（泰安專版）2019版中考數(shù)學 第一部分 基礎知識過關 第二章 方程（組）與不等式（組）第6講 一元二次方程課件.ppt

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第6講一元二次方程 總綱目錄 泰安考情分析 基礎知識過關 知識點一一元二次方程的相關概念 1 一元二次方程 只含有 一個未知數(shù) 并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2的整式方程叫做一元二次方程 一元二次方程的一般形式是 ax2 bx c 0 a 0 其中ax2叫做二次項 a叫做二次項系數(shù) bx叫做一次項 b叫做一次項系數(shù) c叫做 常數(shù)項 溫馨提示判定一個方程是不是一元二次方程時要注意以下三點 1 只含有一個未知數(shù) 2 未知數(shù)的最高次數(shù)是2 3 方程是整式方程 一元二次方程的一般形式要注意二次項系數(shù)a 0這一條件 2 一元二次方程的解 使方程左右兩邊 相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根 知識點二一元二次方程的解法 溫馨提示解一元二次方程時 要根據(jù)方程的特點靈活選擇合適的方法 一般優(yōu)先考慮直接開平方法 然后考慮因式分解法 再次考慮公式法 配方法 公式法和配方法可以解所有判別式大于或等于零的一元二次方程 知識點三一元二次方程的根的判別式及其應用關于x的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的判別式為 b2 4ac 一般用符號 表示 1 b2 4ac 0 方程ax2 bx c 0 a 0 有 兩個不相等的實數(shù)根 2 b2 4ac 0 方程ax2 bx c 0 a 0 有 兩個相等的實數(shù)根 3 b2 4ac 0 方程ax2 bx c 0 a 0 沒有實數(shù)根 4 b2 4ac 0 方程ax2 bx c 0 a 0 有兩個實數(shù)根 溫馨提示 1 運用一元二次方程根的判別式時 先要把原方程化為一般形式 再確定a b c的值 2 使用判別式的前提 方程是一元二次方程 即二次項系數(shù)a 0 知識點四一元二次方程根與系數(shù)的關系如果一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的兩個根是x1 x2 那么x1 x2 x1 x2 溫馨提示應用一元二次方程根與系數(shù)的關系時 應注意 1 當一元二次方程不是一般形式時 要先化成一般形式 2 一元二次方程根與系數(shù)的關系成立的前提條件是b2 4ac 0 知識點五一元二次方程的應用列一元二次方程解應用題的步驟 1 審 讀懂題目 弄清題意 明確已知量和未知量以及它們之間的等量關系 2 設 設元 也就是設未知數(shù) 3 列 列方程 4 解 解方程 5 驗 檢驗未知數(shù)的值的準確性及合理性 6 答 寫出答案 泰安考點聚焦 考點一一元二次方程的解中考解題指導根據(jù)一元二次方程的根的定義進行求值或化簡是近年來泰安中考的?？碱}型 解答此類問題的一般思路 先把方程的根代入已知的一元二次方程 得出一個等式 然后對這個等式進行適當?shù)淖冃?將其代入待求值的式子中進行化簡或計算 例1 2017泰山模擬 已知m是關于x的方程x2 2x 3 0的一個根 則2m2 4m 6 解析 m是關于x的方程x2 2x 3 0的一個根 m2 2m 3 0 m2 2m 3 2m2 4m 6 變式1 1已知關于x的一元二次方程x2 ax b 0有一個非零根 b 則a b的值為 A A 1B 1C 0D 2 解析把x b代入原方程得b2 ab b 0 因為 b 0 所以b 0 方程兩邊同除以b 得b a 1 0 即a b 1 故選A 考點二一元二次方程的解法中考解題指導解一元二次方程要根據(jù)題目特點選擇適當?shù)姆椒?當方程為 x m 2 n n 0 的形式時 可直接開方求解 當一元二次方程的一邊為0 另一邊為易于分解成兩個一次因式的積時 可用因式分解法求解 而公式法是一種萬能的方法 但使用時一定要把一元二次方程化為一般形式 確定a b c的值 在b2 4ac 0的條件下代入公式求解 任何一個有解的一元二次方程都可以用配方法和公式法求解 例2 2017泰安 一元二次方程x2 6x 6 0配方后化為 A A x 3 2 15B x 3 2 3C x 3 2 15D x 3 2 3 解析x2 6x 6 0 移項得x2 6x 6 即x2 6x 9 15 亦即 x 3 2 15 故選A 變式2 1 2018臨沂 一元二次方程y2 y 0配方后可化為 B A 1B 1C D 解析 y2 y 0 y2 y 即y2 y 1 即 1 故選B 變式2 2方程3 x 5 2 2 x 5 的根是x1 5 x2 解析移項得3 x 