高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 計數(shù)原理與概率 第54講 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課件

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1、計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布第第 九九 章章第第5454講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理考綱要求考情分析命題趨勢1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理2會用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題.2017天津卷，142016全國卷，5利用計數(shù)原理、排列、組合知識求解排列、組合問題.分值：5分板板 塊塊 一一板板 塊塊 二二板板 塊塊 三三欄目導(dǎo)航 兩個計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理條件完成一件事有_在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法完成一件事需要_做第1步有m種不同的方法，做第2步有n

2、種不同的方法結(jié)論完成這件事共有N_種不同的方法完成這件事共有N_種不同的方法兩類不同方案 兩個步驟 mn mn 1思維辨析(在括號內(nèi)打“”或“”) (1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同() (2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事() (3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的() (4)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事() 解析 (1)錯誤在分類時，兩類不同方案中方法不能相同，故錯誤 (2)正確 (3)正確 (4)錯誤在分類乘法計數(shù)原理中必須把每個步驟都完成才能完成這件事，故錯誤

3、 2從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持主題班會，則不同的選法種數(shù)為_. 解析 從5名同學(xué)中選1人有5種選法 3在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有_個 解析 按個位數(shù)字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8類在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是1個、2個、3個、4個、5個、6個、7個、8個則共有1234567836(個)5 36 4從集合0,1,2,3,4,5,6中任取兩個互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)abi，其中虛數(shù)有_個 解析 a，b互不相等且abi為虛數(shù)， b只能從1,2,3,4,5,6中選一個，有6種 a從剩余6個選一個，有6種 由分步計數(shù)原理知虛數(shù)有6636(個)36 5從集

4、合1,2,3，10中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為_.8 利用分類加法計數(shù)原理解題時的注意事項： (1)根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏； (2)分類時，注意完成這件事件的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù)一分類加法計數(shù)原理 【例1】 (1)高三一班有學(xué)生50人，男生30人，女生20人；高三二班有學(xué)生60人，男生30人，女生30人；高三三班有學(xué)生55人，男生35人，女生20人 從高三一班或二班或三班中選一名學(xué)生任學(xué)生會主席，有_種不同的選法； 從高三一班、二班男生中，或高三三班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會體育部長，有_種不同的選法

5、 (2)如圖，從A到O有_種不同的走法(不重復(fù)過一點)165 80 5 20 解析 (1)完成這件事有三類方法： 第一類，從高三一班任選一名學(xué)生共有50種選法； 第二類，從高三二班任選一名學(xué)生共有60種選法； 第三類，從高三三班任選一名學(xué)生共有55種選法； 根據(jù)分類加法計數(shù)原理，任選一名學(xué)生任學(xué)生會主席共有506055165(種)選法 完成這件事有三類方法： 第一類，從高三一班男生中任選一名共有30種選法； 第二類，從高三二班男生中任選一名共有30種選法； 第三類，從高三三班女生中任選一名共有20種選法 綜上知，共有30302080(種)選法 (2)分3類：第一類，直接由A到O，有1種走法；第

6、二類，中間過一個點，有ABO和ACO2種不同的走法；第三類，中間過兩個點，有ABCO和ACBO 2種不同的走法，由分類加法計數(shù)原理可得共有1225種不同的走法 (3)當(dāng)m1時，n2,3,4,5,6,7共6種；當(dāng)m2時，n3,4,5,6,7共5種；當(dāng)m3時，n4,5,6,7共4種；當(dāng)m4時，n5，6,7共3種；當(dāng)m5時，n6,7共2種，故共有6543220(種)二分步乘法計數(shù)原理 (1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事 (2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立

7、，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成 【例2】 (1)(2016全國卷)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為() A24B18C12D9 (2)有六名同學(xué)報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則不同的報名方法有_種B 120 解析 (1)由題意可知EF共有6種走法，F(xiàn)G共有3種走法，由乘法計數(shù)原理知，共有6318種走法，故選B (2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，每一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同

