山東省諸城市桃林鎮(zhèn)中考數學 第34章 抽屜原理復習題（無答案）

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1、 第34章 抽屜原理 ★★34.1 有一個圓，經過圓心任意作993條直徑，它們與圓共有1986個交點，在每個交點處分別填寫從1到496中的一個數（可以重復填寫）．試證：一定可以找到兩條直徑，它們兩端的數的和相等． ★★34.2 一個正方形被分成了11×11=121個大小相同的小方格．在每一個小方格中，任意填寫1，2，3，…，30中的一個數．求證：一定能夠找到兩對小方格，兩對小方格的中心連線的中點是同一點，并且兩對小方格中的數字之和相等． ★★34.3 能否在10行、10列的方格表的每個空格中分別填上1、2、3這三個數之一，而使大正方形的每行、每列及對角線上的每個數

2、字和互不相同？對你的結論加以證明． ★★★34.4 一個體育代表團共有997名運動員，他們著裝運動服上的號碼兩兩不同，但都小于1992．求證：至少有一名運動員的號碼數等于另外兩名運動員的號碼數之和． ★★★34.5 一次圍棋大賽先后進行了11個星期，有一位圍棋新秀，他的戰(zhàn)績是每日至少勝一次，每星期最多勝12次．由此記錄一定可以推知，在一段連續(xù)的日子里，這一位圍棋新秀不多不少地正好勝了21次． ★★★34.6 已知a1，a2，…，a100是由1、2組成的數列，并且從任何一項起，連續(xù)10個數之和都不超過16，則必存在h和k，其中h＞k，使得ak＋1＋ak＋2＋…ah＝39． ★★34

3、.7 從1，2，3，…，9中任取5個數，求證：其中至少有兩個數是互質的． ★★34.8 在1到2n的正整數中任取n＋1個數，證明：一定存在兩個數是互質的． ★★34.9 在任意2n個連續(xù)整數中任取n＋1個數，求證：其中必有兩個數，這兩個數的差恰等于n． ★★34.10 在不超過100的自然數中任取55個不同的數．試問：在它們之中是否一定能找出兩個數來，使它們的差等于9？ ★★34.11 求證：由小于100的任意27個不同的奇數所組成的集合中，必定有一對數，其和為102． ★★34.12 在1，2，3，…，99，100這100個正整數中任取n個不同的奇數，必有兩個之和等于1

4、02，求n的小值． ★★34.13 證明：從2、3、4、5、6、7、8、9這8個自然數中任意取6個，則至少取到這樣兩個數，它們的乘積是12的倍數． ★★34.14 在1至100這100個自然數中，任取76個，求證：一定存在4個數，其中有兩個數之和等于另外兩個數之和． ★★34.15 在1至100這100個自然數中，任取68個數．求證：其中至少有3個數，它們中有兩個數之和恰等于第3個數的2倍． ★★34.16 在1至100這100個自然數中，任取29個，證明：其中至少有3個數，恰是十位數字相同的3個兩位數． ★★★34.17 證明：在任意的11個無窮小數中，一定可

5、以找到兩個小數，它們的差或者含有無窮多個數字0，或者含有無窮多個數字9． ★34.18 求證：任意n＋1個整數中，總有兩個整數之差能被n整除． ★★34.19 已知12個不同的兩位數，證明：這些數中至少有兩個數，它們的差是由兩個相同數字構成的兩位數． ★★34.20 求證：對任意整數N，存在N的一個倍數，它是僅由數字2與0組成． ★★34.21 證明：存在著形如（1≤k≤1993）的一個整數，它是1993的倍數． ★★34.22 證明：對任給的1997個自然數a1，a2，…，a1997，總可以找到其中連續(xù)的若干個數，使它們的和是1997的倍數． ★★34.23 任給7

6、個不同的整數，求證：必有兩個整數．其和或差是10的倍數． ★★★34.24 任選83個整數，求證：一定可以從中選出4個整數，使得當用乘號、括號、減號把這4個數連接起來后，其運算結果恰可被1992整除． ★★34.25 把既約分數寫成小數形式時，必是有限小數或是無限循環(huán)小數，試證之． ★★34.26 在平面直角坐標系中，任取5個整點，證明：其中存在兩個點，它們的連線中點仍是整點． ★★34.27 定義：有序數組（x1，x2，…，xn）中，如果x1，x2，…，xn均為整數，我們就稱之為n維整點．任意地給定2n＋1個n維整點，求證：從中可以選出兩個n維整點（x1，x2，…，xn）與（

7、y1，y2，…，yn）來，使得（，，…，）是一個n維整點． ★★34.28 某人連續(xù)織布10h，共織布50m．已知她第一小時織6.5m，最后一小時織4m．證明：一定存在連續(xù)的兩小時，在這兩小時內她至少織了10m． ★★★34.29 考慮所有形如x＋y，其中x和y都是絕對值不大于1993的整數．證明：在這些數中一定存在一個數x0＋y0，使得|x0＋y0|＜，其中x0、y0不全為0． ★★★34.30 證明：存在不全為0的整數a、b、c，且每個數的絕對值均為小于106，使得|a＋b＋a|＜． ★★34.31.在邊長為1的正三角形中，在取7個點，其中任意三點不共線.證明：其中必