5 2 2 x 5 0 提取公因式得 x 5 3 x 5 2 0 整理得 x 5 3x 17 0 則x 5 0或3x 17 0 所以x1 5 x2 方法技巧解一元二次方程要遵循一看二選三做四驗的步驟 即先觀察方程的特點 然后選擇合適的解法 運用規(guī)范的步驟求解 最后代入原方程或運用根與系數(shù)的關系檢驗方程的解是否正確 考點三一元二次方程根的判別式中考解題指導 1 判斷一元二次方程根的情況時 只需判斷出根的判別式的符號 若一元二次方程中含有字母系數(shù) 常將根的判別式化為一個完全平方式與一個非負數(shù)和的形式 2 根據(jù)一元二次方程的根的情況求字母系數(shù)的取值時 不要漏掉二次項系數(shù)不為0這個隱含條件 例3 2018泰安 一元二次方程 x 1 x 3 2x 5根的情況是 D A 無實數(shù)根B 有一個正根 一個負根C 有兩個正根 且都小于3D 有兩個正根 且有一根大于3 變式3 1 2016泰安 一元二次方程 x 1 2 2 x 1 2 7的根的情況是 C A 無實數(shù)根B 有一正根一負根C 有兩個正根D 有兩個負根 解析 x 1 2 2 x 1 2 7 x2 2x 1 2 x2 2x 1 7 整理得 x2 6x 8 0 即x2 6x 8 0 即 x 4 x 2 0 解得x1 4 x2 2 故方程有兩個正根 故選C 變式3 2 2017泰安 關于x的一元二次方程x2 2k 1 x k2 1 0無實數(shù)根 則k的取值范圍是k 解析 關于x的一元二次方程x2 2k 1 x k2 1 0無實數(shù)根 b2 4ac 故k的取值范圍是k 易錯警示若一元二次方程有實數(shù)根 則應該包括有兩個不相等的實數(shù)根和有兩個相等的實數(shù)根兩種情況 同時滿足二次項系數(shù)不能為零 要注意考慮問題的全面性 考點四一元二次方程根與系數(shù)的關系中考解題指導 1 已知x1 x2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的兩根 求關于x1 x2的某個代數(shù)式的值 先把這個代數(shù)式變形為含有x1 x2和x1x2的式子 再把x1 x2和x1x2的值整體代入 2 若給出了關于x1和x2的某個代數(shù)式的值或范圍 要求未知字母系數(shù)的值或范圍 先把這個代數(shù)式進行變形 轉化為用x1 x2和x1x2表示的式子 然后根據(jù)所給的值或取值范圍構造方程或不等式 從而求出未知字母系數(shù)的值或范圍 例4 2018濰坊 已知關于x的一元二次方程mx2 m 2 x 0有兩個不相等的實數(shù)根x1 x2 若 4m 則m的值是 A A 2B 1C 2或 1D 不存在 解析由題意得 m 2 2 4 m 4m 4 0 且m 0 解得m 1且m 0 由題意知x1 x2 x1x2 所以 4m 化簡得m2 m 2 0 解得m1 2 m2 1 舍去 所以m的值為2 故選A 變式4 1 2017泰山模擬 一元二次方程x2 3x 2 0的兩根為x1 x2 則下列結論正確的是 C A x1 1 x2 2B x1 1 x2 2C x1 x2 3D x1x2 2 解析 方程x2 3x 2 0的兩根為x1 x2 x1 x2 3 x1 x2 2 C選項正確 考點五一元二次方程的應用中考解題指導列方程解實際問題的關鍵 1 找到等量關系 2 在得到方程的解后 要檢驗它是否符合實際意義 考向1列方程解決實際問題 例5某種花卉每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定的關系 每盆植3株時 平均每株盈利4元 若每盆增加1株 平均每株盈利減少0 5元 要使每盆的盈利達到15元 每盆應多植多少株 設每盆多植x株 則可以列出的方程是 A A x 3 4 0 5x 15B x 3 4 0 5x 15C x 4 3 0 5x 15D x 1 4 0 5x 15 解析由題意得每盆有這種花卉 x 3 株 平均每株盈利 4 0 5x 元 所以可列出的方程為 x 3 4 0 5x 15 考向2增長率 降低率 問題的考查 例6煙臺市某養(yǎng)殖戶每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本 其中固定成本每年均為4萬元 可變成本逐年增長 已知該養(yǎng)殖戶第1年的可變成本為2 6萬元 設可變成本平均每年增長的百分率為x 1 第3年的可變成本用含x的代數(shù)式表示為2 6 1 x 2萬元 2 如果該養(yǎng)殖戶第3年的養(yǎng)殖成本為7 146萬元 求可變成本平均每年增長的百分率x 解析 1 2 6 1 x 2 由第1年的可變成本為2 6萬元可以表示出第2年的可變成本 為2 6 1 x 萬元 則第3年的可變成本為2 6 1 x 2萬元 2 由養(yǎng)殖成本 固定成本 可變成本 得4 2 6 1 x 2 7 146 