余弦定理練習 含問題詳解

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1、word 課時作業(yè)2　余弦定理 時間：45分鐘　　總分為：100分 課堂訓練 1．在△ABC中，a＝5，b＝4，∠C＝120°.如此c為(　　) A.B. C.或D. 【答案】B 【解析】c＝ ＝＝. 2．△ABC的角A、B、C的對邊分別為a，b，c，假如a，b，c滿足b2＝ac，且c＝2a，如此cosB＝(　　) A.B. C.D. 【答案】B 【解析】由b2＝ac，又c＝2a，由余弦定理 cosB＝＝＝. 3．在△ABC中，三個角A、B、C的對邊邊長分別為a＝3、b＝4、c＝6，如此bccosA＋cacosB＋abcosC＝________. 【答案】

2、【解析】bccosA＋cacosB＋abcosC＝bc·＋ca·＋ab·＝(b2＋c2－a2)＋(c2＋a2－b2)＋(a2＋b2－c2)＝(a2＋b2＋c2)＝. 4．在△ABC中： (1)a＝1，b＝1，∠C＝120°，求c； (2)a＝3，b＝4，c＝，求最大角； (3)a:b:c＝1: :2，求∠A、∠B、∠C. 【分析】　(1)直接利用余弦定理即可； (2)在三角形中，大邊對大角； (3)可設三邊為x，x,2x. 【解析】(1)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC ＝12＋12－2×1×1×(－)＝3，∴c＝. (2)顯然∠C最大， ∴cosC＝＝＝－

3、.∴∠C＝120°. (3)由于a:b:c＝1: :2，可設a＝x，b＝x，c＝2x(x>0)． 由余弦定理，得cosA＝＝＝， ∴∠A＝30°. 同理cosB＝，cosC＝0.∴∠B＝60°，∠C＝90°. 【規(guī)律方法】　 1．此題為余弦定理的最根本應用，應在此根底上熟練地掌握余弦定理的結構特征． 2．對于第(3)小題，根據條件，設出三邊長，由余弦定理求出∠A，進而求出其余兩角，另外也可考慮用正弦定理求∠B，但要注意討論解的情況． 課后作業(yè) 一、選擇題(每一小題5分，共40分) 1．△ABC中，如下結論： ①a2>b2＋c2，如此△ABC為鈍角三角形； ②a2＝b2＋

4、c2＋bc，如此∠A為60°； ③a2＋b2>c2，如此△ABC為銳角三角形； ④假如∠A:∠B:∠C＝1:2:3，如此a:b:c＝1:2:3， 其中正確的個數為(　　) A．1　　　　　　　　　　　　B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】①cosA＝<0， ∴∠A為鈍角，正確； ②cosA＝＝－， ∴∠A＝120°，錯誤； ③cosC＝>0， ∴∠C為銳角，但∠A或∠B不一定為銳角，錯誤； ④∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°， a:b:c＝1: :2，錯誤．應當選A. 2．△ABC的三角A、B、C所對邊長分別為a、b、c，設向量p＝(a＋c，b)

5、，q＝(b－a，c－a)．假如p∥q，如此∠C的大小為(　　) A.B. C.D.π 【答案】B 【解析】∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)且p∥q， ∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0 即a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝＝. ∴∠C＝. 3．△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，∠A＝，a＝，b＝1，如此c等于(　　) A．2B．3 C.＋1 D．2 【答案】B 【解析】由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA， 所以()2＝1＋c2－2×1×c×cos， 即c2－c－6＝0，解得c＝3或c＝－2(舍)．應當選B. 4．在

6、不等邊三角形ABC中，a為最大邊，且a2∠B，∠A>∠C，故2∠A>∠B＋∠C.又因為∠B＋∠C＝π－∠A，所以2∠A>π－∠A，即∠A>.因為a20，所以0<∠A<.綜上，<∠A<. 5．在△ABC中，a＝4，b＝6，∠C＝120°，如此sinA的值為(　　) A.B. C.D．－ 【答案】A 【解析】由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab·cosC＝42＋62－2×4×6(－)＝76，

