2013年數(shù)學(理)熱點專題專練：專題4 三角函數(shù)、解三角形、平面向量

word專題4三角函數(shù)、解三角形、平面向量測試題一、選擇題：本大題共12小題，每一小題5分，共60分在每一小題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的1函數(shù)f(x)lgsin的一個增區(qū)間為()A.B.C.D.解析由sin>0，得sin<0，2k<2x<22k，kZ；又f(x)lgsin的增區(qū)間即sin在定義域的增區(qū)間，即sin在定義域的減區(qū)間，故2k<2x<2k，kZ.化簡得k<x<k，kZ，當k0時，<x<，應當選C.答案C2假如函數(shù)f(x)sinaxcosax(a>0)的最小正周期為1，如此它的圖象的一個對稱中心為()A(，0) B(，0)C.D(0,0)解析f(x)2sin(a>0)，T1，a2，f(x)2sin，由2xk，kZ，得x，kZ，當k1時，x，故是其一個對稱中心，應當選C.答案C3函數(shù)f(x)asinxacosx(a<0)的定義域為0，最大值為4，如此a的值為()AB2CD4解析f(x)asinxacosxasin，當x0，時，x，sin，由于a<0，故asina，a，即f(x)的最大值為a，a4，即a4.應當選D.答案D4將函數(shù)f(x)Asin(x)k(A>0，>0,0<<)的圖象向右平移個單位，所得曲線的一局部如下列圖，如此f(x)的解析式為()Af(x)sin1Bf(x)sinCf(x)2sinDf(x)sin解析圖象平移之前與平移之后的A，k都是一樣的，由平移之后的圖象可知2A3，A，k；T2×，.設平移后的函數(shù)解析式為g(x)sin，將代入，得sin1，12k，kZ，取k0，如此1，故g(x)sin.將其圖象向左平移個單位，得f(x)的解析式為f(x)sin，即f(x)sin.應當選B.答案B5在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A60°，a4，b4，如此B()A45°或135° B135°C45° D以上都不對解析由正弦定理，得sinB×4×，B45°或135°，又a>b，A>B，B45°.應當選C.答案C6在ABC中，cos2(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，如此ABC的形狀為()A正三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析cos2，1，化簡得a2b2c2，故ABC是直角三角形應當選B.答案B7在ABC中，假如角A，B，C成公差大于0的等差數(shù)列，如此cos2Acos2C的最大值為()A.B.C2 D不存在解析角A，B，C成等差數(shù)列，AC2B，又ABC180°，B60°，AC120°.cos2Acos2C1(cos2Acos2C)1cos(240°2C)cos2C1cos(2C60°)60°<C<120°，180°<2C60°<300°，<1cos(2C60°)<，即cos2Acos2C的最大值不存在，應當選D.答案D8關于x的方程cos2xsin2x2k在有兩個不同的實數(shù)解，如此k的取值圍是()A.B.C.D.解析由cos2xsin2x2k，得k(cos2xsin2x)sin，當x時，2x，<sin.數(shù)形結合可知，當<k<時，方程有兩個不同的實數(shù)解應當選A.答案A9(2012·)設a，b是兩個非零向量()A假如|ab|a|b|，如此abB假如ab，如此|ab|a|b|C假如|ab|a|b|，如此存在實數(shù)，使得baD假如存在實數(shù)，使得ba，如此|ab|a|b|解析選項A錯，假如|ab|a|b|，如此有a與b方向相反，且有|a|b|；由此可得選項B中的結論也是錯誤的；選項C是正確的，選項D中，假如>0如此a，b同向，故錯誤答案C10(2012·)在ABC中，AB2，AC3，·1，如此BC()A.B.C2D.解析在ABC中，設ABc，ACb，BCa，如此c2，b3，·|·|cos(180°B)accosB1，得acosB.由余弦定理得：acosBa×，解得aBC.答案A11(2012·)兩個非零向量a，b滿足|ab|ab|，如此下面結論正確的答案是()AabBabC|a|b| Dabab解析因為|ab|ab|，由向量的加法和減法法如此可知以a，b為鄰邊的平行四邊形對角線相等，故該平行四邊形是一個矩形，所以ab.也可直接等式兩邊平方化簡得a·b0，從而ab.答案B12.(2012·)對任意兩個非零的平面向量和，定義 ·.假如平面向量a，b滿足|a|b|>0，a與b的夾角，且a·b和b·a都在集合|nZ中，如此a·b()A.B1C.D.解析解法一：bacos，因，cos，又|a|b|>0，所以ba<1，又ba|nZ，故ba，cos，abcos2cos2，又因cos，所以ab(1,2)，又ab|nZ，所以ab.解法二(特殊值法)：取|a|，|b|1，如此a·b，b·a，都在|nZ中答案C二、填空題：本大題共4小題，每一小題4分，共16分，將答案填在題中的橫線上13.