8、的報名方法共有654120種三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用 利用兩個計數(shù)原理解題時的注意事項 (1)認真審題，分析題目的條件、結(jié)論，特別要理解題目中所講的“事情”是什么，完成這件事情的含義和標(biāo)準(zhǔn)是什么 (2)明確完成這件事情需要“分類”還是“分步”，還是既要“分類”又要“分步”，并搞清“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么 【例3】 (2017天津卷)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有_個(用數(shù)字作答)1 080 【例4】 某班一天上午有4節(jié)課，每節(jié)都需要安排1名教師去上課，現(xiàn)從A，B，C，D，E，F(xiàn)這6名教師中安排4人分別上一節(jié)

9、課，第一節(jié)課只能從A，B兩人中安排一個，第四節(jié)課只能從A，C兩人中安排一人，則不同的安排方案共有_種 解析 第一節(jié)課若安排A，則第四節(jié)課只能安排C，第二節(jié)課從剩余4人中任選1人，第三節(jié)課從剩余3人中任選1人，共有4312(種)排法 第一節(jié)課若安排B，則第四節(jié)課可由A或C上，第二節(jié)課從剩余4人中任選1人，第三節(jié)課從剩余3人中任選1人，共有24324(種)排法 因此不同的安排方案共有122436(種)36 【例5】 (1)三對夫妻站成一排照相，則僅有一對夫妻相鄰的站法總數(shù)是() A72B144 C240D288 (2)如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂一種

10、顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有_種D 96 1如果把個位數(shù)是1，且恰有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1,2,3,4四個數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有() A9個B3個 C12個D6個C 2已知集合Ax|xa0a13a232a333，其中ai0,1,2(i0,1,2,3)且a30，則A中所有元素之和等于() A3 240B3 120 C2 997D2 889 解析 由題意可知，a0，a1，a2各有3種取法(均可取0,1,2)，a3有2種取法(可取1,2)，由分步乘法計數(shù)原理可得共有3332種取法 故當(dāng)a0取0,1,2時，a1，a2各有3種取法，a3

11、有2種取法，共有33218種方法，即集合A中含有a0項的所有數(shù)的和為(012)18； 同理可得集合A中含有a1項的所有和為(303132)18； 集合A中含有a2項的所有數(shù)的和為(320321322)18； 集合A中含有a3項的所有數(shù)的和為(331332)27；D 由分類計數(shù)原理得集合A中所有元素之和S(012)18(303132)18(320321322)18(331332)2718(3927)81277022 1872 889. 故選D 3已知集合M3，2，1,0,1,2，若a，bM，則： (1)yax2bxc可以表示多少個不同的二次函數(shù)？其中偶函數(shù)有多少個？ (2)yax2bxc可以表示

12、多少個圖象開口向上的二次函數(shù)？ 解析 (1)a的取值有5種情況，b的取值有6種情況，c的取值有6種情況，因此yax2bxc可以表示566180(個)不同的二次函數(shù)若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b0，故有5630(個) (2)yax2bxc的圖象開口向上時，a的取值有2種情況，b，c的取值均有6種情況，因此yax2bxc可以表示26672(個)圖象開口向上的二次函數(shù) 4如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù) 解析 方法一以S，A，B，C，D順序分步染色，第一步，S點染色，有5種方法； 第二步，A點染色，與S在同一條棱上，有

13、4種方法； 第三步，B點染色，與S，A分別在同一條棱上，有3種方法； 第四步，C點染色，也有3種方法，但考慮到D點與S，A，C相鄰，需要針對A與C是否同色進行分類，當(dāng)A與C同色時，D點有3種染色方法；當(dāng)A與C不同色時，因為C與S，B也不同色，所以C點有2種染色方法，D點也有2種染色方法由分步乘法、分類加法計數(shù)原理得不同的染色方法共有543(1322)420種 錯因分析：不熟悉常見問題的常規(guī)處理方法，思考問題時，不知變換角度，不習(xí)慣從問題的對立面去思考導(dǎo)致解題受阻易錯點不熟悉常規(guī)方法，不善變換角度 【例1】 四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，則不同的取法共有() A150種B147種 C144種D141種 答案 D 【跟蹤訓(xùn)練1】 如圖，MON的邊OM上有四點A1，A2，A3，A4，ON上有三點B1，B2，B3，則以O(shè)，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3為頂點的三角形個數(shù)為() A30B42 C54 D56B