落在nx,MM 閉區(qū)間閉區(qū)間 上上.否則否則,使得一切自然使得一切自然數(shù)列的極限數(shù)列的極限四、四、收斂數(shù)列的性質收斂數(shù)列的性質19定理定理1 1證證,limaxnn 設設由定義由定義, 1 取取
13、, 1, axNnNn時恒有時恒有使得當使得當則則. 11 axan即即有有,max,n則則對對一一切切自自然然數(shù)數(shù) .有界有界故故nx有界性是數(shù)列收斂的必要條件有界性是數(shù)列收斂的必要條件, 推論推論注注收斂收斂的數(shù)列必定有界的數(shù)列必定有界. .數(shù)列的極限數(shù)列的極限無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .不是充分條件不是充分條件.,1 a1 a M記記,|,|1x|,|2x|,|Nx,Mxn 皆有皆有202. 唯一性唯一性定理定理2 2證證,limaxnn 設設由定義由定義,;1 axNnn時時恒恒有有當當;2 bxNnn時時恒恒有有當當 ,max21NNN 取取時時有有則則當當Nn |baax
14、bxnn .2 時時僅僅當當ba 故收斂數(shù)列極限唯一故收斂數(shù)列極限唯一.每個每個收斂收斂的數(shù)列只有一個極限的數(shù)列只有一個極限. .)()(axbxnn ,limbxnn 又又數(shù)列的極限數(shù)列的極限才能成立才能成立., 021NN 使得使得21例例.)1(1是發(fā)散的是發(fā)散的數(shù)列數(shù)列證明證明 nnx證證,21 取取, 0 N則則,時時即即當當Nn 區(qū)間長度為區(qū)間長度為1.,1, 1兩個數(shù)兩個數(shù)無休止地反復取無休止地反復取而而 nx不可能同時位于不可能同時位于長度為長度為1的區(qū)間內的區(qū)間內.,是有界的是有界的nx數(shù)列的極限數(shù)列的極限21 a21 aa,時時當當Nn ,21成立成立有有 axn 反證法反
15、證法假設數(shù)列假設數(shù)列nx收斂收斂， 則有唯一極限則有唯一極限a 存在存在. .),21,21( aaxn但卻發(fā)散但卻發(fā)散. .22數(shù)列的極限數(shù)列的極限3. 保號性保號性定理定理3 3 如果如果,limaxnn 且且0 a, 0 N則則,Nn 當當0 nx有有),0( a).0( nx證證0 a由定義由定義, 02 a ,時時當當Nn 對對, 0 N,2aaxn 有有 從而從而 nx2aa 2a . 0 推論推論 如果數(shù)列如果數(shù)列 nx從某項起有從某項起有0 nx),0( nx且且,limaxnn 那么那么0 a).0( a用反證法用反證法23在數(shù)列在數(shù)列 中依次任意抽出中依次任意抽出無窮無窮多
16、項多項: nx,21knnnxxx所構成的新數(shù)列所構成的新數(shù)列)(21 knnn其其下下標標knx這里這里 是原數(shù)列中的第是原數(shù)列中的第 項項,kn在子數(shù)列中是在子數(shù)列中是第第k項項,k4. 收斂數(shù)列與其子數(shù)列收斂數(shù)列與其子數(shù)列(subsequence)間的關系間的關系knx的的nx子數(shù)列子數(shù)列.叫做數(shù)列叫做數(shù)列數(shù)列的極限數(shù)列的極限kn 24*, axkn證證knx是數(shù)列是數(shù)列nx的任一子數(shù)列的任一子數(shù)列. .若若,limaxnn 則則, 0 ,N ,Nn 當當 axn成立成立. .現(xiàn)取正整數(shù)現(xiàn)取正整數(shù) K,使使,N 于是當于是當 k時時, 有有 knN 從而有從而有由此證明由此證明 .lim
17、axknk *NNx定理定理4 4設數(shù)列設數(shù)列數(shù)列的極限數(shù)列的極限, 0 正整數(shù)正整數(shù) K, axknKnKKnKnxKnKk 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限收斂于同一極限. .25 由此定理可知由此定理可知,但若已知一個子數(shù)列發(fā)散但若已知一個子數(shù)列發(fā)散, 或有兩個子數(shù)列或有兩個子數(shù)列斂于斂于a .nx12 kx2kx收斂于不同的極限值收斂于不同的極限值,可斷定原數(shù)列是發(fā)散的可斷定原數(shù)列是發(fā)散的.數(shù)列的極限數(shù)列的極限一般不能斷定原數(shù)列的收斂性一般不能斷定原數(shù)列的收斂性;還可以證明還可以證明:數(shù)列數(shù)列的奇子數(shù)列的奇子數(shù)列和偶子數(shù)列和偶子數(shù)列均收斂于同一常數(shù)均收斂于同一常數(shù)
18、a 時時,則數(shù)列則數(shù)列nx也收也收僅從某一個子數(shù)列的收斂僅從某一個子數(shù)列的收斂(證明留給做作業(yè)證明留給做作業(yè))26例例 試證數(shù)列試證數(shù)列 不收斂不收斂. ncos證證 因為因為 的奇子數(shù)列的奇子數(shù)列 ncos不收斂不收斂.收斂于收斂于, 1, 1, 1 而偶子數(shù)列而偶子數(shù)列 , 1, 1, 1 ncos所以數(shù)列所以數(shù)列數(shù)列的極限數(shù)列的極限 收斂于收斂于, 1 , 127數(shù)列數(shù)列數(shù)列極限數(shù)列極限收斂數(shù)列的性質收斂數(shù)列的性質收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關系收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關系.五、小結五、小結數(shù)列的極限數(shù)列的極限研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;極限思想極限思想, 精確定義精確定義, 幾何意義幾何意義;有界性有界性, 唯一性唯一性,保號性保號性,28數(shù)列的極限數(shù)列的極限思考題思考題 31 axn, 0 , 0 N“”恒有恒有是數(shù)列是數(shù)列nx收斂于收斂于a的的( ). A. 充分但非必要條件充分但非必要條件B. 必要但非充分條件必要但非充分條件C. 充分必要條件充分必要條件D. 既非充分也非必要條件既非充分也非必要條件(1)C (2).(lim,lim2 nnnnaKa則則若若KA.KB 2.2.KCD. 不確定不確定A,時時當當Nn 29作業(yè)作業(yè)習題習題1-2 (301-2 (30頁頁) ) 2. 3.(1) (3) (4) 4. 5. 6. 數(shù)列的極限數(shù)列的極限
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