（泰安專版）2019版中考數(shù)學 第一部分 基礎知識過關 第二章 方程（組）與不等式（組）第6講 一元二次方程課件.ppt

第6講一元二次方程 總綱目錄 泰安考情分析 基礎知識過關 知識點一一元二次方程的相關概念 1 一元二次方程 只含有 一個未知數(shù) 并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2的整式方程叫做一元二次方程 一元二次方程的一般形式是 ax2 bx c 0 a 0 其中ax2叫做二次項 a叫做二次項系數(shù) bx叫做一次項 b叫做一次項系數(shù) c叫做 常數(shù)項 溫馨提示判定一個方程是不是一元二次方程時要注意以下三點 1 只含有一個未知數(shù) 2 未知數(shù)的最高次數(shù)是2 3 方程是整式方程 一元二次方程的一般形式要注意二次項系數(shù)a 0這一條件 2 一元二次方程的解 使方程左右兩邊 相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根 知識點二一元二次方程的解法 溫馨提示解一元二次方程時 要根據(jù)方程的特點靈活選擇合適的方法 一般優(yōu)先考慮直接開平方法 然后考慮因式分解法 再次考慮公式法 配方法 公式法和配方法可以解所有判別式大于或等于零的一元二次方程 知識點三一元二次方程的根的判別式及其應用關于x的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的判別式為 b2 4ac 一般用符號 表示 1 b2 4ac 0 方程ax2 bx c 0 a 0 有 兩個不相等的實數(shù)根 2 b2 4ac 0 方程ax2 bx c 0 a 0 有 兩個相等的實數(shù)根 3 b2 4ac 0 方程ax2 bx c 0 a 0 沒有實數(shù)根 4 b2 4ac 0 方程ax2 bx c 0 a 0 有兩個實數(shù)根 溫馨提示 1 運用一元二次方程根的判別式時 先要把原方程化為一般形式 再確定a b c的值 2 使用判別式的前提 方程是一元二次方程 即二次項系數(shù)a 0 知識點四一元二次方程根與系數(shù)的關系如果一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的兩個根是x1 x2 那么x1 x2 x1 x2 溫馨提示應用一元二次方程根與系數(shù)的關系時 應注意 1 當一元二次方程不是一般形式時 要先化成一般形式 2 一元二次方程根與系數(shù)的關系成立的前提條件是b2 4ac 0 知識點五一元二次方程的應用列一元二次方程解應用題的步驟 1 審 讀懂題目 弄清題意 明確已知量和未知量以及它們之間的等量關系 2 設 設元 也就是設未知數(shù) 3 列 列方程 4 解 解方程 5 驗 檢驗未知數(shù)的值的準確性及合理性 6 答 寫出答案 泰安考點聚焦 考點一一元二次方程的解中考解題指導根據(jù)一元二次方程的根的定義進行求值或化簡是近年來泰安中考的常考題型 解答此類問題的一般思路 先把方程的根代入已知的一元二次方程 得出一個等式 然后對這個等式進行適當?shù)淖冃?將其代入待求值的式子中進行化簡或計算 例1 2017泰山模擬 已知m是關于x的方程x2 2x 3 0的一個根 則2m2 4m 6 解析 m是關于x的方程x2 2x 3 0的一個根 m2 2m 3 0 m2 2m 3 2m2 4m 6 變式1 1已知關于x的一元二次方程x2 ax b 0有一個非零根 b 則a b的值為 A A 1B 1C 0D 2 解析把x b代入原方程得b2 ab b 0 因為 b 0 所以b 0 方程兩邊同除以b 得b a 1 0 即a b 1 故選A 考點二一元二次方程的解法中考解題指導解一元二次方程要根據(jù)題目特點選擇適當?shù)姆椒?當方程為 x m 2 n n 0 的形式時 可直接開方求解 當一元二次方程的一邊為0 另一邊為易于分解成兩個一次因式的積時 可用因式分解法求解 而公式法是一種萬能的方法 但使用時一定要把一元二次方程化為一般形式 確定a b c的值 在b2 4ac 0的條件下代入公式求解 任何一個有解的一元二次方程都可以用配方法和公式法求解 例2 2017泰安 一元二次方程x2 6x 6 0配方后化為 A A x 3 2 15B x 3 2 3C x 3 2 15D x 3 2 3 解析x2 6x 6 0 移項得x2 6x 6 即x2 6x 9 15 亦即 x 3 2 15 故選A 變式2 1 2018臨沂 一元二次方程y2 y 0配方后可化為 B A 1B 1C D 解析 y2 y 0 y2 y 即y2 y 1 即 1 故選B 變式2 2方程3 x 5 2 2 x 5 的根是x1 5 x2 解析移項得3 x 5 2 2 x 5 0 提取公因式得 x 5 3 x 5 2 0 整理得 x 5 3x 17 0 則x 5 