8、有三點構成的三角形的面積不超過. ★★★34.32.設n≥2，單位圓中給定2n個點，任三點不共線.求證：必存在三點.以這三點為頂點的三角形面積小于. ★★★34.33.在邊長為1的正三角形中給定361個點，求證：存在一個半徑為的圓，至少含其中的25個點. ★★34.34.在邊長有限的正方形內有無窮多個點，對任意給定的實數r＞0，這些點中至少有一點.在以其為圓心，以r為半徑的圓內仍含有無窮多個點，試證明之. ★★★34.35.平面上任意給定1980個點，其中任意兩點的距離均大于.求證：其中必有220個點，彼此之間的距離都不小于2. ★★34.36.正方形被9條直線分割，每一條都與正方形

9、的一對對邊相交，把該正方形分成面積之比為2：3的兩個梯形.求證：這9條直線中至少有3條相交于同一點. ★★34.37.910瓶紅、藍墨水，排成130行，每行7瓶.證明：不論怎樣排列，紅、藍墨水瓶的顏色次序必定出現下述兩種情況之一：（1）至少有三行完全相同；（2）至少有兩組（四行），每組的兩行完全相同. ★★34.38.如圖所示，3行7列小方格每一個染上紅色或藍色.證明： 存在一個矩形，它的四個角上的小方格顏色相同. ★★★34.39.在3×4方格網的每個小方格中心都放有一枚圍棋子，問：至少要去掉多少枚圍棋子，才能使得剩下的棋子中任意4枚都不構成正方形的4個頂點？ ★★34.40.如圖

10、所示是一個等邊三角形.其由25個小的等邊三角形 構成，用數字1，2，3，…，8和9填滿一個三角形網格，每 個小三角形填寫一個數字.將網格中由3個相鄰小三角形構 成的梯形稱為“3－梯形”，梯形內3個整數的和稱為“梯形 數”.問：能否給出一種填法，使任意兩個“梯形數”均不相 同?如果能，請舉出一例；如果不能，請說明理由. ★★34.41.在正七邊形的每個頂點處放著黑色或白色的棋子.證明：存在同一顏色的三個棋子，它位于某個等腰三角形的頂點上. ★★★34.42.一正九邊形各頂點分別染紅、綠兩色.任三頂點確定一個三角形，若三頂點同色，則稱之為綠（紅）三角形.求證：必存在兩個同色三角形，顏

11、色相同且全等. ★★★34.43.無窮方格紙片的每個方格都染上n種顏色之一（n≥2).證明：能找出同樣顏色的四個方格，其中心分別是某個矩形的頂點，此矩形的邊平行于方格紙的分格線. ★★34.44.任意凸九邊形中，一定有三個頂點A、B、C，使得∠ABC≤20°，并證明之. ★★★34.45.平面上任意給定六點，任三點不共線.求證：總能找到三個點，得以此三點為頂點的三角形中有不超過30°的角.將30°改成29°結論是否還對? ★★34.46.證明：平面上兩兩相交的七條直線交得的角中至少有一個小于26°. ★★34.47.把1~100這100個自然數任意排在一個圓上，證明：一定有三個相鄰的

12、數，它們的和不小于153. ★★34.48.正200邊形的頂點隨意地標上數0，1，…,1999（每一個數只標給一個頂點）.求證：必有一個頂點，與它相鄰兩個頂點上所標的三個數之和大于等于2999. ★★34.49.平面上有n（n≥4）個互不相同的點在每兩點之間連起直線段，已知其中長度等于d的線段有n＋1條.求證：從這n個點中可以找出一個點來，使得從這一點出發(fā)的線段中至少有3條的長度等干d. ★★34.50.如圖所示，一個圓盤分內外兩圈，均等分10個“格子”， 且分別將1，2，3，…，10這10個數填入內外圈10個格子中 （每格填一數，不一定按大小次序）.若內圈可以繞圓心轉動， 求證：

13、在轉動中一定有某個時刻內圈的10個數與外圈的10個 數每對乘積之和大于302. ★★34.51.兩個大小不同的同心圓盤各被等分成100個扇形.從每一個圓盤上獨立地.隨機地取出50個部分涂上黑色.把小圓盤繞中心進行旋轉，轉到一個內，外扇形對齊的位置之后，再計算內、外顏色相同的局形的總數.有趣的是，不論原先內、外盤的面色是怎樣涂的，一定存在某個位置，使得顏色能匹配的扇形個數不小于50. ★★34.52.有兩個同心圓盤，各分成n個相等的小格，外盤固定，內盤可以轉動，內、外兩盤的小格中，分別有寫數；.它們適合 求證：一定可以將內盤轉到一個適當的位置，使得內、外兩盤上的小格對齊，這時兩盤上n

14、個對齊了的小格中的兩數乘積之和為一正數. ★★34.53.普拉脫蘭奇國的某些城市之間是有電話聯系的，證明：在普拉脫蘭奇國中至少可以我到兩個城市，它們和同樣多個城市有電話聯系. ★★34.54.任意給定70個不超過200的互不相同的正整數，求證：其中必有某兩個數的差或為4，或為5，或為9. ★★★34.55.設一個整數被某個數M（M≠1）整除的判別法則不依賴于整數數字190的次序.證明：M等于3或9. ★★★34.56.在100×100的象棋盤的格子中都寫上整數，使得任意相鄰格子（具有公共邊的格點）中數的差不超過20，證明：在盤中至少存在三個格子寫有同一個數. ★★★34.57.A是－個16位的正整數.證明：可以從A中連續(xù)取出連續(xù)若干位數字，使得其乘積是完全平方數.例如，A中某位數字是4，則就取這個數字. ★★★34.58.設數列中的每一項取下列10個素數2、3、5、11、13、17、19、23、29之一.求證：必有連續(xù)的若干項，其積是完全平方數. ★34.59.把128個半徑是1的圓放到一個邊長為20的正方形內.證明：不管怎樣放置，必有兩個圓有公共點. 5