如圖，ABC中，ABAC2，BC2，點D在BC邊上，ADC45°，如此AD的長度等于_解析在ABC中，cosC，C30°，由，AD·sinC·.答案14ABC的一個角為120°，并且三邊長構成公差為4的等差數(shù)列，如此ABC的面積為_解析設三邊長為a，a4，a8，如此120°角所對邊長為a8，由余弦定理得(a8)2a2(a4)22a·(a4)·cos120°，化簡得a22a240，解得a6或a4(舍去)三角形面積Sa·(a4)·sin120°15.答案1515(2011·課標)在ABC中，B60°，AC，如此AB2BC的最大值為_解析由正弦定理，2，得AB2sinC，BC2sinA，如此AB2BC2sinC4sinA2sin(180°60°A)4sinAcosA5sinA2sin(A)，其中tan(為銳角)，故當A時，AB2BC取最大值2.答案216(2011·)在相距2千米的A、B兩點處測量目標點C，假如CAB75°，CBA60°，如此A、C兩點之間的距離為_千米解析如圖，C180°75°60°45°.由正弦定理，.得AC.答案三、解答題：本大題共6小題，共74分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17(本小題總分為12分)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.(1)求的值；(2)假如cosB，b2，求ABC的面積S.解(1)由正弦定理，設k，如此.所以即(cosA2cosC)sinB(2sinCsinA)cosB，化簡可得sin(AB)2sin(BC)又ABC，所以sinC2sinA.因此2.(2)由2得c2a.由余弦定理b2a2c22accosB與cosB，b2，得4a24a24a2×解得a1，從而c2又因為cosB，且0<B<，所以sinB.因此SacsinB×1×2×.18(本小題總分為12分)(2012·)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，角A，B，C成等差數(shù)列(1)求cosB的值；(2)邊a，b，c成等比數(shù)列，求sinAsinC的值解(1)由2BAC，ABC180°，解得B60°，所以cosB.(2)解法一：由b2ac，與cosB，根據(jù)正弦定理得sin2BsinAsinC，所以sinAsinC1cos2B.解法二：由b2ac，與cosB，根據(jù)余弦定理得cosB，解得ac，所以ACB60°，故sinAsinC.19(本小題總分為12分)在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.(1)假如sin2cosA，求A的值；(2)cosA，b3c，求sinC的值解(1)由題設知sinAcoscosAsin2cosA，從而sinAcosA，所以cosA0，tanA.因為0<A<，所以A.(2)由cosA，b3c與a2b2c22bccosA，得a2b2c2.故ABC是直角三角形，且B.所以sinCcosA.20(本小題總分為12分)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.sinAsinCpsinB(pR)，且acb2.(1)當p，b1時，求a，c的值；(2)假如角B為銳角，求p的取值圍解(1)由題設并利用正弦定理，得解得或(2)由余弦定理，b2a2c22accosB(ac)22ac2accosBp2b2b2b2cosB，即p2cosB.因為0<cosB<1，得p2，由題設知p>0，所以<p<.21(本小題總分為12分)在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，sinCcosC1sin.(1)求sinC的值；(2)假如a2b24(ab)8，求邊c的值解(1)由得sinCsin1cosC，即sin2sin2，由sin0得2cos12sin，即sincos，兩邊平方得sinC.(2)由sincos>0，得<<，即<C<，由sinC，得cosC，由a2b24(ab)8，得(a2)2(b2)20，得a2，b2，由余弦定理得c2a2b22abcosC82，所以c1.22(本小題總分為14分)(2012·省哈六中一模)攀巖運動是一項刺激而危險的運動，如圖(1)在某次攀巖活動中，兩名運動員在如下列圖位置，為確保運動員的安全，地面救援者應時刻注意兩人離地面的距離，以備發(fā)生危險時進展與時救援為了方便測量和計算，現(xiàn)如圖(2)A，C分別為兩名攀巖者所在位置，B為山的拐角處，且斜坡AB的坡角為，D為山腳，某人在E處測得A，B，C的仰角分別為，EDa.(1)求：BD間的距離與CD間的距離；(2)求證：在A處攀巖者距地面的距離h.解(1)根據(jù)題意得CED，BED，AED.在直角三角形CED中， tan，CDatan，在直角三角形BED中，tan，BDatan.(2)證明：易得AE，BE，在ABE中，AEB，EAB()，正弦定理，代入整理：h.- 10 - / 10