解得x1 0 1 x2 2 1 不符合題意 舍去 所以可變成本平均每年增長的百分率為10 考向3利潤問題的考查例7某烘焙店生產(chǎn)的蛋糕禮盒分為六個檔次 第一檔次 即最低檔次 的產(chǎn)品每天生產(chǎn)76件 每件利潤為10元 調查表明 生產(chǎn)的蛋糕產(chǎn)品每提高一個檔次 該產(chǎn)品每件的利潤增加2元 1 若生產(chǎn)的某批次蛋糕每件利潤為14元 則此批次蛋糕屬于第幾檔次的產(chǎn)品 2 由于生產(chǎn)工序不同 蛋糕產(chǎn)品每提高一個檔次 一天產(chǎn)量會減少4件 若生產(chǎn)的某檔次產(chǎn)品一天的總利潤為1080元 則該烘焙店生產(chǎn)的是第幾檔次的蛋糕產(chǎn)品 解析 1 根據(jù)生產(chǎn)的蛋糕產(chǎn)品每提高一個檔次 每件產(chǎn)品的利潤增加2元得 14 10 2 1 3 所以每件利潤14元的蛋糕為第三檔次產(chǎn)品 2 設烘焙店生產(chǎn)的是第x檔次的蛋糕產(chǎn)品 根據(jù)題意得 2 x 1 10 76 4 x 1 1080 整理得x2 16x 55 0 解得x1 5 x2 11 不合題意 舍去 答 該烘焙店生產(chǎn)的是第五檔次的蛋糕產(chǎn)品 考向4幾何問題的考查例8王叔叔從市場上買了一塊長80cm 寬70cm的矩形鐵皮 準備制作一個工具箱 如圖 他將矩形鐵皮的四個角各剪掉一個邊長為xcm的正方形后 剩余的部分剛好能圍成一個底面積為3000cm2的無蓋長方體工具箱 根據(jù)題意列方程為 C A 80 x 70 x 3000B 80 70 4 2 3000C 80 2x 70 2x 3000D 80 70 4 2 70 80 x 3000 解析由題意得剩余部分圍成的工具箱的底面是長 80 2x cm 寬 70 2x cm的長方形 則由題意得 80 2x 70 2x 3000 考向5單 雙 循環(huán)問題的考查例9學校要組織足球比賽 賽制為單循環(huán)形式 每兩隊之間賽一場 計劃安排21場比賽 應邀請多少支球隊參賽 設邀請x支球隊參賽 根據(jù)題意 下面所列方程正確的是 B A x2 21B x x 1 21C x2 21D x x 1 21 解析邀請x個隊參賽 則每個隊都要進行 x 1 場比賽 但兩隊之間只有一場比賽 由題意得 x x 1 21 方法技巧列一元二次方程解決實際問題時 首先是將問題進行歸類 明確其中的等量關系 其次是判斷所求的解是否符合題意 舍去不合題意的解 一 選擇題1 2017岱岳二模 將一元二次方程x2 6x 5 0配方后可變形為 A A x 3 2 14B x 3 2 4C x 3 2 14D x 3 2 4 隨堂鞏固訓練 2 2017肥城一模 下列選項中 使關于x的一元二次方程ax2 4x c 0一定有實數(shù)根的是 D A a 0B a 0C c 0D c 0 3 2017煙臺 若x1 x2是方程x2 2mx m2 m 1 0的兩個根 且x1 x2 1 x1x2 則m的值為 D A 1或2B 1或 2C 2D 二 填空題 4 2018德州 若x1 x2是一元二次方程x2 x 2 0的兩個實數(shù)根 則x1 x2 x1x2 3 5 2017新泰模擬 已知關于x的一元二次方程 a 1 x2 2x 1 0有兩個不相等的實數(shù)根 則a的取值范圍是a 2且a 1 解析 關于x的一元二次方程 a 1 x2 2x 1 0有兩個不相等的實數(shù)根 4 4 a 1 1 0 解得a 2 又 二次項系數(shù)不為0 a 1 0 即a 1 故a的取值范圍是a 2且a 1 6 若一元二次方程ax2 b ab 0 的兩個根分別為m 1和2m 4 則 4 解析易知x2 ab 0 所以x 所以方程的兩個根互為相反數(shù) 即m 1 2m 4 0 解得m 1 所以方程的兩個根為2和 2 所以 2 故 4 三 解答題7 2016年某市某樓盤以每平方米6500元的均價對外銷售 因為樓盤滯銷 房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉 決定進行降價促銷 經(jīng)過連續(xù)兩年下調 2018年的均價為每平方米5265元 1 求平均每年下調的百分率 2 假設2019年的均價仍然下調相同的百分率 張強準備購買一套100平方米的住房 他持有現(xiàn)金20萬元 可以在銀行貸款30萬元 張強的愿望能否實現(xiàn) 房價每平方米按照均價計算 解析 1 設平均每年下調的百分率為x 根據(jù)題意得 6500 1 x 2 5265 解得x1 0 1 10 x2 1 9 舍去 故平均每年下調的百分率為10 2 由題意可知2019年的均價為每平方米5265 1 10 4738 5元 則100平方米的住房總房款為100 4738 5 47 385萬元 因20 30 47 385 所以張強的愿望能夠實現(xiàn)