[廣州一模]2009年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試(一)(數(shù)學文)

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D. 二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分.（一）必做題（1113題）11、橢圓的離心率為 .12、已知數(shù)列的前項和為，對任意都有，則的值為 ，數(shù)列的通項公式 .13、一個幾何體的三視圖及其尺寸（單位：）如圖3所示，則該幾何體的側面積為 .（二）選做題（1415題，考生只能從中選做一題）14、（坐標系與參數(shù)方程選做題）在極坐標系中，直線被圓截得的弦長為 .15、（幾何證明選做題）已知是圓（為圓心）的切線，切點為，交圓于，兩點，則線段的長為 .三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.16、（本小題滿分12分）某校高三級要從3名男生、和2名女生、中任選3名代表參加學校的演講比賽.（1）求男生被選中的概率；（2）求男生和女生中至少有一人被選中的概率.17、（本小題滿分14分）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）若，求的值；（2）若的面積，求的值.18、（本小題滿分14分）如圖4，是圓柱的母線，是圓柱底面圓的直徑，是底面圓周上異于的任意一點，（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積的最大值.19、（本小題滿分14分）設、是拋物線上不同的兩點，且該拋物線在、處的兩條切線相交于點，并且滿足（1）求證：；（2）判斷拋物線的準線與經(jīng)過三點的圓的位置關系，并說明理由.20、（本小題滿分12分）某車間有50名工人，要完成150件產(chǎn)品的生產(chǎn)任務，每件產(chǎn)品由3個型零件和1個型零件配套組成.每個工人每小時能加工5個型零件或者3個型零件，現(xiàn)在把這些工人分成兩組同時工作（分組后人數(shù)不再進行調整），每組加工同一種型號的零件.設加工型零件的工人人數(shù)為名（）（1）設完成型零件加工所需時間為小時，寫出的解析式；（2）為了在最短時間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務，應取何值？21、（本小題滿分14分）已知數(shù)列的相鄰兩項是關于的方程的兩根，且（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設是數(shù)列的前項和，問是否存在常數(shù)，使得對任意都成立，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.2009年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試(一) 數(shù)學(文科)參考答案一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算.共10小題，每小題5分，滿分50分題號12345678910答案BABCBDADDC二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算. 本大題共5小題，每小題5分，滿分20分其中1415題為選做題，考生只能選做一題. 第十二題的第一個空2分，第二個空3分11. ；12. 1， 2n-1； 13. 80； 14.； 15.1.三、解答題：本大題共6小題，共80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.16.(本小題滿分12分)某校高三年級要從3名男生a、b、c和2名女生d、e中任選3名代表參加學校的演講比賽.(1)求男生a被選中的概率； (2) 求男生a和女生d至少一人被選中的概率.解：從3名男生a、b、c和2名女生d、e中任選3名代表選法是：a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e；b，c，d；b，c，e；b，d，e；c，d，e共10種. 4分(1)男生a被選中的選法是：a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e，共6種，于是男生a被選中的概率為. 8分(2) 男生a和女生d至少一人被選中的選法是：a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e；b，c，d；b，d，e；c，d，e共9種，故男生a和女生d至少一人被選中的概率為. 12分 17.(本小題滿分14分)已知ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且a=2， cosB=(1)若b=4，求sinA的值； (2) 若ABC的面積SABC=4，求b，c的值解：(1) cosB=>0，且0<B<，sinB=. 2分由正弦定理得， 4分 . 6分(2) SABC=acsinB=4， 8分 ， c=5. 10分由余弦定理得b2=a2+c22accosB，.14分18.(本小題滿分14分) 如圖4，A1A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑， C是底面圓周上異于A，B的任意一點，A1A= AB=2.(1)求證: BC平面A1AC；(2)求三棱錐A1-ABC的體積的最大值.圖4ABCA1證明:C是底面圓周上異于A，B的任意一點，且AB是圓柱底面圓的直徑，BCAC, 2分AA1平面ABC，BCÌ平面ABC，AA1BC， 4分AA1AC=A，AA1Ì平面AA1 C，ACÌ平面AA1 C， BC平面AA1C. 6分(2)解法1：設AC=x，在RtABC中，(0<x<2) , 7分故(0<x<2),9分即. 11分0<x<2，0<x2<4，當x2=2，即時，三棱錐A1-ABC的體積的最大值為. 