11 問題詳解 二次函數(shù)-矩形的存在性問題

word參考答案1. (2015 省龍東地區(qū)) 如圖，四邊形OABC是矩形，點A、C在坐標(biāo)軸上，ODE是OCB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，點D在x軸上，直線BD交y軸于點F，交OE于點H，線段BC、OC的長是方程x26x+8=0的兩個根，且OCBC1求直線BD的解析式；2求OFH的面積；3點M在坐標(biāo)軸上，平面是否存在點N，使以點D、F、M、N為頂點的四邊形是矩形？假如存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；假如不存在，請說明理由1.分析：1解方程可求得OC、BC的長，可求得B、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線BD的解析式；2可求得E點坐標(biāo)，求出直線OE的解析式，聯(lián)立直線BD、OE解析式可求得H點的橫坐標(biāo)，可求得OFH的面積；3當(dāng)MFD為直角三角形時，可找到滿足條件的點N，分MFD=90°、MDF=90°和FMD=90°三種情況，分別求得M點的坐標(biāo)，可分別求得矩形對角線的交點坐標(biāo)，再利用中點坐標(biāo)公式可求得N點坐標(biāo)解答：解：1解方程x26x+8=0可得x=2或x=4，BC、OC的長是方程x26x+8=0的兩個根，且OCBC，BC=2，OC=4，B2，4，ODE是OCB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，OD=OC=4，DE=BC=2，D4，0，設(shè)直線BD解析式為y=kx+b，把B、D坐標(biāo)代入可得，解得，直線BD的解析式為y=x+；2由1可知E4，2，設(shè)直線OE解析式為y=mx，把E點坐標(biāo)代入可求得m=，直線OE解析式為y=x，令x+=x，解得x=，H點到y(tǒng)軸的距離為，又由1可得F0，OF=，SOFH=××=；3以點D、F、M、N為頂點的四邊形是矩形，DFM為直角三角形，當(dāng)MFD=90°時，如此M只能在x軸上，連接FN交MD于點G，如圖1，由2可知OF=，OD=4，如此有MOFFOD，=，即=，解得OM=，M，0，且D4，0，G，0，設(shè)N點坐標(biāo)為x，y，如此=，=0，解得x=，y=，此時N點坐標(biāo)為，；當(dāng)MDF=90°時，如此M只能在y軸上，連接DN交MF于點G，如圖2，如此有FODDOM，=，即=，解得OM=6，M0，6，且F0，MG=MF=，如此OG=OMMG=6=，G0，設(shè)N點坐標(biāo)為x，y，如此=0，=，解得x=4，y=，此時N4，；當(dāng)FMD=90°時，如此可知M點為O點，如圖3，四邊形MFND為矩形，NF=OD=4，ND=OF=，可求得N4，；綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標(biāo)為，或4，或4，2. (2015 市綦江縣) 如圖，拋物線與x軸交與A，B兩點點A在點B的左側(cè)，與y軸交于點C. 點D和點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線AD與y軸相交于點E.1求直線AD的解析式；2如圖1，直線AD上方的拋物線上有一點F，過點F作FGAD于點G，作FH平行于x軸交直線AD于點H，求FGH的周長的最大值；3點M是拋物線的頂點，點P是y軸上一點，點Q是坐標(biāo)平面一點，以A，M，P，Q為頂點的四邊形是AM為邊的矩形，假如點T和點Q關(guān)于AM所在直線對稱，求點T的坐標(biāo).答案解：AD：過點F作x軸的垂線，交直線AD于點M，易證FGHFGM故設(shè)如此FM=如此C=故最大周長為假如AP為對角線如圖，由PMSMAR可得由點的平移可知故Q點關(guān)于直線AM的對稱點T為假如AQ為對角線如圖，同理可知P由點的平移可知Q故Q點關(guān)于直線AM的對稱點T為3. (2016 省東營市) 】在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點A、C的坐標(biāo)分別是0，4、1，0，將此平行四邊形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形ABOC1假如拋物線經(jīng)過點C、A、A，求此拋物線的解析式；2點M時第一象限拋物線上的一動點，問：當(dāng)點M在何處時，AMA的面積最大？