7、 ∴c＝.由正弦定理得＝，即＝， ∴sinA＝＝. 6．△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，且2b＝a＋c，∠B＝30°，△ABC的面積為，那么b等于(　　) A.B．1＋ C.D．2＋ 【答案】B 【解析】∵2b＝a＋c，又由于∠B＝30°， ∴S△ABC＝acsinB＝acsin30°＝，解得ac＝6， 由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accosB ＝(a＋c)2－2ac－2ac·cos30°＝4b2－12－6， 即b2＝4＋2，由b>0解得b＝1＋. 7．在△ABC中，假如acosA＋bcosB＝ccosC，如此這個三角形一定是() A．銳角三角形

8、或鈍角三角形 B．以a或b為斜邊的直角三角形 C．以c為斜邊的直角三角形 D．等邊三角形 【答案】B 【解析】由余弦定理acosA＋bcosB＝ccosC可變?yōu)閍·＋b·＝c·， a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＝c2(a2＋b2－c2) a2b2＋a2c2－a4＋b2a2＋b2c2－b4＝c2a2＋c2b2－c4 2a2b2－a4－b4＋c4＝0， (c2－a2＋b2)(c2＋a2－b2)＝0， ∴c2＋b2＝a2或a2＋c2＝b2， ∴以a或b為斜邊的直角三角形． 8．假如△ABC的周長等于20，面積是10，∠A＝60°，如此BC邊的長是(　　)

9、 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】依題意與面積公式S＝bcsinA， 得10＝bc×sin60°，即bc＝40. 又周長為20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a. 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc， 故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7. 二、填空題(每一小題10分，共20分) 9．在△ABC中，三邊長AB＝7，BC＝5，AC＝6，如此·的值為________． 【答案】－19 【解析】由余弦定理可求得cosB＝，∴·＝||·||·cos(π－B)＝－|

10、|·||·cosB＝－19. 10．等腰三角形的底邊長為a，腰長為2a，如此腰上的中線長為________． 【答案】a 【解析】如圖，AB＝AC＝2a，BC＝a，BD為腰AC的中線，過A作AE⊥BC于E，在△AEC中，cosC＝＝，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cosC，即BD2＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，∴BD＝a. 三、解答題(每一小題20分，共40分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 11．在△ABC中，b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，試判斷三角形的形狀． 【分析】　解決此題，可分別利用正弦

11、定理或余弦定理，把問題轉化成角或邊的關系求解． 【解析】方法一：由正弦定理＝＝＝2R，R為△ABC外接圓的半徑，將原式化為 8R2sin2Bsin2C＝8R2sinBsinCcosBcosC. ∵sinBsinC≠0，sinBsinC＝cosBcosC， 即cos(B＋C)＝0，∴∠B＋∠C＝90°，∠A＝90°，故△ABC為直角三角形． 方法二：將等式變?yōu)閎2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosBcosC. 由余弦定理可得：b2＋c2－b2·()2－c2()2＝2bc··. 即b2＋c2＝ 也即b2＋c2＝a2，故△ABC為直角三角形． 【規(guī)律方法】　在

12、利用正弦定理實施邊角轉化時，等式兩邊a，b，c與角的正弦值的次數必須一樣，否如此不能相互轉化． 12．(2013·全國新課標Ⅰ，理)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P為△ABC一點，∠BPC＝90°. (1)假如PB＝，求PA； (2)假如∠APB＝150°，求tan∠PBA. 【解析】(1)由得，∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30°， 在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋－2××cos30°＝，∴PA＝. (2)設∠PBA＝α，由得，PB＝sinα， 在△PBA中，由正弦定理得＝，化簡得，cosα＝4sinα， ∴tanα＝，∴tan∠PBA＝. 10 / 10