概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題問題詳解 徐雅靜版

word習(xí)題答案第1章 三、解答題 1設(shè)P(AB) = 0，如此如下說法哪些是正確的？ (1) A和B不相容； (2) A和B相容； (3) AB是不可能事件； (4) AB不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0或P(B) = 0 (6) P(AB) = P(A) 解：(4) (6)正確. 2設(shè)A，B是兩事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，問： (1) 在什么條件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么條件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：因?yàn)?，又因?yàn)榧?所以(1) 當(dāng)時(shí)P(AB)取到最大值，最大值是=0.6.(2) 時(shí)P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3. 3事件A，B滿足，記P(A) = p，試求P(B) 解：因?yàn)?，即，所?4P(A) = 0.7，P(AB) = 0.3，試求 解：因?yàn)镻(AB) = 0.3，所以P(A ) P(AB) = 0.3,P(AB) = P(A ) 0.3,又因?yàn)镻(A) = 0.7，所以P(AB) =0.7 0.3=0.4，. 5 從5雙不同的鞋子種任取4只，問這4只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少？ 解：顯然總?cè)》ㄓ蟹N，以下求至少有兩只配成一雙的取法：法一：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數(shù)法二：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數(shù)法三：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數(shù)法四：先滿足有1雙配對再除去重復(fù)局部：-法五：考慮對立事件：- 其中：為沒有一雙配對的方法數(shù)法六：考慮對立事件： 其中：為沒有一雙配對的方法數(shù)所求概率為 6在房間里有10個(gè)人，分別佩戴從1號到10號的紀(jì)念章，任取3人記錄其紀(jì)念章的求： (1) 求最小為5的概率； (2) 求最大為5的概率 解：(1) 法一：，法二： (2) 法二：，法二： 7將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，求杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別為1，2，3的概率 解：設(shè)M1, M2, M3表示杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別為1，2，3的事件，如此, , 8設(shè)5個(gè)產(chǎn)品中有3個(gè)合格品，2個(gè)不合格品，從中不返回地任取2個(gè)，求取出的2個(gè)中全是合格品，僅有一個(gè)合格品和沒有合格品的概率各為多少？ 解：設(shè)M2, M1, M0分別事件表示取出的2個(gè)球全是合格品，僅有一個(gè)合格品和沒有合格品，如此, 9口袋中有5個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任取兩個(gè)，求取到的兩個(gè)球顏色一樣的概率 解：設(shè)M1=“取到兩個(gè)球顏色一樣，M1=“取到兩個(gè)球均為白球，M2=“取到兩個(gè)球均為黑球，如此.所以 10 假如在區(qū)間(0，1)任取兩個(gè)數(shù)，求事件“兩數(shù)之和小于6/5的概率 解：這是一個(gè)幾何概型問題以x和y表示任取兩個(gè)數(shù)，在平面上建立xOy直角坐標(biāo)系，如圖. 任取兩個(gè)數(shù)的所有結(jié)果構(gòu)成樣本空間W = (x，y)：0 £x，y £ 1 事件A =“兩數(shù)之和小于6/5= (x，y) ÎW ： x + y£ 6/5因此圖？ 11隨機(jī)地向半圓為常數(shù)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于的概率 解：這是一個(gè)幾何概型問題以x和y表示隨機(jī)地向半圓擲一點(diǎn)的坐標(biāo)，q表示原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與軸的夾角，在平面上建立xOy直角坐標(biāo)系，如圖. 隨機(jī)地向半圓擲一點(diǎn)的所有結(jié)果構(gòu)成樣本空間W=(x，y)： 事件A =“原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于 =(x，y)：因此 12，求 解： 13設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，如此另一件也是不合格品的概率是多少？ 解：題中要求的“所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，如此另一件也是不合格品的概率應(yīng)理解為求“所取兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品，如此兩件均為不合格品的概率。 設(shè)A=“所取兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品，B=“兩件均為不合格品；， 14有兩個(gè)箱子，第1箱子有3個(gè)白球2個(gè)紅球，第2個(gè)箱子有4個(gè)白球4個(gè)紅球，現(xiàn)從第1個(gè)箱子中隨機(jī)地取1個(gè)球放到第2個(gè)箱子里，再從第2個(gè)箱子中取出一個(gè)球，此球是白球的概率是多少？上述從第2個(gè)箱子中取出的球是白球，如此從第1個(gè)箱子中取出的球是白球的概率是多少？ 