最大面積是多少？并求出此時M的坐標(biāo)；3假如P為拋物線上一動點，N為x軸上的一動點，點Q坐標(biāo)為1，0，當(dāng)P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形時，求點P的坐標(biāo)，當(dāng)這個平行四邊形為矩形時，求點N的坐標(biāo)分析1由平行四邊形ABOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形ABOC，且點A的坐標(biāo)是0，4，可求得點A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得經(jīng)過點C、A、A的拋物線的解析式；2首先連接AA，設(shè)直線AA的解析式為：y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得直線AA的解析式，再設(shè)點M的坐標(biāo)為：x，x2+3x+4，繼而可得AMA的面積，繼而求得答案；3分別從BQ為邊與BQ為對角線去分析求解即可求得答案解答解：1平行四邊形ABOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形ABOC，且點A的坐標(biāo)是0，4，點A的坐標(biāo)為：4，0，點A、C的坐標(biāo)分別是0，4、1，0，拋物線經(jīng)過點C、A、A，設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c，解得：，此拋物線的解析式為：y=x2+3x+4；2連接AA，設(shè)直線AA的解析式為：y=kx+b，解得：，直線AA的解析式為：y=x+4，設(shè)點M的坐標(biāo)為：x，x2+3x+4，如此SAMA=×4×x2+3x+4x+4=2x2+8x=2x22+8，當(dāng)x=2時，AMA的面積最大，最大值SAMA=8，M的坐標(biāo)為：2，6；3設(shè)點P的坐標(biāo)為x，x2+3x+4，當(dāng)P，N，B，Q構(gòu)成平行四邊形時，平行四邊形ABOC中，點A、C的坐標(biāo)分別是0，4、1，0，點B的坐標(biāo)為1，4，點Q坐標(biāo)為1，0，P為拋物線上一動點，N為x軸上的一動點，當(dāng)BQ為邊時，PNBQ，PN=BQ，BQ=4，x2+3x+4=±4，當(dāng)x2+3x+4=4時，解得：x1=0，x2=3，P10，4，P23，4；當(dāng)x2+3x+4=4時，解得：x3=，x2=，P3，4，P4，4；當(dāng)PQ為對角線時，BPQN，BP=QN，此時P與P1，P2重合；綜上可得：點P的坐標(biāo)為：P10，4，P23，4，P3，4，P4，4；如圖2，當(dāng)這個平行四邊形為矩形時，點N的坐標(biāo)為：0，0或3，04. (2016 省地區(qū)) 如圖，拋物線y=x2+bx與直線y=2x+4交于Aa，8、B兩點，點P是拋物線上A、B之間的一個動點，過點P分別作x軸、y軸的平行線與直線AB交于點C和點E1求拋物線的解析式；2假如C為AB中點，求PC的長；3如圖，以PC，PE為邊構(gòu)造矩形PCDE，設(shè)點D的坐標(biāo)為m，n，請求出m，n之間的關(guān)系式分析1把A點坐標(biāo)代入直線方程可求得a的值，再代入拋物線可求得b的值，可求得拋物線解析式；2聯(lián)立拋物線和直線解析式可求得B點坐標(biāo)，過A作AQx軸，交x軸于點Q，可知OC=AQ=4，可求得C點坐標(biāo)，結(jié)合條件可知P點縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得P點坐標(biāo)，從而可求得PC的長；3根據(jù)矩形的性質(zhì)可分別用m