2013年數學(理)熱點專題專練：專題4 三角函數、解三角形、平面向量

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1、word 專題4　三角函數、解三角形、平面向量測試題 一、選擇題：本大題共12小題，每一小題5分，共60分．在每一小題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的． 1．函數f(x)＝lgsin的一個增區(qū)間為(　　) A.B. C.D. 解析　由sin>0，得sin<0，∴π＋2kπ<2x－<2π＋2kπ，k∈Z；又f(x)＝lgsin的增區(qū)間即sin在定義域的增區(qū)間，即sin在定義域的減區(qū)間，故π＋2kπ<2x－<＋2kπ，k∈Z.化簡得＋kπ0)的最小正周期

2、為1，如此它的圖象的一個對稱中心為(　　) A．(－，0) B．(－，0) C.D．(0,0) 解析　f(x)＝2sin(a>0)，∵T＝＝1，∴a＝2π，∴f(x)＝2sin，由2πx＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，當k＝1時，x＝，故是其一個對稱中心，應當選C. 答案　C 3．函數f(x)＝asinx＋acosx(a<0)的定義域為[0，π]，最大值為4，如此a的值為(　　) A．－B．－2 C．－D．－4 解析　f(x)＝asinx＋acosx＝asin，當x∈[0，π]時，x＋∈，∴sin∈，由于a<0，故asin∈[a，－a]，即f(x)的最大值為－a，∴－a＝

3、4，即a＝－4.應當選D. 答案　D 4．將函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0,0<φ<π)的圖象向右平移個單位，所得曲線的一局部如下列圖，如此f(x)的解析式為(　　) A．f(x)＝sin＋1 B．f(x)＝sin＋ C．f(x)＝2sin－ D．f(x)＝sin＋ 解析　圖象平移之前與平移之后的A，ω，k都是一樣的，由平移之后的圖象可知2A＝3，∴A＝，k＝；T＝2×＝，∴ω＝. 設平移后的函數解析式為g(x)＝sin＋，將代入，得 sin＝1，∴φ1＝2kπ＋，k∈Z，取k＝0，如此φ1＝，故g(x)＝sin＋. 將其圖象向左平移個單位，得f

4、(x)的解析式為f(x) ＝sin＋， 即f(x)＝sin＋.應當選B. 答案　B 5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A＝60°，a＝4，b＝4，如此B＝(　　) A．45°或135° B．135° C．45° D．以上都不對 解析　由正弦定理，得sinB＝×4×＝，∴B＝45°或135°，又a>b，∴A>B，∴B＝45°.應當選C. 答案　C 6．在△ABC中，cos2＝(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，如此△ABC的形狀為(　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 解析　∵cos2＝，∴

5、＝， ∴1＋＝， 化簡得a2＋b2＝c2，故△ABC是直角三角形．應當選B. 答案　B 7．在△ABC中，假如角A，B，C成公差大于0的等差數列，如此cos2A＋cos2C的最大值為(　　) A.B. C．2 D．不存在 解析　∵角A，B，C成等差數列，∴A＋C＝2B， 又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°，A＋C＝120°. cos2A＋cos2C＝＋＝1＋(cos2A＋cos2C)＝1＋[cos(240°－2C)＋cos2C]＝1＋cos(2C＋60°)． ∵60°

6、cos2C的最大值不存在，應當選D. 答案　D 8．關于x的方程cos2x＋sin2x＝2k在有兩個不同的實數解，如此k的取值圍是(　　) A.B. C.D. 解析　由cos2x＋sin2x＝2k，得k＝(cos2x＋sin2x)＝ sin，當x∈時，2x＋∈， ∴－

7、在實數λ，使得b＝λa，如此|a＋b|＝|a|－|b| 解析　選項A錯，假如|a＋b|＝|a|－|b|，如此有a與b方向相反，且有|a|≥|b|；由此可得選項B中的結論也是錯誤的；選項C是正確的，選項D中，假如λ>0如此a，b同向，故錯誤． 答案　C 10．(2012·)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，如此BC＝(　　) A.B. C．2D. 解析　在△ABC中，設AB＝c，AC＝b，BC＝a，如此c＝2，b＝3，·＝||·||cos(180°－∠B)＝－accosB＝1，得acosB＝－.由余弦定理得：acosB＝a×＝＝－，解得a＝BC＝. 答案　A 11．(20

8、12·)兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，如此下面結論正確的答案是(　　) A．a∥bB．a⊥b C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b 解析　因為|a－b|＝|a＋b|，由向量的加法和減法法如此可知以a，b為鄰邊的平行四邊形對角線相等，故該平行四邊形是一個矩形，所以a⊥b.也可直接等式兩邊平方化簡得a·b＝0，從而a⊥b. 答案　B 12.(2012·)對任意兩個非零的平面向量α和β，定義α ·β＝.假如平面向量a，b滿足|a|≥|b|>0，a與b的夾角θ∈，且a·b和b·a都在集合{|n∈Z}中，如此a·b＝(　　) A.B．1 C.D. 解析　解法一：ba＝