解：設(shè)A=“從第1個(gè)箱子中取出的1個(gè)球是白球，B=“從第2個(gè)箱子中取出的1個(gè)球是白球，如此，由全概率公式得由貝葉斯公式得 15將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時(shí)，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01，信息A與信息B傳送的頻繁程度為2：1，假如接收站收到的信息是A，問原發(fā)信息是A的概率是多少？ 解：設(shè)M=“原發(fā)信息是A，N=“接收到的信息是A，所以由貝葉斯公式得 16三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，各人能譯出的概率分別為，問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少？ 解：設(shè)Ai=“第i個(gè)人能破譯密碼，i=1,2,3.所以至少有一人能將此密碼譯出的概率為 17設(shè)事件A與B相互獨(dú)立，P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7，求. 解：由于A與B相互獨(dú)立，所以P(AB)=P(A)P(B),且P(AB)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)將P(A) = 0.4，P(AB P(B) = 0.5，所以或者,由于A與B相互獨(dú)立,所以A與相互獨(dú)立，所以 18甲乙兩人獨(dú)立地對同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)目標(biāo)被命中，如此它是甲射中的概率是多少？ 解：設(shè)A=“甲射擊目標(biāo)，B=“乙射擊目標(biāo)，M=“命中目標(biāo)，P(A)=P(B)=1,所以由于甲乙兩人是獨(dú)立射擊目標(biāo)，所以 19某零件用兩種工藝加工，第一種工藝有三道工序，各道工序出現(xiàn)不合格品的概率分別為0.3，0.2，0.1；第二種工藝有兩道工序，各道工序出現(xiàn)不合格品的概率分別為0.3，0.2，試問： (1) 用哪種工藝加工得到合格品的概率較大些？ (2) 第二種工藝兩道工序出現(xiàn)不合格品的概率都是0.3時(shí)，情況又如何？ 解：設(shè)Ai=“第1種工藝的第i道工序出現(xiàn)合格品，i=1,2,3； Bi=“第2種工藝的第i道工序出現(xiàn)合格品，i=1,2.1根據(jù)題意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2,第一種工藝加工得到合格品的概率為P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)=第二種工藝加工得到合格品的概率為P(B1B2)= P(B1)P(B2)=可見第二種工藝加工得到合格品的概率大。2根據(jù)題意，第一種工藝加工得到合格品的概率仍為0.504，而P(B1)=P(B2,第二種工藝加工得到合格品的概率為P(B1B2)= P(B1)P(B2)=可見第一種工藝加工得到合格品的概率大。 1設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件A，B和C滿足條件ABC = Æ，且，求P(A) 解：因?yàn)锳BC = Æ，所以P(ABC) =0,因?yàn)锳，B，C兩兩相互獨(dú)立，所以由加法公式得 即 考慮到得 2設(shè)事件A，B，C的概率都是，且，證明： 證明：因?yàn)椋詫⒋肷鲜降玫秸淼?3設(shè)0 < P(A) < 1，0 < P(B) < 1，P(A|B) +，試證A與B獨(dú)立 證明：因?yàn)镻(A|B) +，所以將代入上式得兩邊同乘非零的P(B)1-P(B)并整理得到所以A與B獨(dú)立. 4設(shè)A，B是任意兩事件，其中A的概率不等于0和1，證明是事件A與B獨(dú)立的充分必要條件 證明：充分性，由于，所以即兩邊同乘非零的P(A)1-P(A)并整理得到所以A與B獨(dú)立. 必要性：由于A與B獨(dú)立，即且所以一方面另一方面所以 5一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試第一次與格的概率為p，假如第一次與格如此第二次與格的概率也為p；假如第一次不與格如此第二次與格的概率為. (1) 假如至少有一次與格如此他能取得某種資格，求他取得該資格的概率 (2) 假如他第二次與格了，求他第第一次與格的概率 解：設(shè)Ai=“第i次與格，i=由全概率公式得(1) 他取得該資格的概率為(2) 假如他第二次與格了，他第一次與格的概率為 6每箱產(chǎn)品有10件，其中次品從0到2是等可能的，開箱檢驗(yàn)時(shí)，從中任取一件，如果檢驗(yàn)為次品，如此認(rèn)為該箱產(chǎn)品為不合格而拒收由于檢驗(yàn)誤差，一件正品被誤判為次品的概率為2%，一件次品被誤判為正品的概率為10%求檢驗(yàn)一箱產(chǎn)品能通過驗(yàn)收的概率 解：設(shè)Ai=“一箱產(chǎn)品有i件次品，i=M=“一件產(chǎn)品為正品，N=“一件產(chǎn)品被檢驗(yàn)為正品.由全概率公式又由全概率公式得一箱產(chǎn)品能通過驗(yàn)收的概率為 7用一種檢驗(yàn)法檢驗(yàn)產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效果如下假如真含有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為含有的概率為0.8；假如真含不有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為不含有的概率為0.9；據(jù)以往的資料知一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)或真不含有雜質(zhì)的概率分別為0.4和0.6今獨(dú)立地對一產(chǎn)品進(jìn)展三次檢驗(yàn)，結(jié)果是兩次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，而有一次認(rèn)為不含有雜質(zhì)，求此產(chǎn)品真含有雜質(zhì)的概率 解：A=“一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)，Bi=“對一產(chǎn)品進(jìn)展第i次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，i=1,2,3. 