、n表示出C、P的坐標(biāo)，根據(jù)DE=CP，可得到m、n的關(guān)系式解：1Aa，8是拋物線和直線的交點，A點在直線上，8=2a+4，解得a=2，A點坐標(biāo)為2，8，又A點在拋物線上，8=22+2b，解得b=2，拋物線解析式為y=x2+2x；2聯(lián)立拋物線和直線解析式可得，解得，B點坐標(biāo)為2，0，如圖，過A作AQx軸，交x軸于點Q，如此AQ=8，OQ=OB=2，即O為BQ的中點，當(dāng)C為AB中點時，如此OC為ABQ的中位線，即C點在y軸上，OC=AQ=4，C點坐標(biāo)為0，4，又PCx軸，P點縱坐標(biāo)為4，P點在拋物線線上，4=x2+2x，解得x=1或x=1，P點在A、B之間的拋物線上，x=1不合題意，舍去，P點坐標(biāo)為1，4，PC=10=1；3Dm，n，且四邊形PCDE為矩形，C點橫坐標(biāo)為m，E點縱坐標(biāo)為n，C、E都在直線y=2x+4上，Cm，2m+4，E，n，PCx軸，P點縱坐標(biāo)為2m+4，P點在拋物線上，2m+4=x2+2x，整理可得2m+5=x+12，解得x=1或x=1舍去，P點坐標(biāo)為1，2m+4，DE=m，CP=1m，四邊形PCDE為矩形，DE=CP，即m=1m，整理可得n24n8m16=0，即m、n之間的關(guān)系式為n24n8m16=05. (2013 省市) 如圖，二次函數(shù)的圖象過點A(0，3)，B，對稱軸為直線，點P是拋物線上的一動點，過點P分別作PMx軸于點M，PNy軸于點N，在四邊形PMON上分別截取1求此二次函數(shù)的解析式；2求證：以C，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形CDEF是平行四邊形；3在拋物線上是否存在這樣的點P，使四邊形CDEF為矩形？假如存在，請求出所有符合條件的P點坐標(biāo)；假如不存在，請說明理由.解：1設(shè)二次函數(shù)的解析式為,將點A0，-3、B、對稱軸方程分別代入可得：，解得此二次函數(shù)的解析式為.2證明：如圖連接CD，DE，EF，F(xiàn)C.PMx軸，PNy軸，四邊形OMPN是矩形.MP=ON，OM=PN.又CMDENF,同理ODEFPC(SAS),CF=ED，CD=EF.,四邊形CDEF是平行四邊形.3如圖，作CQy軸于點Q，設(shè)P點坐標(biāo)為，如此.在RtECQ中，當(dāng)CDDE時，此題用相似更簡單！6如下列圖，拋物線y=ax2+bx3與x軸交于A1，0，B3，0兩點，與y軸交于點C1求拋物線的解析式；2如下列圖，直線BC下方的拋物線上有一點P，過點P作PEBC于點E，作PF平行于x軸交直線BC于點F，求PEF周長的最大值；3點M是拋物線的頂點，點N是y軸上一點，點Q是坐標(biāo)平面一點，假如點P是拋物線上一點，且位于拋物線的對稱軸右側(cè)，是否存在以P、M、N、Q為頂點且以PM為邊的正方形？假如存在，直接寫出點P的橫坐標(biāo)；假如不存在，說明理由【解答】解：1把A1，0，B3，0兩點坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+bx3，得到，解得，拋物線的解析式為y=x22x32如圖1中，連接PB、PC設(shè)Pm，m22m3，B3，0，C0，3，OB=OC，OBC=45°，PFOB，PFE=OBC=45°，PEBC，PEF=90°，PEF是等腰直角三角形，PE最大時，PEF的面積中點，此時PBC的面積最大，如此有SPBC=SPOB+SPOCSBOC=3m2+2m+3+3m=m2+，m=時，PBC的面積最大，此時PEF的面積也最大，此時P，直線BC的解析式為y=x3，F(xiàn)，PF=，PEF是等腰直角三角形，EF=EP=，CPEF最大值=+3如圖2中，當(dāng)N與C重合時，點N關(guān)于對稱軸的對稱點P，此時思想MNQP是正方形，易知P2，3點P橫坐標(biāo)為2，如圖3中，當(dāng)四邊形PMQN是正方形時，作PFy軸于N，MEx軸，PEy軸易知PFNPEM，PF=PE，設(shè)Pm，m22m3，M1，4，m=m22m34，m=或舍棄，P點橫坐標(biāo)為所以滿足條件的點P的橫坐標(biāo)為2或8 / 8