0或3x 17 0 所以x1 5 x2 方法技巧解一元二次方程要遵循一看二選三做四驗的步驟 即先觀察方程的特點 然后選擇合適的解法 運用規(guī)范的步驟求解 最后代入原方程或運用根與系數(shù)的關系檢驗方程的解是否正確 考點三一元二次方程根的判別式中考解題指導 1 判斷一元二次方程根的情況時 只需判斷出根的判別式的符號 若一元二次方程中含有字母系數(shù) 常將根的判別式化為一個完全平方式與一個非負數(shù)和的形式 2 根據(jù)一元二次方程的根的情況求字母系數(shù)的取值時 不要漏掉二次項系數(shù)不為0這個隱含條件 例3 2018泰安 一元二次方程 x 1 x 3 2x 5根的情況是 D A 無實數(shù)根B 有一個正根 一個負根C 有兩個正根 且都小于3D 有兩個正根 且有一根大于3 變式3 1 2016泰安 一元二次方程 x 1 2 2 x 1 2 7的根的情況是 C A 無實數(shù)根B 有一正根一負根C 有兩個正根D 有兩個負根 解析 x 1 2 2 x 1 2 7 x2 2x 1 2 x2 2x 1 7 整理得 x2 6x 8 0 即x2 6x 8 0 即 x 4 x 2 0 解得x1 4 x2 2 故方程有兩個正根 故選C 變式3 2 2017泰安 關于x的一元二次方程x2 2k 1 x k2 1 0無實數(shù)根 則k的取值范圍是k 解析 關于x的一元二次方程x2 2k 1 x k2 1 0無實數(shù)根 b2 4ac 故k的取值范圍是k 易錯警示若一元二次方程有實數(shù)根 則應該包括有兩個不相等的實數(shù)根和有兩個相等的實數(shù)根兩種情況 同時滿足二次項系數(shù)不能為零 要注意考慮問題的全面性 考點四一元二次方程根與系數(shù)的關系中考解題指導 1 已知x1 x2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的兩根 求關于x1 x2的某個代數(shù)式的值 先把這個代數(shù)式變形為含有x1 x2和x1x2的式子 再把x1 x2和x1x2的值整體代入 2 若給出了關于x1和x2的某個代數(shù)式的值或范圍 要求未知字母系數(shù)的值或范圍 先把這個代數(shù)式進行變形 轉(zhuǎn)化為用x1 x2和x1x2表示的式子 然后根據(jù)所給的值或取值范圍構(gòu)造方程或不等式 從而求出未知字母系數(shù)的值或范圍 例4 2018濰坊 已知關于x的一元二次方程mx2 m 2 x 0有兩個不相等的實數(shù)根x1 x2 若 4m 則m的值是 A A 2B 1C 2或 1D 不存在 解析由題意得 m 2 2 4 m 4m 4 0 且m 0 解得m 1且m 0 由題意知x1 x2 x1x2 所以 4m 化簡得m2 m 2 0 解得m1 2 m2 1 舍去 所以m的值為2 故選A 變式4 1 2017泰山模擬 一元二次方程x2 3x 2 0的兩根為x1 x2 則下列結(jié)論正確的是 C A x1 1 x2 2B x1 1 x2 2C x1 x2 3D x1x2 2 解析 方程x2 3x 2 0的兩根為x1 x2 x1 x2 3 x1 x2 2 C選項正確 考點五一元二次方程的應用中考解題指導列方程解實際問題的關鍵 1 找到等量關系 2 在得到方程的解后 要檢驗它是否符合實際意義 考向1列方程解決實際問題 例5某種花卉每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定的關系 每盆植3株時 平均每株盈利4元 若每盆增加1株 平均每株盈利減少0 5元 要使每盆的盈利達到15元 每盆應多植多少株 設每盆多植x株 則可以列出的方程是 A A x 3 4 0 5x 15B x 3 4 0 5x 15C x 4 3 0 5x 15D x 1 4 0 5x 15 解析由題意得每盆有這種花卉 x 3 株 平均每株盈利 4 0 5x 元 所以可列出的方程為 x 3 4 0 5x 15 考向2增長率 降低率 問題的考查 例6煙臺市某養(yǎng)殖戶每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本 其中固定成本每年均為4萬元 可變成本逐年增長 已知該養(yǎng)殖戶第1年的可變成本為2 6萬元 設可變成本平均每年增長的百分率為x 1 第3年的可變成本用含x的代數(shù)式表示為2 6 1 x 2萬元 2 如果該養(yǎng)殖戶第3年的養(yǎng)殖成本為7 146萬元 求可變成本平均每年增長的百分率x 解析 1 2 6 1 x 2 由第1年的可變成本為2 6萬元可以表示出第2年的可變成本 為2 6 1 x 萬元 則第3年的可變成本為2 6 1 x 2萬元 2 由養(yǎng)殖成本 固定成本 可變成本 得4 2 6 1 x 2 7 146 解得x1 0 1 x2 2 1 不符合題意 舍去 所以可變成本平均每年增長的百分率為10 