獨(dú)立進(jìn)展的三次檢驗(yàn)中兩次認(rèn)為含有雜質(zhì)，一次認(rèn)為不含有雜質(zhì)，不妨假設(shè)前兩次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，第三次認(rèn)為檢驗(yàn)不含有雜質(zhì)，即B1，B2發(fā)生了，而B3未發(fā)生.又知所以所求概率為由于三次檢驗(yàn)是獨(dú)立進(jìn)展的，所以 8火炮與坦克對戰(zhàn)，假設(shè)坦克與火炮依次發(fā)射，且由火炮先射擊，并允許火炮與坦克各發(fā)射2發(fā)，火炮與坦克每次發(fā)射的命中概率不變，它們分別等于0.3和0.35.我們規(guī)定只要命中就被擊毀試問 (1) 火炮與坦克被擊毀的概率各等于多少？ (2) 都不被擊毀的概率等于多少？ 解：設(shè)Ai=“第i次射擊目標(biāo)被擊毀，i=1,2,3,4.所以 (1) 火炮被擊毀的概率為 坦克被擊毀的概率為 (2) 都不被擊毀的概率為 9甲、乙、丙三人進(jìn)展比賽，規(guī)定每局兩個(gè)人比賽，勝者與第三人比賽，依次循環(huán)，直至有一人連勝兩次為止，此人即為冠軍，而每次比賽雙方取勝的概率都是，現(xiàn)假定甲乙兩人先比，試求各人得冠軍的概率 解：Ai=“甲第i局獲勝， Bi=“乙第i局獲勝，Bi=“丙第i局獲勝，i=1,2,.，由于各局比賽具有獨(dú)立性，所以在甲乙先比賽，且甲先勝第一局時(shí)，丙獲勝的概率為同樣，在甲乙先比賽，且乙先勝第一局時(shí)，丙獲勝的概率也為丙得冠軍的概率為甲、乙得冠軍的概率均為第二章2一、填空題：1. ，2. ，k = 0，1，n3. 為參數(shù)，k = 0，1，4. 5. 6. 7. 8. 9. X-112pi 分析：由題意，該隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)求法，可觀察出隨機(jī)變量的取值與概率。10. 分析：每次觀察下根本結(jié)果“X1/2出現(xiàn)的概率為，而此題對隨機(jī)變量X取值的觀察可看作是3重伯努利實(shí)驗(yàn)，所以11. ,同理，P| X | £ 3.5 =0.8822.12. .13. ，利用全概率公式來求解：二、單項(xiàng)選擇題：1. B，由概率密度是偶函數(shù)即關(guān)于縱軸對稱，容易推導(dǎo)F(-a)=2. B，只有B的結(jié)果滿足3. C，根據(jù)分布函數(shù)和概率密度的性質(zhì)容易驗(yàn)證4. D，可以看出不超過2，所以，可以看出，分布函數(shù)只有一個(gè)連續(xù)點(diǎn).5. C, 事件的概率可看作為事件A前三次獨(dú)立重復(fù)射擊命中一次與事件B第四次命中同時(shí)發(fā)生的概率，即.三、解答題A1(1)X123456pi分析：這里的概率均為古典概型下的概率，所有可能性結(jié)果共36種，如果X=1，如此明確兩次中至少有一點(diǎn)數(shù)為1，其余一個(gè)1至6點(diǎn)均可，共有這里指任選某次點(diǎn)數(shù)為1，6為另一次有6種結(jié)果均可取，減1即減去兩次均為1的情形，因?yàn)槎嗨懔艘淮位蚍N，故,其他結(jié)果類似可得.(2)2X-199pi注意，這里X指的是贏錢數(shù)，X取0-1或100-1，顯然.3，所以.4(1) ，(2) 、 、；5(1) ，(2) ，(3) .6(1) . (2) .7解：設(shè)射擊的次數(shù)為X，由題意知，其中8=400×0.02.8解：設(shè)X為事件A在5次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)，如此指示燈發(fā)出信號的概率；9. 解：因?yàn)閄服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，如此，如此10. (1)、由歸一性知：，所以.(2)、.11. 解 1由F(x)在x=1的連續(xù)性可得，即A=1.2.3X的概率密度.12. 解 因?yàn)閄服從0，5上的均勻分布，所以 假如方程有實(shí)根，如此，即，所以有實(shí)根的概率為13. 解: (1) 因?yàn)?所以(2) ，如此，經(jīng)查表得，即，得；由概率密度關(guān)于x=3對稱也容易看出。(3) ，如此，即，經(jīng)查表知，故，即；14. 解：所以 ，；由對稱性更容易解出；15. 解 如此 上面結(jié)果與無關(guān)，即無論怎樣改變，都不會改變；16. 解：由X的分布律知px-2-10134101921013所以 Y的分布律是Y0149pY0123pZ的分布律為 17. 解 因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，所以，如此，當(dāng)時(shí)，如此當(dāng)時(shí)，所以Y的概率密度為；18. 解，所以19. 解：，如此當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，20. 解: (1) 因?yàn)樗?2) ，因?yàn)椋?所以3 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，所以 ，因?yàn)?，所以四?yīng)用題1解：設(shè)X為同時(shí)打的用戶數(shù)，由題意知設(shè)至少要有k條線路才能使用戶再用時(shí)能接通的概率為0.99，如此，其中查表得k=5.2解：該問題可以看作為10重伯努利試驗(yàn)，每次試驗(yàn)下經(jīng)過5個(gè)小時(shí)后組件不能正常工作這一根本結(jié)果的概率為1-，記X為10塊組件中不能正常工作的個(gè)數(shù)，如此， 5小時(shí)后系統(tǒng)不能正常工作，即，其概率為3解：因?yàn)?，所以設(shè)Y表示三次測量中誤差絕對值不超過30米的次數(shù)，如此，(1) .