14分解法2: 在RtABC中，AC2+BC2=AB2=4， 7分 9分. 11分當且僅當 AC=BC 時等號成立，此時AC=BC=.三棱錐A1-ABC的體積的最大值為. 14分19. (本小題滿分14分)設A(x1，x2)、B(x2，y2)是拋物線x2=4y上不同的兩點，且該拋物線在點A、B處的兩條切線相交于點C，并且滿足.(1)求證：x1·x2=4；(2)判斷拋物線x2=4y的準線與經(jīng)過A、B、C三點的圓的位置關系，并說明理由.(1) 證明：由x2=4y得，則，拋物線x2=4y在點A(x1，x2)、B(x2，y2)處的切線的斜率分別為，2分， 4分拋物線x2=4y在點A(x1，x2)、B(x2，y2)處兩切線互相垂直，x1·x2=4. 6分(2) 解法1: ，經(jīng)過A、B、C三點的圓的圓心為線段AB的中點D，圓心D， 8分拋物線x2=4y的準線方程為y=1, 點D到直線y=1的距離為， 10分經(jīng)過A、B、C三點的圓的半徑，由于x12=4y1，x22=4y2，且x1·x2=4，則，即， 12分d=r，拋物線x2=4y準線與經(jīng)過A、B、C三點的圓相切. 14分解法2:由(1)知拋物線x2=4y在點A(x1，x2)處的切線的斜率為又x12=4y1，切線AC所在直線方程為，即 8分同理可得切線BC所在直線方程為 由，得點C的橫坐標，縱坐標yC=1，即10分經(jīng)過A、B、C三點的圓的圓心為線段AB的中點D，圓心D，拋物線x2=4y的準線方程為y=1, 點D到直線y=1的距離為， 12分 經(jīng)過A、B、C三點的圓的半徑r=|CD|=，d=r，拋物線x2=4y準線與經(jīng)過A、B、C三點的圓相切. 14分20. (本小題滿分12分)某車間有50名工人，要完成150件產(chǎn)品的生產(chǎn)任務，每件產(chǎn)品由3個A 型零件和1個B 型零件配套組成. 每個工人每小時能加工5個A 型零件或者3個B 型零件，現(xiàn)在把這些工人分成兩組同時工作(分組后人數(shù)不再進行調整)，每組加工同一中型號的零件.設加工A 型零件的工人人數(shù)為x名(xN*)(1)設完成A 型零件加工所需時間為f(x)小時，寫出f(x)的解析式；(2)為了在最短時間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務，x應取何值？(本題主要考查函數(shù)最值、不等式、導數(shù)及其應用等基礎知識，考查分類與整合的數(shù)學思想方法，以及運算求解和應用意識)解：(1) 生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工A型零件450個，則完成A型零件加工所需時間(xN*，且1x49). 2分 (2) 生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工B型零件150個，則完成B型零件加工所需時間(xN*，且1x49). 4分設完成全部生產(chǎn)任務所需時間h(x)小時，則h(x)為f(x)與 g(x)的較大者，令f(x)g(x)，則，解得，所以，當1x32時，f(x)>g(x)；當33x492時，f(x)<g(x).故 6分當1x32時，故h(x)在1，32上單調遞減，則h(x)在1，32上的最小值為(小時)； 8分當33x49時，故h(x)在33，49上單調遞增，則h(x)在33，49上的最小值為(小時)； 10分h(33)> h(32)，h(x)在1，49上的最小值為h(32)， x=32.答：為了在最短時間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務，x應取32. 12分21. (本小題滿分14分)已知數(shù)列an的相鄰兩項an，an+1是關于x 的方程x22n x+ bn=0 (nN*)的兩根，且a1=1.(1)求證：數(shù)列 an×2n是等比數(shù)列；(2)設Sn是數(shù)列an的前n項的和，問是否存在常數(shù)，使得bnSn>0對任意nN*都成立，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由. (本題主要考查數(shù)列的通項公式、數(shù)列前n項和、不等式等基礎知識，考查化歸與轉化、分類與整合、特殊與一般的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和抽象概括能力)(1)證法1：an，an+1是關于x 的方程x22n x+ bn=0 (nN*)的兩根， 2分由an+an+1=2n，得，故數(shù)列是首項為，公比為1的等比數(shù)列. 4分證法2：an，an+1是關于x 的方程x22n x+ bn=0 (nN*)的兩根， 2分故數(shù)列是首項為，公比為1的等比數(shù)列. 4分(2)解：由(1)得，即， 6分Sn=a1+ a2+ a3+ an=(2+22+23+2n)(1)+ (1)2+(1)n， 8分要使得bnSn>0對任意nN*都成立，即對任意nN*都成立. 當n為正奇數(shù)時，由(*)式得，即，2n+11>0，對任意正奇數(shù)n都成立.當且僅當n=1時，有最小值1，<1. 10分當n為正奇數(shù)時，由(*)式得，即，2n+11>0，對任意正奇數(shù)n都成立.當且僅當n=1時，有最小值1，<1. 10分當n為正偶數(shù)時，由(*)式得，即，2n1>0，對任意正偶數(shù)n都成立.當且僅當n=2時，有最小值1.5，<1.5. 12分綜上所述，存在常數(shù)，使得bnSn>0對任意nN*都成立，的取值范圍是(，1). 14分本資料由七彩教育網(wǎng) 提供！本資料來源于七彩教育網(wǎng)