9、＝cosθ，因θ∈，cosθ∈，又|a|≥|b|>0，所以ba<1，又ba∈{|n∈Z}，故ba＝，cosθ＝，＝，ab＝cosθ＝2cos2θ，又因cosθ∈，所以ab∈(1,2)，又ab∈{|n∈Z}，所以ab＝. 解法二(特殊值法)：取|a|＝，|b|＝1，θ＝，如此a·b＝＝＝，b·a＝＝＝，都在{|n∈Z}中． 答案　C 二、填空題：本大題共4小題，每一小題4分，共16分，將答案填在題中的橫線上． 13.如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，點D在BC邊上，∠ADC＝45°，如此AD的長度等于________． 解析　在△ABC中，cosC＝＝， ∴C＝30°，

10、由＝， ∴AD＝·sinC＝·＝. 答案　 14．△ABC的一個角為120°，并且三邊長構成公差為4的等差數列，如此△ABC的面積為________． 解析　設三邊長為a，a＋4，a＋8，如此120°角所對邊長為a＋8，由余弦定理得(a＋8)2＝a2＋(a＋4)2－2a·(a＋4)·cos120°，化簡得a2－2a－24＝0，解得a＝6或a＝－4(舍去)． ∴三角形面積S＝a·(a＋4)·sin120°＝15. 答案　15 15．(2011·課標)在△ABC中，B＝60°，AC＝，如此AB＋2BC的最大值為________． 解析　由正弦定理，＝＝＝2， 得AB＝2sinC，

11、BC＝2sinA， 如此AB＋2BC＝2sinC＋4sinA＝2sin(180°－60°－A)＋4sinA＝cosA＋5sinA＝2sin(A＋φ)，其中tanφ＝(φ為銳角)，故當A＋φ＝時，AB＋2BC取最大值2. 答案　2 16．(2011·)在相距2千米的A、B兩點處測量目標點C，假如∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，如此A、C兩點之間的距離為________千米． 解析　 如圖，∠C＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，＝. 得AC＝. 答案　 三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．(本小題總分為12分

12、) 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.＝. (1)求的值； (2)假如cosB＝，b＝2，求△ABC的面積S. 解　(1)由正弦定理，設＝＝＝k， 如此＝＝. 所以＝ 即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB， 化簡可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C) 又A＋B＋C＝π， 所以sinC＝2sinA.因此＝2. (2)由＝2得c＝2a. 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB與cosB＝，b＝2， 得4＝a2＋4a2－4a2× 解得a＝1，從而c＝2 又因為cosB＝，且0

13、sinB＝×1×2×＝. 18．(本小題總分為12分) (2012·)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，角A，B，C成等差數列． (1)求cosB的值； (2)邊a，b，c成等比數列，求sinAsinC的值． 解　(1)由2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°， 解得B＝60°，所以cosB＝. (2)解法一：由b2＝ac，與cosB＝， 根據正弦定理得sin2B＝sinAsinC， 所以sinAsinC＝1－cos2B＝. 解法二：由b2＝ac，與cosB＝， 根據余弦定理得cosB＝，解得a＝c， 所以A＝C＝B＝60°，故sinAsinC＝. 19．

14、(本小題總分為12分) 在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c. (1)假如sin＝2cosA，求A的值； (2)cosA＝，b＝3c，求sinC的值． 解　(1)由題設知sinAcos＋cosAsin＝2cosA，從而sinA＝cosA，所以cosA≠0，tanA＝.因為0

15、ac＝b2. (1)當p＝，b＝1時，求a，c的值； (2)假如角B為銳角，求p的取值圍． 解　(1)由題設并利用正弦定理，得解得或 (2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB ＝(a＋c)2－2ac－2accosB ＝p2b2－b2－b2cosB， 即p2＝＋cosB. 因為00，所以

16、osC， 即sin＝2sin2， 由sin≠0得2cos＋1＝2sin，即sin－cos＝， 兩邊平方得sinC＝. (2)由sin－cos＝>0，得<<， 即

17、援．為了方便測量和計算，現如圖(2)A，C分別為兩名攀巖者所在位置，B為山的拐角處，且斜坡AB的坡角為θ，D為山腳，某人在E處測得A，B，C的仰角分別為α，β，γ，ED＝a. (1)求：BD間的距離與CD間的距離； (2)求證：在A處攀巖者距地面的距離h＝. 解　(1)根據題意得∠CED＝γ，∠BED＝β，∠AED＝α. 在直角三角形CED中， tanγ＝，CD＝atanγ， 在直角三角形BED中，tanβ＝，BD＝atanβ. (2)證明：易得AE＝，BE＝， 在△ABE中，∠AEB＝α－β，∠EAB＝π－(α＋θ)， 正弦定理＝， 代入整理：h＝. - 10 - / 10