(2) .4解： 當(dāng)時(shí)，是不可能事件，知， 當(dāng)時(shí)，Y和X同分布,服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，知， 當(dāng)時(shí)，為必然事件,知，因此，Y的分布函數(shù)為；5解：(1) 挑選成功的概率；(2) 設(shè)10隨機(jī)挑選成功的次數(shù)為X，如此該，設(shè)10隨機(jī)挑選成功三次的概率為：，以上概率為隨機(jī)挑選下的概率，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于該人成功的概率3/10=0.3，因此，可以斷定他確有區(qū)分能力。B1. 解：由概率密度可得分布函數(shù)，即，易知；2. 解： X服從的均勻分布，又如此，-11P所以Y的分布律為3. 解：，；4. 證明：因是偶函數(shù)，故，所以.5. 解：隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，顯然，當(dāng)時(shí)，是不可能事件，知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，是必然事件，知，即 。6. 1當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，即y>1時(shí)，所以；2， 當(dāng)時(shí)，為不可能事件，如此， 當(dāng)時(shí)，如此， 當(dāng)時(shí)，如此，根據(jù)得；3，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以 ；7. (1) 證明：由題意知。，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故有，可以看出服從區(qū)間0，1均勻分布；2 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 由以上結(jié)果，易知，可以看出服從區(qū)間0，1均勻分布。第三章1解：(X,Y)取到的所有可能值為(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式：PX=1,Y=1=PX=1PY=1|X=1|=2/3´1/2=/3同理可求得PX=1,Y=1=1/3; PX=2,Y=1=1/3(X,Y)的分布律用表格表示如下：YX1211/31/321/302 解：X，Y所有可能取到的值是0, 1, 2(1) PX=i, Y=j=PX=iPY=j|X=i|= , i,j=0,1,2, i+j£2或者用表格表示如下：YX01203/286/281/2819/286/28023/2800 (2)P(X,Y)ÎA=PX+Y£1=PX=0, Y=0+PX=1,Y=0+PX=0,Y=0=9/143 解：P(A)=1/4, 由P(B|A)=得P(AB)=1/8由P(A|B)=得P(B)=1/4(X,Y)取到的所有可能數(shù)對為(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),如此PX=0,Y=0=)=P(A)-P(B)+P(AB)=5/8PX=0,Y=1=P(B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8PX=1,Y=0=P(A)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8PX=1,Y=1=P(AB)=1/84.解：(1)由歸一性知：1=, 故A=4(2)PX=Y=0(3)PX<Y=(4)F(x,y)=即F(x,y)=5.解：PX+Y³1=6 解：X的所有可能取值為0,1,2,Y的所有可能取值為0,1,2, 3.33PX=1,Y=1=, PX=1,Y=2=33X,Y 的分布律可用表格表示如下：YX0123Pi.000100200P.j17. 解：8. 解：(1)所以 c=21/4(2) 9 解：(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布，故f(x,y)的概率密度為10 解：當(dāng)0<x£1時(shí)，即，11解：當(dāng)y£0時(shí)，當(dāng)y>0時(shí)，所以，12 解：由得13解：Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的所有可能取值如下表pi(X,Y)(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,0)(2,1)max(X,Y)001111222Min(X,Y)-100-101-101Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的分布律為Z012PkW -101Pj14 解：由獨(dú)立性得X，Y的聯(lián)合概率密度為如此PZ=1=PX£Y=PZ=0=1-PZ故Z的分布律為Z01Pk15 解：同理，顯然，所以X與Y不相互獨(dú)立.16 解：(1)利用卷積公式：求fZ(z)=(2) 利用卷積公式：17 解：由定理3.1p75知，X+YN(1,2)故18解：(1) (x>0)同理，y>0顯然，所以X與Y不相互獨(dú)立(2).利用公式19解：并聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)L的使用壽命Z=maxX,Y因XE(a),YE(b),故串聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)L的使用壽命Z=minX,Y (B)組1 解：PX=0=a+0.4, PX+Y=1=PX=1,Y=0+PX=0,Y=1=a+bPX=0,X+Y=1=PX=0,Y=1=a由于X=0|與X+Y=1相互獨(dú)立, 所以PX=0, X+Y=1=PX=0 PX+Y=1即 a=(a+0.4)(a+b) (1)再由歸一性知： 0.4+a+b+0.1=1 (2)解(1),(2)得 a=0.4, b2 解: (1) (2) 利用公式計(jì)算3.解：(1) FY(y)=PY£y=PX2£y當(dāng)y<0時(shí)，fY(y)=0當(dāng)y³0時(shí)，從而，(2) F(-1/2,4)=PX£-1/2,Y£4= PX£-1/2,X2£4=P-2£X£-1/2=4.