考向3利潤問題的考查例7某烘焙店生產(chǎn)的蛋糕禮盒分為六個檔次 第一檔次 即最低檔次 的產(chǎn)品每天生產(chǎn)76件 每件利潤為10元 調(diào)查表明 生產(chǎn)的蛋糕產(chǎn)品每提高一個檔次 該產(chǎn)品每件的利潤增加2元 1 若生產(chǎn)的某批次蛋糕每件利潤為14元 則此批次蛋糕屬于第幾檔次的產(chǎn)品 2 由于生產(chǎn)工序不同 蛋糕產(chǎn)品每提高一個檔次 一天產(chǎn)量會減少4件 若生產(chǎn)的某檔次產(chǎn)品一天的總利潤為1080元 則該烘焙店生產(chǎn)的是第幾檔次的蛋糕產(chǎn)品 解析 1 根據(jù)生產(chǎn)的蛋糕產(chǎn)品每提高一個檔次 每件產(chǎn)品的利潤增加2元得 14 10 2 1 3 所以每件利潤14元的蛋糕為第三檔次產(chǎn)品 2 設烘焙店生產(chǎn)的是第x檔次的蛋糕產(chǎn)品 根據(jù)題意得 2 x 1 10 76 4 x 1 1080 整理得x2 16x 55 0 解得x1 5 x2 11 不合題意 舍去 答 該烘焙店生產(chǎn)的是第五檔次的蛋糕產(chǎn)品 考向4幾何問題的考查例8王叔叔從市場上買了一塊長80cm 寬70cm的矩形鐵皮 準備制作一個工具箱 如圖 他將矩形鐵皮的四個角各剪掉一個邊長為xcm的正方形后 剩余的部分剛好能圍成一個底面積為3000cm2的無蓋長方體工具箱 根據(jù)題意列方程為 C A 80 x 70 x 3000B 80 70 4 2 3000C 80 2x 70 2x 3000D 80 70 4 2 70 80 x 3000 解析由題意得剩余部分圍成的工具箱的底面是長 80 2x cm 寬 70 2x cm的長方形 則由題意得 80 2x 70 2x 3000 考向5單 雙 循環(huán)問題的考查例9學校要組織足球比賽 賽制為單循環(huán)形式 每兩隊之間賽一場 計劃安排21場比賽 應邀請多少支球隊參賽 設邀請x支球隊參賽 根據(jù)題意 下面所列方程正確的是 B A x2 21B x x 1 21C x2 21D x x 1 21 解析邀請x個隊參賽 則每個隊都要進行 x 1 場比賽 但兩隊之間只有一場比賽 由題意得 x x 1 21 方法技巧列一元二次方程解決實際問題時 首先是將問題進行歸類 明確其中的等量關系 其次是判斷所求的解是否符合題意 舍去不合題意的解 一 選擇題1 2017岱岳二模 將一元二次方程x2 6x 5 0配方后可變形為 A A x 3 2 14B x 3 2 4C x 3 2 14D x 3 2 4 隨堂鞏固訓練 2 2017肥城一模 下列選項中 使關于x的一元二次方程ax2 4x c 0一定有實數(shù)根的是 D A a 0B a 0C c 0D c 0 3 2017煙臺 若x1 x2是方程x2 2mx m2 m 1 0的兩個根 且x1 x2 1 x1x2 則m的值為 D A 1或2B 1或 2C 2D 二 填空題 4 2018德州 若x1 x2是一元二次方程x2 x 2 0的兩個實數(shù)根 則x1 x2 x1x2 3 5 2017新泰模擬 已知關于x的一元二次方程 a 1 x2 2x 1 0有兩個不相等的實數(shù)根 則a的取值范圍是a 2且a 1 解析 關于x的一元二次方程 a 1 x2 2x 1 0有兩個不相等的實數(shù)根 4 4 a 1 1 0 解得a 2 又 二次項系數(shù)不為0 a 1 0 即a 1 故a的取值范圍是a 2且a 1 6 若一元二次方程ax2 b ab 0 的兩個根分別為m 1和2m 4 則 4 解析易知x2 ab 0 所以x 所以方程的兩個根互為相反數(shù) 即m 1 2m 4 0 解得m 1 所以方程的兩個根為2和 2 所以 2 故 4 三 解答題7 2016年某市某樓盤以每平方米6500元的均價對外銷售 因為樓盤滯銷 房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn) 決定進行降價促銷 經(jīng)過連續(xù)兩年下調(diào) 2018年的均價為每平方米5265元 1 求平均每年下調(diào)的百分率 2 假設2019年的均價仍然下調(diào)相同的百分率 張強準備購買一套100平方米的住房 他持有現(xiàn)金20萬元 可以在銀行貸款30萬元 張強的愿望能否實現(xiàn) 房價每平方米按照均價計算 解析 1 設平均每年下調(diào)的百分率為x 根據(jù)題意得 6500 1 x 2 5265 解得x1 0 1 10 x2 1 9 舍去 故平均每年下調(diào)的百分率為10 2 由題意可知2019年的均價為每平方米5265 1 10 4738 5元 則100平方米的住房總房款為100 4738 5 47 385萬元 因20 30 47 385 所以張強的愿望能夠?qū)崿F(xiàn)