解：PXY¹0=1-PXY=0=0即 PX=-1,Y=1+PX=1,Y=1=0由概率的非負(fù)性知，PX=-1,Y=1=0，PX=1,Y=1=0由邊緣分布律的定義，PX=-1= PX=-1,Y=0+ PX=-1,Y=1=1/4得PX=-1,Y=0=1/4再由PX=1= PX=1,Y=0+ PX=1,Y=1=1/4得PX=1,Y=0=1/4再由PY=1=PX=-1,Y=1+ PX=0,Y=1+ PX=1,Y=1= PX=0,Y=1知PX=0,Y=1=1/2最后由歸一性得：PX=0,Y=0=0(X,Y)的分布律用表格表示如下：YX01PX=i-11/401/4001/21/211/401/4PY=j1/21/21(2) 顯然，X和Y不相互獨(dú)立，因?yàn)镻X=-1,Y=0¹PX=-1PY=05 解：X與Y相互獨(dú)立，利用卷積公式計(jì)算6.解：(X,Y)(G)設(shè)F(x)和f(s)分別表示S=XY的分布函數(shù)和密度函數(shù)F(s)=PXY<ss<0時(shí)，F(xiàn)s(s)=0s³0時(shí)，所以，于是，S=Y概率密度為7.解：由全概率公式：FU(u)=PU£u=X+Y£u=PX=1PX+Y£u|X=1+ PX=2PX+Y£u|X=2= PX=1P1+Y£u+ PX=2P2+Y£u´FY(u´FY(u-2)所以，fU(u´fY´fY(u-2)8. 解：(1) (2) 如下列圖，當(dāng)z<0時(shí)，F(xiàn)Z(z)=0; 當(dāng)z³2時(shí)，F(xiàn)Z(z)=1 當(dāng)0£z<2時(shí):綜上所述，所以Z的概率密度為：9.解：(1) (2) (3) 10.解：(1)PZ£1/2|X=0=PX+Y£1/2|X=0=PY£1/2=1/2(2) 由全概率公式：FZ(z)=PZ£z=PX+Y£z=PX=1PX+Y£z|X=1+PX=0PX+Y£z|X=0=PX=-1PX+Y£z|X=-1= PX=1P1+Y£z+PX=0PY£z=PX=-1P-1+Y£z=1/3´FY(z-1)+ FY(z)+ FY(z+1)從而，fZ(z) =1/3´fY(z-1)+ fY(z)+ fY(z+1)=11.解：如圖，當(dāng)z<0時(shí)，F(xiàn)Z(z)=0; 當(dāng)z³1時(shí)，F(xiàn)Z(z)=1 當(dāng)0£z<1時(shí):綜上得：12Z的概率密度為12 解：當(dāng)z<0時(shí)，F(xiàn)Z(z)=0;當(dāng)z³0時(shí)，所以，Z的概率密度為第四章4三、解答題1. 設(shè)隨機(jī)變量的分布律為X 202pi求，解：E (X ) = = +0+2E (X 2) = = 4+ 0+ 4E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =32. 同時(shí)擲八顆骰子，求八顆骰子所擲出的點(diǎn)數(shù)和的數(shù)學(xué)期望解：記擲1顆骰子所擲出的點(diǎn)數(shù)為Xi，如此Xi 的分布律為記擲8顆骰子所擲出的點(diǎn)數(shù)為X ，同時(shí)擲8顆骰子，相當(dāng)于作了8次獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)，E (Xi) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6E (X ) =8×21/3=283. 某圖書館的讀者借閱甲種圖書的概率為p1，借閱乙種圖書的概率為p2，設(shè)每人借閱甲乙圖書的行為相互獨(dú)立，讀者之間的行為也是相互獨(dú)立的 (1) 某天恰有n個(gè)讀者，求借閱甲種圖書的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望(2) 某天恰有n個(gè)讀者，求甲乙兩種圖書至少借閱一種的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望解：(1) 設(shè)借閱甲種圖書的人數(shù)為X ，如此XB(n, p1),所以E (X )= np1(2) 設(shè)甲乙兩種圖書至少借閱一種的人數(shù)為Y , 如此YB(n, p),記A =借甲種圖書， B =借乙種圖書，如此p =A B= p1+ p2 - p1 p2所以E (Y )= n (p1+ p2 - p1 p2 )4. 將n個(gè)考生的的錄取通知書分別裝入n個(gè)信封，在每個(gè)信封上任意寫上一個(gè)考生的、地址發(fā)出，用X表示n個(gè)考生中收到自己通知書的人數(shù)，求E(X)解：依題意，XB(n，1/n)，所以E (X ) =1.5. 設(shè)，且，求E(X)解：由題意知XP，如此X的分布律P=，k = 1,2,.又P=P, 所以 解得 ，所以E(X) = 6.6. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為問X的數(shù)學(xué)期望是否存在？解：因?yàn)榧墧?shù)， 而發(fā)散，所以X的數(shù)學(xué)期望不存在.7. 某城市一天的用電量X十萬度計(jì)是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度為求一天的平均耗電量 解：E(X) =6. 8. 設(shè)某種家電的壽命X以年計(jì)是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為求這種家電的平均壽命E(X)解：由題意知，隨機(jī)變量X的概率密度為 當(dāng)>5時(shí)，當(dāng)£5時(shí)，0.E(X) =所以這種家電的平均壽命E(X)=10年.9. 在制作某種食品時(shí)，面粉所占的比例X的概率密度為求X的數(shù)學(xué)期望E(X)解：E(X) =1/4 10. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度如下，求E(X)解：.11. 設(shè)，求數(shù)學(xué)期望解：X的分布律為，k = 0，1，2，3，4，X取值為0，1，2，3，4時(shí)，相應(yīng)的取值為0，1，0，-1，0，所以 12. 設(shè)風(fēng)速V在(0，a)上服從均勻分布，飛機(jī)機(jī)翼受到的正壓力W是V的函數(shù)：，k > 0，常數(shù)，求W的數(shù)學(xué)期望解：V的分布律為，所以13. 設(shè)隨機(jī)變量(X, Y )的分布律為YX01203/289/283/2813/143/14021/2800求E(X)，E(Y )，E(X Y )解：E(X)=0×(3/28+9/28+3/28+1×(3/14+3/14+0)+ 2×(1/28+0+0)= 7/14=1/2E(Y)=0×3/28+3/14+1/28+1×(9/28+3/14+0)+ 2×(3/28+0+0)=21/28=3/4E(X-Y) = E(X)- E(Y)=1/2-3/4= -1/4.14. 設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)具有概率密度，求E(X)，E(Y)，E(XY)解：E(X)= 15. 某工廠完成某批產(chǎn)品生產(chǎn)的天數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，具有分布律X10 11 12 13 14pi所得利潤以元計(jì)為,求E(Y)，D(Y)解： E(Y) = E1000(12-X)=1000×(12-10)×0.2+(12-11)×0.3+(12-12)×0.3+(12-13)×0.1+(12-14)×0.1 = 400E(Y2) = E10002(12-X)2=10002(12-10)2×0.2+12-112×0.3+12-122×+12-132×+12-142××106D(Y)=E(Y2)-E(Y)2×106- 4002×10616. 設(shè)隨機(jī)變量X服從幾何分布 ，其分布律為其中0 < p < 1是常數(shù)，求E(X)，D(X)解：令q=1- p ,如此D(X) = E(X2)- E(X) =2q/p2+1/p-1/p2 = (1-p)/p217. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，試求E(X)，D(X)解：E(X)= D(X)= E(X2)=18. 設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)具有D(X) = 9，D(Y) = 4，求，解：因?yàn)?，所?-1/6×3×2=-1,19. 在題13中求Cov(X，Y)，rXY解：E(X) =1/2, E(Y) =3/4,E(XY)=0×(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28+1×3/14+2×0+4×0=3/14,E(X2)= 02×3/28+9/28+3/28+12×(3/14+3/14+0)+ 22×(1/28+0+0)=4/7,E(Y2)= 02×3/28+3/14+1/28+12×(9/28+3/14+0)+ 22×(3/28+0+0)=27/28,D(X)= E(X2) -E(X)2 = 4/7-(1/2)2= 9/28,D(Y)= E(Y2)- E(Y)2=27/28-(3/4)2= 45/112,Cov(X，Y)= E(XY)- E(X) E(Y) =3/14- (1/2) ×(3/4)= -9/56,rXY = Cov(X，Y) /()=-9/56 ¸ ()= -/520. 在題14中求Cov(X，Y)，rXY，D(X + Y)解：,21. 設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y )的概率密度為試驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的解：，所以Cov(X，Y)=0，rXY =0，即X和Y是不相關(guān).當(dāng)x2 + y21時(shí)，f ( x,y)fX( x) f Y(y),所以X和Y不是相互獨(dú)立的22. 設(shè)隨機(jī)變量(X, Y )的概率密度為驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的解：由于f ( x,y)的非零區(qū)域?yàn)镈: 0 < x < 1, | y |< 2x,所以Cov(X，Y)=0，從而，因此X與Y不相關(guān) . 所以，當(dāng)0<x<1, -2<y<2時(shí)，所以X和Y不是相互獨(dú)立的 .四、應(yīng)用題.1. 某公司計(jì)劃開發(fā)一種新產(chǎn)品市場，并試圖確定該產(chǎn)品的產(chǎn)量，他們估計(jì)出售一件產(chǎn)品可獲利m元，而積壓一件產(chǎn)品導(dǎo)致n元的損失，再者，他們預(yù)測銷售量Y件服從參數(shù)的指數(shù)分布，問假如要獲利的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？設(shè)m,n,均為.解：設(shè)生產(chǎn)x件產(chǎn)品時(shí)，獲利Q為銷售量Y的函數(shù) y 0< y<xx 2. 設(shè)賣報(bào)人每日的潛在賣報(bào)數(shù)為X服從參數(shù)為的泊松分布，如果每日賣出一份報(bào)可獲報(bào)酬m元，賣不掉而退回如此每日賠償n元，假如每日賣報(bào)人買進(jìn)r份報(bào)，求其期望所得與最優(yōu)賣報(bào)數(shù)。解： 設(shè)真正賣報(bào)數(shù)為Y ,如此，Y的分布為設(shè)賣報(bào)所得為Z ,如此Z 與Y 的關(guān)系為當(dāng)給定m,n,之后，求r，使得E(g(Y)達(dá)到最大.(B)組題1. 甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品，從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望； (2) 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率解：(1) X的可能取值為0，1，2，3，X的概率分布律為， k=0,1,2,3.即 X 0 1 2 3pi因此(2) 設(shè)A表示事件“從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品，由于，構(gòu)成完備事件組，因此根據(jù)全概率公式，有 = =2. 隨機(jī)變量X的概率密度為，對X獨(dú)立重復(fù)觀察4次，用Y表示觀察值大于的次數(shù)，求Y2的數(shù)學(xué)期望解：依題意，YB(4, p),p=PX >=所以E(Y)= 4p =2，D(Y)= 4p(1-p)=1， E(Y2) = D(Y)+E(Y)2=1+4=53. 設(shè)隨機(jī)變量U在區(qū)間(-2，2)上服從均勻分布，隨機(jī)變量試求：(1)和的聯(lián)合分布律；(2) 解：(1) PX =-1, Y =-1= PU -1且U 1= PU -1=，PX =-1, Y =1= PU -1且U >1=0，PX =1, Y =-1= P-1<U 1=，PX =1, Y =1= PU > -1且U >1= PU > 1=，所以和的聯(lián)合分布律為XY-11-11/41/2101/4(2) 和的邊緣分布律分別為X 11pi1/43/4Y 11pi3/41/4所以E(X)= -1/4+3/4=1/2，E(Y)= -3/4+1/4=-1/2，E(XY)= 1/4-1/2+1/4=0，E(X2)= 1/4+3/4=1，E(Y2)=1，D(X)=1-1/4=3/4，D(Y)=1-1/4=3/4，Cov(X，Y)=1/4，D(X+Y)= D(X)+ D(Y)+2 Cov(X，Y)=3/4+3/4+2/4=24. 設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)與方差存在，且有，證明證明：首先證明EY存在(1) 假如隨機(jī)變量X為離散型隨機(jī)變量，分布律為：如此由E(X)存在知，絕對收斂，且記,如此絕對收斂，所以EY存在，,(2) 假如X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x),如此：5. 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為，且E(X)，E(X2)，D(X)都存在，試證明：函數(shù)在時(shí)取得最小值，且最小值為D(X)證明：令，如此，所以，又，所以時(shí)，取得最小值，此時(shí) 6. 隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立同分布，且X的分布律為X12pi2/31/3記， (1) 求(U，V)的分布律；(2) 求U與V的協(xié)方差Cov(U，V).解：(1) (X ,Y)的分布律YX1214/92/922/91/9(X ,Y)1，11，22，12，2pij4/92/92/91/9U1222V1112VU1214/9024/91/9(2) E(U)= 4/9+2×5/9=14/9，E(V)= (4/9+2/9+2/9)+ 2×1/9=10/9，E(UV)= 4/9+2×4/9+4×1/9=16/9,Cov(U，V)=16/9-140/81=4/81 7. 隨機(jī)變量X的概率密度為令為二維隨機(jī)變量X，Y的分布函數(shù)，求Cov(X，Y)解： 8. 對于任意二事件A和B，0 < P(A) < 1，0 < P(B) < 1，稱作事件A和B的相關(guān)系數(shù) (1) 證明事件A和B獨(dú)立的充分必要條件是其相關(guān)系數(shù)等于零 (2) 利用隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)的根本性質(zhì)，證明證明: (1) ,即(2) 考慮隨機(jī)變量X和YX服從0-1分布:X01pi1-P(A)P(A)Y服從0-1分布:X01pi1-P(B)P(B)可見, 隨機(jī)變量和的相關(guān)系數(shù)由兩隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)的根本性質(zhì)有第五章5三、解答題1. 設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，Xn獨(dú)立同分布，且XP(l)，試?yán)闷醣确虿坏仁焦烙?jì)的下界。解：因?yàn)閄P(l)，由契比夫不等式可得2. 設(shè)E(X) = 1，E(Y) = 1，D(X) = 1，D(Y) = 9，rXY = 0.5，試根據(jù)契比夫不等式估計(jì)P|X + Y | ³ 3的上界。解：由題知 =0Cov=所以3. 據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率解：設(shè)i個(gè)元件壽命為Xi小時(shí)，i = 1 ,2 , . , 16 ，如此X1 ，X2 ，. ，X16獨(dú)立同分布，且 E(Xi ) =100，D(Xi ) =10000，i = 1 ,2 , . , 16 ，由獨(dú)立同分布的中心極限定理可知：近似服從N10000)，所以=4. 某商店負(fù)責(zé)供給某地區(qū)1000人商品，某種商品在一段時(shí)間每人需要用一件的概率為0.6，假定在這一時(shí)間段各人購置與否彼此無關(guān)，問商店應(yīng)預(yù)備多少件這種商品，才能以99.7%的概率保證不會脫銷假定該商品在某一時(shí)間段每人最多可以買一件解：設(shè)商店應(yīng)預(yù)備n件這種商品，這一時(shí)間段同時(shí)間購置此商品的人數(shù)為X ，如此X B1000，0.6，如此E(X) = 600，D (X ) = 240，根據(jù)題意應(yīng)確定最小的n，使PX n = 99.7%成立.如此PX n 所以，取n=643。即商店應(yīng)預(yù)備643件這種商品，才能以99.7%的概率保證不會脫銷。5. 某種難度很大的手術(shù)成功率為0.9，先對100個(gè)病人進(jìn)展這種手術(shù)，用X記手術(shù)成功的人數(shù)，求P84 < X < 95解：依題意, X B100，0.9，如此E(X) = 90，D (X ) = 9，6. 在一零售商店中，其結(jié)帳柜臺替顧客服務(wù)的時(shí)間以分鐘計(jì)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，均值為1.5，方差為1求對100位顧客的總服務(wù)時(shí)間不多于2小時(shí)的概率解：設(shè)柜臺替第i位顧客服務(wù)的時(shí)間為X i ，i = 1,2,3.100.如此X i ，i = 1,2,3.100獨(dú)立同分布，且EX i=1.5，D(X i )=1，所以即對100位顧客的服務(wù)時(shí)間不多于兩個(gè)小時(shí)的概率為0.0013.7. 筆記本電腦中某種配件的合格率僅為80%，某大型電腦廠商月生產(chǎn)筆記本電腦10000臺，為了以99.7%的把握保證出廠的電腦均能裝上合格的配件，問：此生產(chǎn)廠商每月至少應(yīng)購置該種配件多少件？解：設(shè)此生產(chǎn)廠商每月至少應(yīng)購置n件該種配件，其中合格品數(shù)為X，如此X B(n，0.8), 0.997=PX³10000= ，解得 n=12655的把握保證出廠的電腦均能裝上合格的配件。8. 一本300頁的書中，每頁的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)服從參數(shù)為0.2的泊松分布，試求整書中的印刷錯(cuò)誤總數(shù)不多于70個(gè)的概率解：記每頁印刷錯(cuò)誤個(gè)數(shù)為，i=1，2，3，300，如此它們獨(dú)立同服從參數(shù)為0.2的泊松分布，所以EX i=0.2，D(X i 所以9. 設(shè)車間有100臺機(jī)床，假定每臺機(jī)床是否開工是獨(dú)立的，每臺機(jī)器平均開工率為0.64，開工時(shí)需消耗電能a千瓦，問發(fā)電機(jī)只需供給該車間多少千瓦的電能就能以概率0.99保證車間正常生產(chǎn)？解：設(shè)發(fā)電機(jī)只需供給該車間m千瓦的電能就能以概率0.99保證車間正常生產(chǎn)，記X為100臺機(jī)床中需開工的機(jī)床數(shù)，如此X B(100，0.64),EaX=64a ，D(aX ) =100××a2，所以10. 某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有1萬人參加,每人每年交200元假如老人在該年死亡，公司付給家屬1萬元設(shè)老年人死亡率為，試求保險(xiǎn)公司在一年的這項(xiàng)保險(xiǎn)中賠本的概率解：設(shè)當(dāng)年投保老人的死亡數(shù)為X，如此X B (10000,0.017)。保險(xiǎn)公司在一年的保險(xiǎn)賠本的概率為四、應(yīng)用題1. 某餐廳每天接待400名顧客，設(shè)每位顧客的消費(fèi)額單位：元服從區(qū)間(20，100)上的均勻分布，且顧客的消費(fèi)額是相互獨(dú)立的，求該餐廳的日營業(yè)額在其平均營業(yè)額760元的概率解：設(shè)每位顧客的消費(fèi)額為Xi ，i =1,2,400, 且 X i U (20，100)，如此，由獨(dú)立同分布的中心極限定理, 所以2. 設(shè)某型號電子元件的壽命單位：小時(shí)服從指數(shù)分布，其平均壽命為20小時(shí)，具體使用時(shí)當(dāng)一元件損壞后立即更換另一新元件，每個(gè)元件進(jìn)價(jià)為110元，試問在年計(jì)劃中應(yīng)為此元件作多少元的預(yù)算，才可以有95%的把握保證一年的供給假定一年工作時(shí)間為2000小時(shí)解：設(shè)應(yīng)為這種元件作m元的預(yù)算，即需進(jìn)m/110個(gè)元件，記第件的壽命為Xi小時(shí)，i =1，2，3···, m/110，且X i E (20)，所以EX i= 20 ，D(X i ) = 400，=，所以所以m=12980即在年計(jì)劃中應(yīng)為此元件作12980元的預(yù)算，才可以有95%的把握保證一年的供給.3. 據(jù)調(diào)查某村莊中一對夫妻無孩子、有1個(gè)孩子、有2個(gè)孩子的概率分別為，假如該村共有400對夫妻，試求：(1) 400對夫妻的孩子總數(shù)超過450的概率；(2) 只有1個(gè)孩子的夫妻數(shù)不多于340的概率解：(1) 設(shè)第k對夫妻 孩子數(shù)為X k ，如此X k的分布律為Xk012p如此， 故即400對夫妻的孩子總數(shù)超過450(2) 設(shè)Y為只有一個(gè)孩子的夫妻對數(shù)，如此Y B (400,0.8)， 即只有1個(gè)孩子的夫妻數(shù)不多于340的概率為0.9938B1. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，m為正整數(shù)，證明：提示：利用Chebyshev不等式證明：EX=f(x)d=，由切比雪夫不等式 = 2. 設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，其共同的分布如下表所示，證明服從Chebyshev大數(shù)定律Xn0pk1/41/21/4證明： ，又因?yàn)楠?dú)立且同分布，所以服從切比雪夫大數(shù)定律.3. 設(shè)隨機(jī)變量序列獨(dú)立同分布，又存在n=1,2,，證明：提示：利用Chebyshev大數(shù)定律證明：因?yàn)殡S機(jī)變量序列獨(dú)立同分布，所以也獨(dú)立同分布，存在由Chebyshev大數(shù)定律，第六章A、解答題 1. 總體XB(1，p)，X1，X2，Xn是X的一個(gè)樣本，求 (1) X1，X2，Xn的聯(lián)合分布律; (2) 的分布律; (3) 三 解：因?yàn)閄的分布律為且X1，X2，Xn均于X獨(dú)立同分布，所以 1X1，X2，Xn的聯(lián)合分布律為 2因?yàn)?，所? 3因?yàn)?，所?2. 從總體N2)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為36的樣本，計(jì)算樣本均值落在50.8到53.8之間的概率 解：因?yàn)閄N2)，所以 ， 3. 某種燈管壽命X以小時(shí)計(jì)服從正態(tài)分布X N(m，s2)，為來自總體X的樣本均值 (1) 求與m的偏差大于的概率 (2) 假如m未知，s2 = 100，現(xiàn)隨機(jī)取100只這種燈管，求與m的偏差小于1的概率 解：因?yàn)閄N(m，s2)，所以 (1) (2) 因?yàn)閟2 = 100，n=100，所以 4. 在天平上反復(fù)稱量重量為w的物體，每次稱量結(jié)果獨(dú)立同服從N(w，0.04)，假如以表示n次稱重的算術(shù)平均，如此為使，n至少應(yīng)該是多少？ 解：X1，X2，Xn為稱重的結(jié)果，如此X1，X2，Xn相互對立且均服從N(w，0.04)，于是，欲使，須使，即解得查表得由于是遞增函數(shù)，須使解得n>15.366,故n至少為16. 5. 從正態(tài)總體中抽取樣本X1，X2，X10 (1) m = 0，求； (2) m未知，求 解：1因?yàn)閄iN(0，2)，即,令，如此由于查表知，所以. (2) 因?yàn)閄iN(m，2)，即，所以, ,